2024年成考专升本高等数学重点及解析汇报

高等数學（二）重點知识及解析Ⅰ、函数、极限一、基本初等函数(又称简朴函数)：（1）常值函数：（2）幂函数：（3）指数函数：(〉0,（4）對数函数：(〉0,（5）三角函数：，，，（6）反三角函数：，，，二、复合函数：要會判断一种复合函数是由哪几种简朴函数复合而成的。例如：是由，這两個個简朴函数复合而成.例如：是由，和這三個简朴函数复合而成.该部分是背面求导的关键！三、极限的计算1、运用函数持续性求极限（代入法）：對于一般的极限式（即非未定式），只要将代入到函数体現式中，函数值即是极限值，即。注意：（1）常数极限等于他自身，与自变量的变化趋势無关，即。（2）该措施的使用前提是當的時候，而時则不能用此措施。例1：，，，，例2：例3：（非特殊角的三角函数值不用计算出来）2、未定式极限的运算法（1）對于未定式：分子、分母提取公因式，然後消去公因式後，将代入後函数值即是极限值。例1：计算.………未定式，提取公因式解：原式=例2：计算.………未定式，提取公因式解：原式===（2）對于未定式：分子、分母同步除以未知量的最高次幂，然後运用無穷大的倒数是無穷小的這一关系進行计算。例1：计算………未定式，分子分母同步除以n解：原式………無穷大倒数是無穷小例2：计算.………未定式，分子分母同除以解：原式==………無穷大倒数是無穷小，因此分子是0分母是23、运用等价無穷小的代换求极限（1）定义：设和是同一变化過程中的两個無穷小，假如=1，称与是等价無穷小，记作～.（2）定理：设、、、均為無穷小，又～，～，且存在则=或（3）常用的等价無穷小代换：當時，～,～例1：當時，～2，～例2：极限===………用2等价代换例3：极限==………用等价代换Ⅱ、一元函数的微分學一、导数的表达符号（1）函数在點处的导数记作：，或（2）函数在区间（a,b）的导数记作：，或二、求导公式（必须熟记）（1）（C為常数）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）例：1、=2、3、=4、5、6、三、导数的四则运算运算公式（设U，V是有关X的函数，求解時把已知題目中的函数代入公式中的U和V即可，代入後用导数公式求解.）（1）（2）尤其地（為常数）（3）例1：已知函数，求.解：===例2：已知函数，求和.解：===因此=（注意：lne=1,ln1=0）例3：已知函数，求.解：===四、复合函数的求导1、方法一：例如求复合函数的导数.（1）首先判断该复合函数是由哪几种简朴函数复合而成的.如由和這两個简朴函数复合而成（2）用导数公式求出每個简朴函数的导数.即=，=2（3）每個简朴函数导数的乘积即為复合函数的导数；注意中间变量要用原变量替代回去.∴=2=22、方法二（直接求导法）：复合函数的导数等于构成该复合函数的简朴函数导数的乘积。假如對导数公式熟悉，對复合函数的過程清晰，可以不必写出中间变量而直接對复合函数從外往裏求导.例1：设函数，求.解：==·=·=例2：设函数，求.解：==·=注意：一种复合函数求几次导，取决于它由几种简朴函数复合而成。五、高阶导数1、二阶导数记作：，或我們把二阶和二阶以上的导数称為高阶导数.2、求法：（1）二阶导数就是對一阶导数再求一次导（2）三阶导数就是對一阶导数求两次导，對二阶导求一次导例1：已知，求.解：∵=，∴=例2：已知，求.解：∵==，∴=2=4即=六、微分的求法：（1）求出函数的导数.（2）再乘以即可.即.例1：已知，求.解：∵====∴=例2：设函数，求.解：∵==∴=Ⅲ、二元函数的微分學一、多元函数的定义：由两個或两個以上的自变量所构成的函数，称為多元函数。其自变量的变化围称為定义域，一般记作。例如：二元函数一般记作：，二、二元函数的偏导数1、偏导数的表达措施：（1）设二元函数，则函数在区域D對和對的偏导数记為：，，；，，（2）设二元函数，则函数在點处對和對的偏导数记為：，，；，，；2、偏导数的求法（1）對求偏导時，只要将當作是常量，将當作是变量，直接對求导即可.（2）對求偏导時，只要将當作是常量，将當作是变量，直接對求导即可.假如规定函数在點处的偏导数，只规定出上述偏导函数後将和代入即可.例1：已知函数，求和.解：=，=例2：已知函数， 求和.解：=，=三、全微分1、全微分公式：函数在點处全微分公式為：2、全微分求法：（1）、先求出两個一阶偏导数和.（2）、然後裔入上述公式即可.例1：设函数，求.解：∵=，=∴例2：设函数，求.解：∵=，=∴四、二阶偏导的表达措施和求法：（1）===……两次都對求偏导（2）===……先對求偏导，再對求偏导（3）====……先對求偏导，再對求偏导（4）===……两次都對求偏导可見二元函数的二阶偏导共四种，它們都是的函数。在求二阶偏导的時候一定要注意對变量的求导次序（写在符号前面的变量先求偏导）.例1：设函数，求，，和.解：∵=，=得=，=，=，=例2：设函数，求，.解：∵=得=，=Ⅳ、一元函数的积分學一、原函数的定义：设是区间I上的一种可导函数，對于区间I上的任意一點，均有，则称是在区间I上的一种原函数.例1：，因此是的一种原函数，是的导数.由于，可見只要函数有一种原函数，那么他的原函数就有無穷多种.例2：设的一种原函数為，求.解：由于是的一种原函数，即=，因此===.得==（注：）二、不定积分（一）、定义：我們把的所有原函数称為在区间I上的不定积分，记作：（其中）注意：不定积分是原函数的的全体，因此计算成果常数C勿忘！（二）、不定积分的性质〈1〉〈2〉（其中為常数）（三）、基本积分公式（和导数公式同样，必须熟记）〈1〉〈2〉（k為常数）〈3〉〈4〉〈5〉〈6〉〈7〉〈8〉〈9〉例1：例2：（运用换元法，设）又如：（四）、不定积分的计算1、直接积分法：對被积函数進行恒等变形，并用积分性质和积分公式進行积分的措施。例1：===例2：2、凑微分法（1）合用前提：假如被积函数是两個函数相乘（或相除）或者被积函数是复合函数（一般為较為简朴的复合函数）的状况，此時可以考虑用凑微分法。（2）凑微分法解法环节〈1〉凑微分〈2〉换元〈3〉直接积分法〈4〉反换元例1：求不定积分解：原式==……（1.凑微分）将凑成=……（2.换元）将换元成=……（3.直接积分法）求出的不定积分=……（4.反换元）再用反换元例2：求不定积分解：原式=……（1.凑微分）将凑成=……（2.换元）将换元成=……（3.直接积分法）求出的不定积分=……（4.反换元）再用反换元例3：求不定积分解：原式=……（1.凑微分）将凑成=……（2.换元）将换元成=……（3.直接积分法）求出的不定积分=……（4.反换元）再用反换元注意：凑微分時要注意凑完微分後前後变量要统一！假如能纯熟掌握换元過程，此時就可以不必写出中间变量，而直接進行积分。例4：==（将凑成）例5：==（将凑成）3、分部积分法三、定积分（一）、定积分的定义：由曲边梯形的面积引出定义公式A=（A為曲边梯形的面积）其中為被积函数，為积分区间，為积分下限，為积分上限。用定积分所要注意的事项：1、由于定积分是曲边梯形的面积，因此定积分的值一定是一种常数，因此對定积分求导，导数值必為零。例：，2、當a=b時，=0因定积分上限b＞a，當b＜a時，=例：，（二）、定积分的计算1、变上限积分的计算（1）定义：积分上限為变量時的定积分称為变上限积分，变上限积分是上限的函数，记作（2）变上限积分的导数：……将代入到即可例1：设，则.例2：2、牛顿—莱布尼茨公式（1）公式：假如是持续函数在上的一种原函数，则有==（2）由公式可知：持续函数在上定积分，就是的一种原函数在上的增量（上限值減下限值）。而持续函数的不定积分，就是的全体原函数（原函数背面加常数C）。