高等数学（9-12章）全册配套完整课件

高等数学（9-12章）全册配套完整课件习题课一、重积分计算的基本方法二、重积分计算的基本技巧三、重积分的应用机动目录上页下页返回结束

第九章重积分的计算及应用一、重积分计算的基本方法1.选择合适的坐标系使积分域多为坐标面(线)围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2.选择易计算的积分序积分域分块要少,累次积分易算为妙.图示法列不等式法(从内到外:

面、线、点)3.掌握确定积分限的方法——

累次积分法机动目录上页下页返回结束练习计算积分其中D由所围成.

P1242(3);6;7(1),(3)补充题:解答提示:(接下页)

机动目录上页下页返回结束2(3).计算二重积分其中D为圆周所围成的闭区域.提示:

利用极坐标原式机动目录上页下页返回结束P1246.

把积分化为三次积分,其中

由曲面提示:

积分域为原式及平面所围成的闭区域.机动目录上页下页返回结束P1247(1).计算积分其中是两个球(R>0)的公共部分.提示:

由于被积函数缺x,y,原式=利用“先二后一”计算方便.机动目录上页下页返回结束P1247(3).计算三重积分其中是由

xoy平面上曲线所围成的闭区域.提示:

利用柱坐标原式绕x

轴旋转而成的曲面与平面机动目录上页下页返回结束P124补充题.计算积分其中D由所围成

.提示:如图所示连续,所以机动目录上页下页返回结束二、重积分计算的基本技巧分块积分法利用对称性1.交换积分顺序的方法2.利用对称性或重心公式简化计算3.消去被积函数绝对值符号练习题4.利用重积分换元公式P1231(总习题九);P1244,7(2),9解答提示:(接下页)机动目录上页下页返回结束证明:提示:

左端积分区域如图,交换积分顺序即可证得.P1244.7(2).其中是所围成的闭区域.提示:

被积函数在对称域上关于z

为奇函数,利用对称性可知原式为0.机动目录上页下页返回结束由球面P1249.在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上,要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,使整个的另一边长度应为多少?提示:

建立坐标系如图.由对称性知由此解得问接上去的均匀矩形薄片即有薄片的重心恰好落在圆心上,机动目录上页下页返回结束例1.

计算二重积分其中:(1)D为圆域(2)D由直线解:(1)

利用对称性.围成.机动目录上页下页返回结束(2)

积分域如图:将D分为添加辅助线利用对称性,得机动目录上页下页返回结束例2.计算二重积分其中D是由曲所围成的平面域.解:其形心坐标为:面积为:积分区域线形心坐标机动目录上页下页返回结束例3.计算二重积分在第一象限部分.解:(1)两部分,则其中D为圆域把与D分成作辅助线机动目录上页下页返回结束(2)提示:两部分说明:若不用对称性,需分块积分以去掉绝对值符号.作辅助线将D分成机动目录上页下页返回结束例4.如图所示交换下列二次积分的顺序:解:机动目录上页下页返回结束例5.解:

在球坐标系下利用洛必达法则与导数定义,得其中机动目录上页下页返回结束三、重积分的应用1.几何方面面积(平面域或曲面域),体积,形心质量,转动惯量,质心,引力证明某些结论等2.物理方面3.其它方面机动目录上页下页返回结束例6.证明证:左端=右端机动目录上页下页返回结束例7.设函数f(x)连续且恒大于零,其中(1)讨论F(t)在区间(0,+∞)内的单调性;(2)证明t>0时,(03考研)机动目录上页下页返回结束解:

(1)

因为两边对

t

求导,得机动目录上页下页返回结束(2)

问题转化为证即证故有因此t>0时,因机动目录上页下页返回结束利用“先二后一”计算.机动目录上页下页返回结束例8.试计算椭球体的体积V.解法1*解法2利用三重积分换元法.令则机动目录上页下页返回结束作业P98*21,*22(1)P1174,9,11P12410,11机动目录上页下页返回结束第九章一元函数积分学多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分重积分三、二重积分的性质第一节一、引例二、二重积分的定义与可积性四、曲顶柱体体积的计算机动目录上页下页返回结束二重积分的概念与性质

第九章解法:

类似定积分解决问题的思想:一、引例1.曲顶柱体的体积

给定曲顶柱体:底：

xoy

面上的闭区域D顶:

连续曲面侧面：以D

的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求极限”机动目录上页下页返回结束1)“大化小”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体分为n

个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体机动目录上页下页返回结束4)“取极限”令机动目录上页下页返回结束2.平面薄片的质量

有一个平面薄片,在xoy

平面上占有区域

D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为

,则若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D为n个小区域相应把薄片也分为小区域.机动目录上页下页返回结束2)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第

k小块的质量机动目录上页下页返回结束两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:机动目录上页下页返回结束二、二重积分的定义及可积性定义:将区域D

任意分成n

个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数,机动目录上页下页返回结束引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作机动目录上页下页返回结束二重积分存在定理:若函数定理2.(证明略)定理1.在D上可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域D上连续,则若有界函数在有界闭区域D

上除去有例如,在D:上二重积分存在;在D上二重积分不存在.机动目录上页下页返回结束三、二重积分的性质(k

为常数)

为D的面积,则机动目录上页下页返回结束特别,由于则5.若在D上6.设D的面积为

,则有机动目录上页下页返回结束7.(二重积分的中值定理)证:

由性质6可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上

为D的面积,则至少存在一点使使连续,因此机动目录上页下页返回结束例1.

比较下列积分的大小:其中解:

积分域D的边界为圆周它与x轴交于点(1,0),而域D位从而于直线的上方,故在D上机动目录上页下页返回结束例2.判断积分的正负号.解:

分积分域为则原式=猜想结果为负

但不好估计.舍去此项机动目录上页下页返回结束例3.估计下列积分之值解:

D

的面积为由于积分性质5即:1.96I2D机动目录上页下页返回结束8.设函数D位于x轴上方的部分为D1,当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时,仍在D上在闭区域上连续,域D关于x轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分,则有机动目录上页下页返回结束四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的机动目录上页下页返回结束同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算机动目录上页下页返回结束例4.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.解:

设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为机动目录上页下页返回结束内容小结1.二重积分的定义2.二重积分的性质(与定积分性质相似)3.曲顶柱体体积的计算二次积分法机动目录上页下页返回结束被积函数相同,且非负,思考与练习解:

由它们的积分域范围可知1.

比较下列积分值的大小关系:机动目录上页下页返回结束2.

设D

是第二象限的一个有界闭域,且0<y<1,则的大小顺序为()提示:因0<y<1,故故在D上有机动目录上页下页返回结束3.计算解:机动目录上页下页返回结束4.证明:其中D为解:

利用题中x,y

位置的对称性,有又D的面积为1,故结论成立.机动目录上页下页返回结束

P782，4，5P951(1),8第二节目录上页下页返回结束作业备用题1.估计的值,其中D

为解:

被积函数D的面积的最大值的最小值机动目录上页下页返回结束2.判断的正负.解：当时，故又当时，于是机动目录上页下页返回结束*三、二重积分的换元法第二节一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分机动目录上页下页返回结束二重积分的计算法

第九章一、利用直角坐标计算二重积分且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为

X–型区域

则若D为Y–型区域则机动目录上页下页返回结束当被积函数均非负在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.由于机动目录上页下页返回结束说明:(1)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则机动目录上页下页返回结束例1.

计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x

所围的闭区域.解法1.

将D看作X–型区域,则解法2.

将D看作Y–型区域,

则机动目录上页下页返回结束例2.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,先对x后对y积分,及直线则机动目录上页下页返回结束例3.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:

由被积函数可知,因此取D为X–型域:先对x

积分不行,说明:

有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.机动目录上页下页返回结束例4.交换下列积分顺序解:

积分域由两部分组成:视为Y–型区域,则机动目录上页下页返回结束例5.

计算其中D由所围成.解:

令(如图所示)显然,机动目录上页下页返回结束对应有二、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下,用同心圆r=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积在内取点及射线

=常数,分划区域D为机动目录上页下页返回结束即机动目录上页下页返回结束设则特别,对机动目录上页下页返回结束若f≡1则可求得D的面积思考:

下列各图中域D

分别与x,y轴相切于原点,试答:问

的变化范围是什么?(1)(2)机动目录上页下页返回结束例6.计算其中解:

在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.机动目录上页下页返回结束注:利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式事实上,当D为R2时,利用例6的结果,得①故①式成立.机动目录上页下页返回结束例7.

求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:

设由对称性可知机动目录上页下页返回结束定积分换元法*三、二重积分换元法

满足一阶导数连续;雅可比行列式(3)变换则定理:变换:是一一对应的,机动目录上页下页返回结束证:根据定理条件可知变换T可逆.

用平行于坐标轴的直线分割区域任取其中一个小矩形,其顶点为通过变换T,在xoy

面上得到一个四边形,其对应顶点为则机动目录上页下页返回结束同理得当h,k

充分小时,曲边四边形M1M2M3M4近似于平行四边形,故其面积近似为机动目录上页下页返回结束因此面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式:例如,

直角坐标转化为极坐标时,机动目录上页下页返回结束例8.

计算其中D是x

轴y

轴和直线所围成的闭域.解:令则机动目录上页下页返回结束例9.计算由所围成的闭区域D

的面积S.解:令则机动目录上页下页返回结束例10.

试计算椭球体解:由对称性令则D的原象为的体积V.机动目录上页下页返回结束内容小结(1)二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形:

若积分区域为则

若积分区域为则机动目录上页下页返回结束则(2)一般换元公式且则极坐标系情形:若积分区域为在变换下机动目录上页下页返回结束(3)计算步骤及注意事项•

画出积分域•选择坐标系•确定积分序•写出积分限•计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式(先积一条线,后扫积分域)充分利用对称性应用换元公式机动目录上页下页返回结束思考与练习1.设且求提示:交换积分顺序后,x,y互换机动目录上页下页返回结束2.交换积分顺序提示:

积分域如图机动目录上页下页返回结束作业P951(2),(4);2(3),(4);5;6(2),(4);

11(2),(4);13(3),(4);14(2),(3);

15(1),(4);

*19(1);

*20(2)

第三节目录上页下页返回结束解：原式备用题1.

给定改变积分的次序.机动目录上页下页返回结束2.计算其中D

为由圆所围成的及直线解：平面闭区域.机动目录上页下页返回结束第三节一、三重积分的概念

二、三重积分的计算机动目录上页下页返回结束三重积分

第九章一、三重积分的概念

类似二重积分解决问题的思想,采用

引例:设在空间有限闭区域内分布着某种不均匀的物质,求分布在内的物质的可得“大化小,常代变,近似和,求极限”解决方法:质量

M.密度函数为机动目录上页下页返回结束定义.

设存在,称为体积元素,

若对作任意分割:任意取点则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质:例如下列“乘中值定理.在有界闭域

上连续,则存在使得V为的体积,

积和式”极限记作机动目录上页下页返回结束二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)方法3.三次积分法先假设连续函数并将它看作某物体通过计算该物体的质量引出下列各计算最后,推广到一般可积函数的积分计算.的密度函数,方法:机动目录上页下页返回结束方法1.投影法(“先一后二”)该物体的质量为细长柱体微元的质量为微元线密度≈记作机动目录上页下页返回结束方法2.截面法(“先二后一”)为底,dz为高的柱形薄片质量为该物体的质量为面密度≈记作机动目录上页下页返回结束投影法方法3.三次积分法设区域利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得:机动目录上页下页返回结束当被积函数在积分域上变号时,因为均为非负函数根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.机动目录上页下页返回结束小结:三重积分的计算方法方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”方法3.“三次积分”具体计算时应根据三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择.机动目录上页下页返回结束其中

为三个坐标例1.

计算三重积分所围成的闭区域.解:面及平面机动目录上页下页返回结束例2.

计算三重积分解:

用“先二后一”机动目录上页下页返回结束2.利用柱坐标计算三重积分

就称为点M

的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面机动目录上页下页返回结束如图所示,在柱面坐标系中体积元素为因此其中适用范围:1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单;2)被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.机动目录上页下页返回结束其中

为由例3.计算三重积分所围解:

在柱面坐标系下及平面柱面成半圆柱体.机动目录上页下页返回结束例4.

计算三重积分解:

在柱面坐标系下所围成.与平面其中

由抛物面原式=机动目录上页下页返回结束3.利用球坐标计算三重积分

就称为点M

的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面半平面锥面机动目录上页下页返回结束如图所示,在球面坐标系中体积元素为因此有其中适用范围:1)积分域表面用球面坐标表示时方程简单;2)被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.机动目录上页下页返回结束例5.计算三重积分解:

在球面坐标系下所围立体.其中

与球面机动目录上页下页返回结束例6.求曲面所围立体体积.解:

由曲面方程可知,立体位于xoy面上部,利用对称性,所求立体体积为yoz面对称,并与xoy面相切,故在球坐标系下所围立体为且关于

xoz

机动目录上页下页返回结束内容小结积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系体积元素适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系*说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:对应雅可比行列式为变量可分离.围成;机动目录上页下页返回结束1.

将用三次积分表示,其中

由所提示:思考与练习六个平面围成,机动目录上页下页返回结束2.设计算提示:利用对称性原式=奇函数机动目录上页下页返回结束3.

设由锥面和球面所围成,计算提示:利用对称性用球坐标机动目录上页下页返回结束作业P1061(2),(3),(4);4;5;7;8;9(2);10(2);11(1),(4)第四节目录上页下页返回结束备用题

1.

计算所围成.其中由分析：若用“先二后一”,则有计算较繁!采用“三次积分”较好.机动目录上页下页返回结束所围,故可思考:若被积函数为f(y)时,如何计算简便?表为解:机动目录上页下页返回结束2.计算其中解:利用对称性机动目录上页下页返回结束第四节一、立体体积二、曲面的面积三、物体的质心四、物体的转动惯量五、物体的引力机动目录上页下页返回结束重积分的应用

第九章1.能用重积分解决的实际问题的特点所求量是对区域具有可加性

从定积分定义出发建立积分式

用微元分析法(元素法)分布在有界闭域上的整体量3.解题要点

画出积分域、选择坐标系、确定积分序、定出积分限、计算要简便2.用重积分解决问题的方法机动目录上页下页返回结束一、立体体积

曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为

占有空间有界域

的立体的体积为机动目录上页下页返回结束任一点的切平面与曲面所围立体的体积V.解:

曲面的切平面方程为它与曲面的交线在

xoy

面上的投影为(记所围域为D)在点例1.求曲面机动目录上页下页返回结束例2.求半径为a

的球面与半顶角为

的内接锥面所围成的立体的体积.解:在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为机动目录上页下页返回结束二、曲面的面积设光滑曲面则面积A可看成曲面上各点处小切平面的面积dA无限积累而成.设它在D

上的投影为d

,(称为面积元素)则机动目录上页下页返回结束故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即机动目录上页下页返回结束若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为隐式则则有且机动目录上页下页返回结束例3.计算双曲抛物面被柱面所截解:

曲面在

xoy

面上投影为则出的面积A.机动目录上页下页返回结束例4.计算半径为a的球的表面积.解:设球面方程为球面面积元素为方法2利用直角坐标方程.(见书P109)方法1利用球坐标方程.机动目录上页下页返回结束三、物体的质心设空间有n个质点,其质量分别由力学知,该质点系的质心坐标设物体占有空间域

,有连续密度函数则公式,分别位于为为即:采用“大化小,常代变,近似和,取极限”可导出其质心机动目录上页下页返回结束将

分成

n

小块,将第k块看作质量集中于点例如,令各小区域的最大直径系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第k块上任取一点机动目录上页下页返回结束同理可得则得形心坐标：机动目录上页下页返回结束若物体为占有xoy面上区域D的平面薄片,(A

为D

的面积)得D

的形心坐标:则它的质心坐标为其面密度—对x

轴的

静矩—对y

轴的

静矩机动目录上页下页返回结束例5.求位于两圆和的质心.

解:

利用对称性可知而之间均匀薄片机动目录上页下页返回结束例6.一个炼钢炉为旋转体形,剖面壁线的方程为内储有高为

h

的均质钢液,解:利用对称性可知质心在z

轴上，采用柱坐标,则炉壁方程为因此故自重,求它的质心.若炉不计炉体的其坐标为机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束四、物体的转动惯量设物体占有空间区域

,有连续分布的密度函数该物体位于(x,y,z)处的微元因此物体对z轴的转动惯量:对z轴的转动惯量为因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故连续体的转动惯量可用积分计算.机动目录上页下页返回结束类似可得:对x

轴的转动惯量对y

轴的转动惯量对原点的转动惯量机动目录上页下页返回结束如果物体是平面薄片,面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.机动目录上页下页返回结束例7.求半径为a的均匀半圆薄片对其直径解:建立坐标系如图,半圆薄片的质量的转动惯量.机动目录上页下页返回结束解:

取球心为原点,z轴为l

轴,则球体的质量例8.求均匀球体对于过球心的一条轴

l

的转动惯量.设球所占域为(用球坐标)机动目录上页下页返回结束

G

为引力常数五、物体的引力设物体占有空间区域

,物体对位于原点的单位质量质点的引力利用元素法,在上积分即得各引力分量:其密度函数引力元素在三坐标轴上的投影分别为机动目录上页下页返回结束对xoy面上的平面薄片D,它对原点处的单位质量质点的引力分量为机动目录上页下页返回结束例9.设面密度为μ,半径为R的圆形薄片求它对位于点解:由对称性知引力处的单位质量质点的引力.。机动目录上页下页返回结束例10.求半径R的均匀球对位于的单位质量质点的引力.解:

利用对称性知引力分量点机动目录上页下页返回结束为球的质量机动目录上页下页返回结束作业P96

7，10,17P116

1，3，6,11,13,14习题课目录上页下页返回结束(t

为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程设长度单位为厘米,时间单位为小时,设有一高度为已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9),问高度为130cm

的雪堆全部融化需要多少小时?(2001考研)机动目录上页下页返回结束备用题提示:记雪堆体积为V,侧面积为S,则(用极坐标)机动目录上页下页返回结束由题意知令得(小时)因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100小时.机动目录上页下页返回结束*第五节一、被积函数含参变量的积分二、积分限含参变量的积分机动目录上页下页返回结束含参变量的积分

第九章一、被积函数含参变量的积分上的连续函数,则积分确定了一个定义在[a,b]上的函数,记作x

称为参变量,上式称为含参变量的积分.含参积分的性质定理1.(连续性)

上连续,则由①确定的含参积分在[a,b]上连续.—连续性,可积性,可微性:①机动目录上页下页返回结束证:在闭区域R上连续,所以一致连续,即只要就有就有这说明机动目录上页下页返回结束定理1表明,定义在闭矩形域上的连续函数,其极限运算与积分运算的顺序是可交换的.同理可证,续,则含参变量的积分机动目录上页下页返回结束由连续性定理易得下述可积性定理:定理2.(可积性)上连续,同样,推论:在定理2的条件下,累次积分可交换求积顺序,即机动目录上页下页返回结束定理3.(可微性)都在证:

令函数,机动目录上页下页返回结束因上式左边的变上限积分可导,因此右边且有此定理说明,被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续时,求导与求积运算是可以交换顺序的.机动目录上页下页返回结束例1.解:由被积函数的特点想到积分:机动目录上页下页返回结束例2.解:考虑含参变量t

的积分所确定的函数显然,由于机动目录上页下页返回结束故因此得机动目录上页下页返回结束二、积分限含参变量的积分在实际问题中,常遇到积分限含参变量的情形,例如,为定义在区域上的连续函数,则也是参变量x

的函数,其定义域为[a,b].利用前面的定理可推出这种含参积分的性质.机动目录上页下页返回结束定理4.(连续性)上连续,则函数证:令则由于被积函数在矩形域上连续,由定理1知,上述积分确定的函数定理5.(可微性)都在中的可微函数,则证:令机动目录上页下页返回结束利用复合函数求导法则及变限积分求导,得机动目录上页下页返回结束例3.解:机动目录上页下页返回结束例4.分小时,函数的n

阶导数存在,且证:令

在原点的某个闭矩形邻域内连续,由定理5可得机动目录上页下页返回结束即同理于是作业

(*习题9-5)P1231(2),(3);2(2),(4);3;4(1);5(1)习题课目录上页下页返回结束第十章积分学定积分二重积分三重积分积分域区间域平面域空间域曲线积分曲线域曲面域曲线积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法机动目录上页下页返回结束对弧长的曲线积分

第十章一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB,其线密度为“大化小,常代变,近似和,求极限”

可得为计算此构件的质量,1.引例:

曲线形构件的质量采用机动目录上页下页返回结束设

是空间中一条有限长的光滑曲线,义在

上的一个有界函数,都存在,

上对弧长的曲线积分,记作若通过对

的任意分割局部的任意取点,2.定义下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.称为被积函数，

称为积分弧段.曲线形构件的质量和对机动目录上页下页返回结束如果L是xoy

面上的曲线弧,如果L

是闭曲线,则记为则定义对弧长的曲线积分为机动目录上页下页返回结束思考:(1)若在

L

上f(x,y)≡1,(2)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例?否!

对弧长的曲线积分要求ds0,但定积分中dx

可能为负.3.性质（k为常数)(

由组成)(l为曲线弧

的长度)机动目录上页下页返回结束二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路:计算定积分转化定理:且上的连续函数,证:是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分根据定义机动目录上页下页返回结束点设各分点对应参数为对应参数为则机动目录上页下页返回结束说明:因此积分限必须满足(2)注意到因此上述计算公式相当于“换元法”.因此机动目录上页下页返回结束如果曲线L的方程为则有如果方程为极坐标形式:则推广:

设空间曲线弧的参数方程为则机动目录上页下页返回结束例1.

计算其中L是抛物线与点

B(1,1)之间的一段弧.解:上点O(0,0)机动目录上页下页返回结束例2.计算半径为R,中心角为的圆弧L

对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度

=1).解:

建立坐标系如图,则机动目录上页下页返回结束例3.计算其中L为双纽线解:

在极坐标系下它在第一象限部分为利用对称性,得机动目录上页下页返回结束例4.计算曲线积分

其中

为螺旋的一段弧.解:

线机动目录上页下页返回结束例5.

计算其中

为球面被平面所截的圆周.解:由对称性可知机动目录上页下页返回结束思考:例5中

改为计算解:

令,则圆

的形心在原点,故,如何机动目录上页下页返回结束例6.计算其中为球面解:化为参数方程则机动目录上页下页返回结束例7.有一半圆弧其线密度解:故所求引力为求它对原点处单位质量质点的引力.机动目录上页下页返回结束内容小结1.定义2.性质(l

曲线弧

的长度)机动目录上页下页返回结束3.计算•对光滑曲线弧•对光滑曲线弧•对光滑曲线弧机动目录上页下页返回结束思考与练习1.已知椭圆周长为a,求提示:原式=利用对称性分析:机动目录上页下页返回结束2.

设均匀螺旋形弹簧L的方程为(1)求它关于z

轴的转动惯量(2)求它的质心.解:

设其密度为

ρ(常数).(2)L的质量而(1)机动目录上页下页返回结束故重心坐标为作业P1313(3),(4),(6),(7)5第二节目录上页下页返回结束备用题1.

设

C

是由极坐标系下曲线及所围区域的边界,求提示:

分段积分机动目录上页下页返回结束2.

L为球面面的交线,求其形心.在第一卦限与三个坐标解:

如图所示,交线长度为由对称性,形心坐标为机动目录上页下页返回结束第二节一、对坐标的曲线积分的概念与性质二、对坐标的曲线积分的计算法三、两类曲线积分之间的联系机动目录上页下页返回结束对坐标的曲线积分

第十章一、对坐标的曲线积分的概念与性质1.

引例:

变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在xoy

平面内从点A沿光滑曲线弧L

移动到点B,求移“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”变力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.机动目录上页下页返回结束1)“大化小”.2)“常代变”把L分成n个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F

沿则用有向线段上任取一点在机动目录上页下页返回结束3)“近似和”4)“取极限”(其中

为n

个小弧段的最大长度)机动目录上页下页返回结束2.定义.设

L

为xoy

平面内从A到B的一条有向光滑弧,若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分.其中,L

称为积分弧段或积分曲线.称为被积函数,在L上定义了一个向量函数极限记作机动目录上页下页返回结束若

为空间曲线弧,记称为对x的曲线积分;称为对y的曲线积分.若记,对坐标的曲线积分也可写作类似地,机动目录上页下页返回结束3.性质(1)若L

可分成k条有向光滑曲线弧(2)用L－

表示L的反向弧,则则

定积分是第二类曲线积分的特例.说明:

对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向

!机动目录上页下页返回结束二、对坐标的曲线积分的计算法定理:在有向光滑弧L上有定义且L的参数方程为则曲线积分连续,证明:

下面先证存在,且有机动目录上页下页返回结束对应参数设分点根据定义由于对应参数因为L为光滑弧,同理可证机动目录上页下页返回结束特别是,如果L

的方程为则对空间光滑曲线弧

:类似有定理目录上页下页返回结束例1.计算其中L为沿抛物线解法1

取x

为参数,则解法2取y

为参数,则从点的一段.机动目录上页下页返回结束例2.计算其中L为(1)半径为a

圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点

B(–a,0).解:(1)取L的参数方程为(2)取L的方程为则则机动目录上页下页返回结束例3.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3)有向折线

解:

(1)原式(2)原式(3)原式机动目录上页下页返回结束例4.设在力场作用下,质点由沿

移动到解:(1)(2)

的参数方程为试求力场对质点所作的功.其中

为机动目录上页下页返回结束例5.求其中从

z

轴正向看为顺时针方向.解:取的参数方程机动目录上页下页返回结束三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧L

以弧长为参数

的参数方程为已知L切向量的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系机动目录上页下页返回结束类似地,在空间曲线

上的两类曲线积分的联系是令记A

在t

上的投影为机动目录上页下页返回结束二者夹角为

例6.设曲线段L

的长度为s,证明续,证:设说明:

上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.在L上连机动目录上页下页返回结束例7.将积分化为对弧长的积分,解：其中L沿上半圆周机动目录上页下页返回结束1.定义2.性质(1)L可分成k

条有向光滑曲线弧(2)L－

表示L的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!内容小结机动目录上页下页返回结束3.计算•对有向光滑弧•

对有向光滑弧机动目录上页下页返回结束4.两类曲线积分的联系•

对空间有向光滑弧

:机动目录上页下页返回结束原点O

的距离成正比,思考与练习1.设一个质点在处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到提示:(解见P139例5)F

的大小与M到原F

的方向力F的作用,求力F

所作的功.思考:

若题中F的方向改为与OM垂直且与

y

轴夹锐角,则机动目录上页下页返回结束2.

已知为折线ABCOA(如图),计算提示:机动目录上页下页返回结束作业P1413(2),(4),(6),(7);

4;5;7;8第三节目录上页下页返回结束备用题

1.解:线移动到向坐标原点,其大小与作用点到xoy

面的距离成反比.沿直求F所作的功W.已知F

的方向指一质点在力场F

作用下由点机动目录上页下页返回结束2.

设曲线C为曲面与曲面从ox

轴正向看去为逆时针方向,(1)写出曲线C

的参数方程;(2)计算曲线积分解:(1)机动目录上页下页返回结束(2)原式=令利用“偶倍奇零”机动目录上页下页返回结束第三节一、格林公式

二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件机动目录上页下页返回结束格林公式及其应用

第十章区域D分类单连通区域(无“洞”区域)多连通区域(有“洞”区域)域D边界L的正向:域的内部靠左定理1.

设区域D

是由分段光滑正向曲线L围成,则有(格林公式)函数在D上具有连续一阶偏导数,或一、格林公式机动目录上页下页返回结束证明:1)若D既是X-型区域,又是

Y-

型区域,且则定理1目录上页下页返回结束即同理可证①②①、②两式相加得:定理1目录上页下页返回结束2)若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割为有限个上述形式的区域,如图证毕定理1目录上页下页返回结束推论:正向闭曲线L所围区域D的面积格林公式例如,椭圆所围面积定理1目录上页下页返回结束例1.设L是一条分段光滑的闭曲线,证明证:

令则利用格林公式,得机动目录上页下页返回结束例2.

计算其中D是以O(0,0),A(1,1),

B(0,1)为顶点的三角形闭域.解:

令,则利用格林公式,有机动目录上页下页返回结束例3.

计算其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解:

令设L所围区域为D,由格林公式知机动目录上页下页返回结束在D内作圆周取逆时针方向,,对区域应用格记L和

lˉ

所围的区域为林公式,得机动目录上页下页返回结束二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理2.

设D是单连通域

,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线

L,有(2)对D中任一分段光滑曲线

L,曲线积分(3)(4)在D内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在D内是某一函数的全微分,即机动目录上页下页返回结束说明:

积分与路径无关时,曲线积分可记为证明(1)(2)设为D内任意两条由A到B

的有向分段光滑曲线,则(根据条件(1))定理2目录上页下页返回结束证明(2)(3)在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点B(x,y),与路径无关,有函数定理2目录上页下页返回结束证明

(3)(4)设存在函数

u(x,y)使得则P,Q在D内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有定理2目录上页下页返回结束证明

(4)(1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式,得所围区域为证毕定理2目录上页下页返回结束说明:根据定理2,若在某区域内则2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求du=

Pdx+Qdy在域D内的原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;定理2目录上页下页返回结束例4.

计算其中L为上半从O(0,0)到A(4,0).解:为了使用格林公式,添加辅助线段它与L

所围原式圆周区域为D,

则机动目录上页下页返回结束例5.

验证是某个函数的全微分,并求出这个函数.证:

设则由定理2可知,存在函数u(x,y)使。。机动目录上页下页返回结束例6.

验证在右半平面(x>0)内存在原函数,并求出它.证:

令则由定理2

可知存在原函数机动目录上页下页返回结束或机动目录上页下页返回结束例7.设质点在力场作用下沿曲线L:由移动到求力场所作的功W解:令则有可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.机动目录上页下页返回结束思考:积分路径是否可以取取圆弧为什么？注意,本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关!机动目录上页下页返回结束内容小结1.格林公式2.等价条件在

D

内与路径无关.在

D

内有对D

内任意闭曲线L有在D

内有设P,Q

在D

内具有一阶连续偏导数,则有机动目录上页下页返回结束思考与练习1.设且都取正向,问下列计算是否正确?提示:机动目录上页下页返回结束2.设提示:作业P1532(1);3;4(3);5(1),(4);6(2),(5)第四节目录上页下页返回结束

备用题1.

设

C

为沿从点依逆时针的半圆,计算解:

添加辅助线如图,利用格林公式.原式=到点机动目录上页下页返回结束2.

质点M沿着以AB为直径的半圆,从A(1,2)运动到点B(3,4),到原点的距离,解:

由图知故所求功为锐角,其方向垂直于OM,且与y

轴正向夹角为求变力F

对质点M

所作的功.(90考研)

F

的大小等于点M在此过程中受力F作用,机动目录上页下页返回结束第四节一、对面积的曲面积分的概念与性质二、对面积的曲面积分的计算法机动目录上页下页返回结束对面积的曲面积分

第十章一、对面积的曲面积分的概念与性质引例:设曲面形构件具有连续面密度类似求平面薄板质量的思想,采用可得求质

“大化小,常代变,近似和,求极限”

的方法,量M.其中,

表示n

小块曲面的直径的最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).机动目录上页下页返回结束定义:设为光滑曲面,“乘积和式极限”都存在,的曲面积分其中f(x,y,z)叫做被积据此定义,曲面形构件的质量为曲面面积为f(x,y,z)是定义在上的一个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面上对面积函数,

叫做积分曲面.机动目录上页下页返回结束则对面积的曲面积分存在.•对积分域的可加性.则有•线性性质.在光滑曲面

上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.•积分的存在性.若是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面机动目录上页下页返回结束定理:

设有光滑曲面f(x,y,z)在上连续,存在,且有二、对面积的曲面积分的计算法

则曲面积分证明:由定义知机动目录上页下页返回结束而(光滑)机动目录上页下页返回结束说明:可有类似的公式.1)如果曲面方程为2)若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下dS的表达式,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分.(见本节后面的例4,例5)机动目录上页下页返回结束例1.

计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.解:机动目录上页下页返回结束思考:若是球面被平行平面z=±h

截出的上下两部分,则机动目录上页下页返回结束例2.

计算其中

是由平面坐标面所围成的四面体的表面.解:

设上的部分,则与

原式=分别表示

在平面机动目录上页下页返回结束例3.

设计算解:

锥面与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分,它在xoy面上的投影域为则机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束思考:

若例3中被积函数改为计算结果如何?例4.

求半径为R

的均匀半球壳

的重心.解:

设的方程为利用对称性可知重心的坐标而用球坐标思考题:

例3是否可用球面坐标计算

?例3目录上页下页返回结束例5.计算解:取球面坐标系,则机动目录上页下页返回结束例6.计算其中

是球面利用对称性可知解:

显然球心为半径为利用重心公式机动目录上页下页返回结束例7.计算其中

是介于平面之间的圆柱面分析:

若将曲面分为前后(或左右)则解:

取曲面面积元素两片,则计算较繁.机动目录上页下页返回结束例8.

求椭圆柱面位于xoy

面上方及平面

z=y

下方那部分柱面

的侧面积S.解:取机动目录上页下页返回结束例9.

设有一颗地球同步轨道通讯卫星,距地面高度

h=36000km,机动目录上页下页返回结束运行的角速度与地球自转角速度相同,试计算该通讯卫星的覆