椭圆的几何性质

椭圆的几何性质TOC\o"13"\h\z\u题型1椭圆的几何性质 2题型2点与椭圆的位置关系 9题型3离心率取值问题 13题型4离心率取值范围 19◆类型1根据a,b,c的不等关系求离心率取值范围 19◆类型2临界关系求离心率的取值范围 21◆类型3根据几何性质求离心率的取值范围 26◆类型4根据题目的条件求离心率的取值范围 36题型5直线与椭圆的位置关系 44◆类型1过定点型 44◆类型2联立方程型 46题型6弦长问题 48◆类型1不含参数型 48◆类型2含参数型 52题型7中点弦问题 57题型8解答题 60焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长长轴长＝eq\a\vs4\al(2a)，短轴长＝eq\a\vs4\al(2b)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝eq\a\vs4\al(2c)对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)离心率e＝eq\f(c,a)(0<e<1)知识点二.椭圆的离心率1.定义：e＝eq\f(c,a).2.离心率的范围为：(0,1).2.公式拓展：e＝eq\f(c,a)=1-b2a3.e越大，椭圆越扁平；e越小，椭圆越接近于圆.题型1椭圆的几何性质【例题1】（2023·全国·高二随堂练习）求下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率：(1)x2(2)x2(3)4x【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析【分析】（1）首先确定焦点位置在y轴上，即可计算出a,b,c的大小，即可求出结果；（2）根据标准方程可知其焦点在x轴上，确定a,b,c的大小算出结果即可；（3）将方程变形成标准方程形式，确定焦点位置在x轴上，即可求出结果.【详解】（1）由椭圆方程x26+y29=1所以该椭圆长轴长为2a=6，短轴长为2b=26，焦距为2c=2上下顶点坐标为0,3,0,-3，左右顶点坐标为上下焦点坐标为0,3,0,-（2）由椭圆方程x2169+可得a=13,b=12，则c=5，所以该椭圆长轴长为2a=26，短轴长为2b=24，焦距为2c=10；上下顶点坐标为0,12,0,-12，左右顶点坐标为左右焦点坐标为-5,0,5,0，离心率（3）将椭圆方程4x2+9y2所以a=12,b=所以该椭圆长轴长为2a=1，短轴长为2b=23，焦距为上下顶点坐标为0,13,左右焦点坐标为-56,0【变式11】1.（多选）（2023秋·河南焦作·高二校考阶段练习）已知椭圆x216+A．13 B．13 C．19 D．19【答案】BD【分析】利用椭圆焦距的定义和性质即可求解.【详解】由题知，216-m=23解得m=13或m=19.故选：BD【变式11】2.（2023秋·高二课时练习）曲线x225+A．长轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相等 D．短轴长相等【答案】B【分析】通过方程分别研究两曲线的相关性质，比较即可.【详解】曲线x225+则a=5,b=3,c=4，长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率ca曲线x2由k<9得9-k>0,25-k>0，且25-k>9-k，故曲线x225-k+∴a=25-k长轴长、离心率、短轴长均与k有关，不一定与曲线x2而其焦距为8，与曲线x2故选：B.【变式11】3.（2024秋·广东广州·高三统考阶段练习）已知椭圆E的方程为x2+(y-2)A．长轴长为16 B．短轴长为4C．焦距为2 D．焦点为-2,0【答案】B【分析】先根据方程化简得到椭圆方程，结合选项进行判断.【详解】因为x2所以椭圆E是以0,2,设椭圆E：x2b2+y由b2=a由方程可得长轴长为8，焦距为4，短轴长为43故选：B.【变式11】4.（多选）（2022秋·浙江嘉兴·高二校考期中）已知F1，F2是椭圆C:xA．PB．椭圆的焦距为2C．点P到左焦点F1距离的最大值为D．∠F1【答案】ABD【分析】由已知求出a,b,c的值，然后根据椭圆的定义即可得出A，B项；根据椭圆的性质，可判断C、D项.【详解】对于A项，由已知可得a=2，b=1，根据椭圆的定义可得P对于B项，由已知可得c2=a2-对于C项，由已知可得，点P到左焦点F1距离的最大值为右顶点到左焦点的距离，即a+c=对于D项，如图，当点P为短轴顶点时，∠F1PF2则PF12+P故选：ABD.【变式11】5.（多选）（2022秋·河北邯郸·高二校考阶段练习）已知椭圆C：x2m+y2A．6+25 B．6+45【答案】BCD【分析】根据题意，由点A在椭圆内部，再结合椭圆的定义，列出不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】设椭圆的左焦点为F'，则F由点A在椭圆内部得4m+4m-4<1根据椭圆的定义及PA+PF又当P，F'，A三点共线时PA-PF'综上，6+25故选:BCD．【变式11】6.（2023·全国·高三专题练习）如图所示，用一束与平面α成60°角的平行光线照射半径为3的球O，在平面α上形成的投影为椭圆C及其内部，则椭圆C的（

）A．长轴长为3 B．离心率为2C．焦距为2 D．面积为3【答案】C【分析】先根据投影的特点确定椭圆C的a，b的取值与球O半径长之间的关系，再结合椭圆的性质计算离心率分别判断各个选项即可．【详解】

由题意知：OB⊥AB,OB=3,∠BAO=60°∴椭圆C的长轴长2a=2OA=4，A错误；∵椭圆C短轴长为球O的直径，即2b=23∴c=a2-b2∴椭圆C的离心率e=c由图可知：椭圆C的面积大于球O大圆的面积，又球O大圆的面积S=3π∴椭圆C的面积大于3π故选：C．【变式11】7.（2023·江西九江·统考一模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2，过F2A．3 B．6 C．62 D．【答案】A【分析】由PM⊥F1Q且PF1=PQ=2，得到M为【详解】如图所示，因为PM⊥F1Q且PF1又因为O为F1F2的中点，OM⊥x所以△PF1Q为等边三角形，所以∠PF1所以椭圆C的焦距为2c=3故选：A.【变式11】8.（多选）（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则（

）A．轨道Ⅱ的长轴长为R+rB．轨道Ⅱ的焦距为R-rC．若R不变，r越小，轨道Ⅱ的短轴长越大D．若r不变，R越大，轨道Ⅱ的离心率越小【答案】AB【分析】根据椭圆中一个焦点与长轴两顶点的距离分别为a+c,a-c，分别结合圆的半径R和r分析选项即可求解.【详解】设椭圆长轴2a，短轴2b，焦距2c，对于B，由椭圆的性质知，a+c=R,a-c=r，解得2c=R-r，a=R+r对于C，由上知2b=2a若R不变，r越小，2b越小，轨道Ⅱ的短轴长越小，故C错误；对于D，因为e=c若r不变，R越大，则2Rr+1故选：AB题型2点与椭圆的位置关系【方法总结】点P(x0，y0)与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上⇔eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1；点P在椭圆内部⇔eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)<1；点P在椭圆外部⇔eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)>1.【例题2】（2023·江苏·高二专题练习）若点3,2在椭圆x2A．点-3,-2不在椭圆上 B．点3,-2不在椭圆上C．点-3,2在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系【答案】C【分析】根据椭圆的对称性可判断.【详解】点-3,-2与点3,2关于原点对称，点3,-2与3,2关于x轴对称，点-3,2与3,2关于y轴对称，若点3,2在椭圆x2a2+y2b故选：C【变式21】1.（2023·全国·高二专题练习）点P(4cosα，23sinα)(α∈R)与椭圆C：x24＋A．点P在椭圆C上 B．点P与椭圆C的位置关系不能确定，与α的取值有关C．点P在椭圆C内 D．点P在椭圆C外【答案】D【解析】将P的坐标代入到椭圆方程的左边，结合同角三角函数的基本关系即可判断点和椭圆的位置关系.【详解】把点P(2cosα，3sinα)(α∈R)代入椭圆方程的左边为4cosα＝4（cos2α＋sin2α）＝4>1，因此点P在椭圆外．故选:D.【变式21】2.（2023·江苏·高二专题练习）点Aa,1在椭圆xA．-2,C．-2,2 D．-1,1【答案】B【分析】根据点在椭圆外部得不等式，解不等式得结果.【详解】因为点Aa,1在椭圆x所以a24+故选：B.【变式21】3.（2022秋·辽宁葫芦岛·高三校联考期中）函数y=a3-x（a>0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在椭圆x2m+y2A．12 B．14 C．16 D．18【答案】C【分析】求出A的坐标代入椭圆方程，再将m+n化为积为定值的形式，利用基本不等式可求得结果.【详解】由3-x=0，即x=3，得y=1，所以A(3,1)，因为点A在椭圆x2m+y2n=1所以m+n=(m+n)(9当且仅当m=12,n=4时，等号成立.故选：C【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.【变式21】4.（多选）（2023·全国·模拟预测）已知曲线C:mxA．0<m<12 B．CC．m的值越小，C的焦距越大 D．C的短轴长的取值范围是0,2【答案】AC【分析】由曲线C为焦点在x轴上的椭圆，得出a2和b2，根据a2>b2>0即可判断A；根据椭圆离心率e=【详解】对于A：根据题意知椭圆C的标准方程为x2因为C的焦点在x轴上，所以1m>1对于B：由A可得a2=1所以椭圆C的离心率e=c对于C：椭圆C的焦距2c=2a因为函数y=1m，y=-1所以m的值越小，C的焦距越大，故C正确；对于D：椭圆C的短轴长2b=21因为当0<m<12时，所以11-m所以2b∈(2,22故选：AC．【变式21】5.（2023·高二课时练习）设点Px,y是曲线x225+yA．PF1C．PF1【答案】C【分析】先将曲线方程化简，可知其图形在椭圆x225+【详解】解：曲线x225+y2以F1(-4,0)，F2在直角坐标系中，作出曲线x225+由图形以及椭圆的定义可知：若P(x,y)在椭圆x225+y29=1上，又在曲线x若P(x,y)在椭圆x225+y2综上，PF故选：C.题型3离心率取值问题【方法总结】1．椭圆的离心率的求法：(1)直接求a，c后求e，或利用e＝eq\r(1－\f(b2,a2))，求出eq\f(b,a)后求e.(2)将条件转化为关于a，b，c的关系式，利用b2＝a2－c2消去b.等式两边同除以a2或a4构造关于eq\f(c,a)(e)的方程求e.2．求离心率范围时，常需根据条件或椭圆的范围建立不等式关系，通过解不等式求解，注意最后要与区间(0,1)取交集．【例题3】（2023秋·高二课时练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),O为椭圆的对称中心，A．32 B．5-12 C．【答案】B【分析】根据题意确定PF=OF，进而可得【详解】如图，不妨设F(c,0),P(c,y因为点P(c,y0)在椭圆上，所以c所以P(c,b又因为△POQ为等腰直角三角形，所以PF=即b2a=c，即a解得e=5-12故选:B.【变式31】1.（2023·湖南永州·统考一模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2，点P是椭圆C上位于第一象限的一点，且A．217 B．3311 C．7【答案】B【分析】由P点坐标求得Q点坐标，然后代入椭圆C的方程，化简求得椭圆C的离心率.【详解】由x2a2+y由于PF2与y轴平行，且P在第一象限，所以由于2P所以OQ=即Q-95c,-2b281c77c所以离心率e=c故选：B【变式31】2.（2023·全国·高三专题练习）已知右焦点为F的椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0上的三点A，B，C满足直线A．22 B．75 C．3【答案】A【分析】根据椭圆的对称性，结合平行四边形的判定定理和性质、椭圆的定义、勾股定理、椭圆的离心率公式进行求解即可.【详解】设椭圆左焦点为F1-c,0，连接AF1，设CF=m，m>0，结合椭圆对称性得A由椭圆定义得AF=2a-3m，CF1因为OF=OF则四边形AF则AF1∥BF，而则AF12整理得m=a3，在Rt△FA即9m2+∴a2=2c故选：A【点睛】关键点睛：本题的关键是利用椭圆的对称性和定义.【变式31】3.（2023·江苏·高二专题练习）设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点为F1A．14,12 B．1【答案】D【分析】由题意可得F1-c,0,F2c,0，设Px,y，可表示出P【详解】由题意可知，F1-c,0,因为x2a2又PF1=所以PF因为-b≤y≤b，则0≤y当y2=b2时，PF即3c≤a≤所以e=c即椭圆C的离心率为55故选：D.【变式31】4.（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的上顶点为【答案】12/【分析】求出线段BF2的中点坐标，根据两直线垂直斜率关系可得a2【详解】

如图，设BF2的垂直平分线与BF由题，F1-c,0，F2c,0，∴kF1∵k∴b3c×由a2=b∴e2=故答案为：12【变式31】5.（2022秋·浙江·高二校联考期中）已知F1、F2为椭圆x2a2+y2【答案】45/【分析】根据椭圆定义并利用余弦定理可得PF1PF2=4【详解】根据题意画出图象如下图所示：利用椭圆定义可知PF1+又∠F1=4化简可得PF所以△PF1F设△PF1F2的外接圆半径为由正弦定理可得F1F2易知△PF1F利用等面积法可知S△PF1又△PF1F所以Rr=8，即可得Rr离心率e=c故答案为：45【点睛】方法点睛：求解椭圆焦点三角形外接圆与内切圆半径问题，通常利用正弦定理计算外接圆半径，由等面积法公式S=1题型4离心率取值范围【方法总结】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式e=c②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2◆类型1根据a,b,c的不等关系求离心率取值范围【例题41】（2023·全国·高二专题练习）椭圆x25a+A．（0，15） B．（15，C．0,55【答案】C【分析】根据椭圆的焦点在x轴上，由5a>4a2+1【详解】解：因为椭圆的焦点在x轴上，∴5a>4a2+1又e=5a-4∴它的离心率的取值范围为0,5故选：C.【变式41】1.（2023春·海南·高二统考学业考试）已知椭圆x2A．0,55 B．0,12【答案】C【分析】先根据焦距求出m的范围，然后离心率的公式可得答案.【详解】设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2ca,b,c>0因为m>4，所以a2=m，b2=4，则此时e2=c故选：C【变式41】2.（2023秋·高二单元测试）已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为．【答案】2【分析】根据题设可得c≥b，结合椭圆参数关系及离心率性质求离心率范围.【详解】依题意，2c≥2b，即c≥b，所以c2从而c2≥a2-c2所以椭圆离心率的取值范围是22故答案为：2【变式41】3.（2023秋·河南洛阳·高三校考阶段练习）已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为A．2-1,1 B．2-1,1 C．0,【答案】B【分析】由正弦定理及椭圆定义得ca=sin∠PF2F1sin【详解】由asin∠PF1F又PF1∈∴a2-c又e∈0,1，∴e∈故选：B．◆类型2临界关系求离心率的取值范围【例题42】2023秋·高二单元测试）椭圆C:x2a2+y2b2A．0,12 B．12【答案】B【分析】先根据焦点三角形的顶角范围，求出椭圆特征三角形顶角θ的范围，继而求出离心率的范围.【详解】设椭圆的上顶点为B,则令∠F则e=c∵0°≤∠F1P∴30°≤θ<90°,∴e=sin故选：B.【变式42】1.（2023·全国·高三专题练习）若椭圆x2a2+y2b【答案】2【分析】方法一：设点M的坐标是x0,y0，则x0<a，由题意方法二：设点M的坐标是x0,y0，由已知可得出关于x0、y0的方程组，求出x0方法三：设椭圆的一个短轴端点为P，由题意∠F1P【详解】方法一：设点M的坐标是x0,y∵F1-c,0，F2c,0，∴∵∠F1MF2又点M在椭圆上，即y0∴x02+∴c2≥b又0<e<1，∴22故椭圆的离心率e的取值范围是22方法二：设点M的坐标是x0由方法一可得x02a2+∵0≤x02由②得c2由①得c2≥b2，即c2又0<e<1，∴e∈2综上所述，椭圆的离心率e的取值范围是22方法三：设椭圆的一个短轴端点为P，∵椭圆上存在一点M，使∠F∴∠F1PF2∴c2≥b又0<e<1，∴22故椭圆的离心率e的取值范围为22故答案为：22【变式42】2.（2022秋·河南商丘·高二校考阶段练习）已知圆C1:x2+y2=b2与椭圆C2:xaA．[32C．22,【答案】A【分析】设椭圆C2上任意点P(与上下顶点不重合)作圆的切线PB,PC，∠BPC=2θ且0<θ<π2，根据题意问题化为保证|OP|=a【详解】由题设，圆与椭圆在上下顶点处相切，椭圆C2上任意点P(与上下顶点不重合)作圆的切线PB,PC若∠BPC=2θ且0<θ<90°，要P所作的圆C1的两条切线的夹角最小，只需|OP|所以，当P与左右顶点重合时|OP|max=a，此时∠BPC=2θ最小；P靠近上下顶点时2θ在椭圆C2上存在一点P，使得P所作的圆C1的两条切线的夹角为所以，保证|OP|=a时∠BPC=2θ≤60°，即0<θ≤30°，由题意及图知：sinθ=|OB||OP|=b所以椭圆C2的离心率的取值范围是[故选：A【变式42】3.（2023·全国·高二专题练习）过原点作一条倾斜角为θθ∈π6,5【答案】2【分析】分别讨论直线AB的斜率是否存在，利用坐标运算即可求解椭圆的离心率e的取值范围.【详解】当倾斜角θ=π2时，直线AB的斜率不存在，如图则A若AF⊥BF，则AF⋅BF=所以a2=所以椭圆的离心率e=c当倾斜角为θ∈π6,π2∪π设Ax0,y0若AF⊥BF，则AF⋅联立①②，结合a2=b由k=y0x0，k∈-所以b4c4-b所以2a2-c综上，椭圆的离心率e的取值范围为22故答案为：22【变式42】4.(2023·广西南宁·南宁市武鸣区武鸣高级中学校考二模）设F1、F2分别为椭圆x2a2+y【答案】2【分析】在△MF1F2，由正弦定理结合条件有:【详解】由∠MF1F2=α，∠MF2F1离心率e=sinβsinα，则由于a-c<MF2a+ca-c由2a2<a+c2有2所以椭圆离心率取值范围为2-1,1故答案为：2-1,1◆类型3根据几何性质求离心率的取值范围【例题43】（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）若椭圆E:x2+y21-m2=1A．0,12 B．12,1【答案】D【分析】先由椭圆方程表示a，b，c，再OP=m结合椭圆图形得出c≥b【详解】设椭圆E的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a，b，c，由题意知a=1，b=1-m2由椭圆E上存在点P满足OP=m，等价于以O为原点，以c得c≥b，所以c2≥b所以e=ca≥所以E的离心率的取值范围为22故选：D.【变式43】1.（2023秋·高二课时练习）已知椭圆C：x2a2+y2bA．0，3C．35，【答案】A【分析】利用△PF1F2面积相等，得到|y【详解】△MF1F2的面积为12|F1F2解得|yM|=a+c两边平方得：(a+c2整理得：5因为e=ca,不等式两边同时除以a解得：0<e≤故选：A【变式43】2.（2021·陕西西安·统考一模）已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1、F2，半焦距为【答案】0,【分析】因△PF1F2在以【详解】

如图，PF因为△PF1F所以S△P因为0<S所以22a+cc≤bc所以12a+c2因e=ca，得3e因0<e<1，故e∈0,故答案为：0,【变式43】3.（2021秋·陕西汉中·高三统考期末）已知椭圆的右焦点为F，上顶点为B，直线l:x-y=0与椭圆C交于不同的两点M，N，满足|MF|+|NF|=4，且点B到直线l的距离不小于22，则椭圆C的离心率eA．0,32 B．32,1【答案】A【分析】先结合椭圆的定义及对称性，求得a，然后由题目的条件可得b的取值范围，由此即可确定离心率e的取值范围.【详解】设椭圆的左焦点为E，连接EM,EN，结合椭圆的性质以及直线l:x-y=0，可得四边形EMFN为平行四边形，所以MF+NF=NE+因为点B到直线l的距离不小于22，B(0,b)，直线l:x-y=0所以d=b2≥因为e=e所以e∈故选：A【变式43】4.（2023秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）椭圆x2a2+y2b2=1A．0，4C．0，17【答案】B【分析】由圆的半径大于椭圆的短半轴长且小于椭圆的长半轴长得不等关系，从而得a,b,c的不等关系，再结合a2【详解】由题意b<bt+c2<a∴b<b+c2b+c2<a，由b<b+c2得又b+c2<a，即b2=∴45故选：B．【变式43】5.（2022秋·山东淄博·高二校联考阶段练习）若F1、F2为椭圆C：x2a2+y2b2=1的左、右焦点，焦距为4，点P为C【答案】2【分析】利用平面向量数量积的运算律和椭圆的性质求解.【详解】由题可得，F1设O为坐标原点，则OF所以P=PO2-4=λ因为λ∈1,4，所以PO若存在四个不同的点P满足PO2∈5,8所以b2<5a2>8所以e2=4故答案为:23【变式43】6.（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MFA．(0，12) B．(0【答案】B【分析】根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合点在椭圆内部的特点、椭圆离心率公式进行求解即可.【详解】根据椭圆的对称性，不妨设焦点在横轴上的椭圆标准方程为：x2设F1-c,0,MF点Mx0,要想该不等式恒成立，只需2a而e>0⇒0<e<2故选：B【变式43】7.（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知点Px0,y0是椭圆C:x2a2A．0,22 B．0,22【答案】D【分析】由题意可得以F1F2【详解】解：由已知，以F1F2所以22故选：D.【变式43】8.（2023·全国·高二专题练习）设F1、F2分别是椭圆C:xA．0,12 B．0,13【答案】C【分析】根据题意可得以F2为圆心，以|PF2【详解】由题意椭圆C上存在点P，使线段PF1的垂直平分线过点则|PF且需满足以F2为圆心，以|P即2c≥a-c，即e=ca≥故椭圆离心率的取值范围是13故选：C【变式43】9.（2023·海南·校考模拟预测）已知F是椭圆x2a2+yA．[32,1) B．(0,3【答案】C【分析】利用题给条件和椭圆定义构造不等式，进而求得椭圆离心率的取值范围.【详解】设椭圆左右焦点分别为F1，F，连接F由椭圆及直线的对称性知：四边形AFBF且∠AFB=120°，∠FAF在△AFFFF∴(AF+AF（当且仅当AF=可得14(AF+AF1)∴椭圆的离心率e∈[1故选：C【变式43】10.（2023·全国·高三专题练习）已知O为坐标原点，F是椭圆C:x2aA．0,1 B．0,22 C．2【答案】C【分析】设椭圆C的右焦点为F'，连接AF'．由椭圆的性质分析出以FF'【详解】设椭圆C的右焦点为F'，连接A由椭圆的性质得，AF'∥BF，∠FAF设椭圆C的半焦距为cc>0，所以只需c≥b，所以c2≥a2故选：C【变式43】11.（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知椭圆C：x2a2+y2bA．0,12C．0,22【答案】B【分析】由数形结合可知，点P不是直角顶点，则由b>c，确定离心率的取值范围.【详解】当PF1和PF2垂直于F1由条件可知，点P不是直角顶点，则以F1则b>c，得b2>c所以椭圆离心率e的取值范围是0,2故选：B【变式43】12.（2023春·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考阶段练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2【答案】2【分析】根据题意结合椭圆、圆的性质分析可得b2【详解】设椭圆C的半焦距为c>0，则圆O:x2+y2若圆O与椭圆C有公共点，则c≥b，可得c2≥b因为MF1+可得4a2-2又因为m=MF1且MF1+MF可得MF整理得b2因为fm=m+1m+2且f1可得fm=m+1可得e=1-综上所述：椭圆C的离心率的取值范围为22故答案为：22【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．◆类型4根据题目的条件求离心率的取值范围【例题44】（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）设M是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点，A．22,1 B．0,22【答案】B【分析】设Px0,y0，由M0,b，求出PM2【详解】设Px0,y0，M所以PM2=x由题意知当y0=-b时，PM2取得最大值，所以-b3c2故选：B．【变式44】1.（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）椭圆的中心在坐标原点，A1，A2，B1，B2分别为椭圆的左、右、上、下顶点，F2为其右焦点，直线B1FA．5-12,1 B．12【答案】A【分析】根据∠B1PA2为钝角转化为B2A2⋅F2【详解】如图，设椭圆的标准方程为x2a2由题意，得A2a,0，B1则B2A2因为∠B1PA2为向量B所以B2A2又b2=a两边同时除以a2得1-e-e2<0，解得因为e∈0,1，所以-1+故选：A．【变式44】2.（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为【答案】3【分析】不妨设F-c,0，设Px,y，表示出PF，OP，依题意可得PF⋅OP=0有解，根据数量积的坐标表示得到方程a2【详解】依题意不妨设F为椭圆的左焦点，则F-c,0设Px,y，则PF=-c-x.-y，OP=x,y若存在点P使得PF⊥OP，则存在点P使得PF⋅即-x2-cx-即a2-b令fx=a2-所以Δ=a4c2由a2-4a2-c2由a2<2c2，即1<2e又0<e<1，所以1>e≥32，即故答案为：32【变式44】3.（2023·全国·高二专题练习）已知点F是椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点，点F关于直线【答案】2【分析】求出点F关于直线y=kx的对称点Q的坐标，代入椭圆C的方程中，整理可得1e2-1=【详解】过点F且与直线y=kx垂直的直线l为y=-1两直线的交点Mc1+k点Q在椭圆C上，则1-k2则1e由于k∈12,2，则2k故答案为：2【变式44】4.（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）已知O为坐标原点，动直线l与椭圆M:x2a2+y2b2【答案】2【分析】由椭圆的切线方程及圆心到直线的距离列出方程，根据方程有解得出不等式，求出离心率范围即可.【详解】如图，△OAB的面积最大值为a22⇔存在直线l使∠AOB=90∘设Px0,y0∴O到l的距离为d=1平方整理得a2x0又x0两式相减得a2y0又0<y02所以a2∴2故答案为：2【变式44】5.（2023·重庆·统考三模）已知F1，F2分别为椭圆的左右焦点，P是椭圆上一点，∠PF【答案】0,【分析】设∠PF2F1=θ，可得∠PF1F2=3θ，∠F1PF2【详解】设∠PF2F∠F由正弦定理可得，PF所以PF1=根据椭圆的定义可知，PF所以有2csin所以有c=2sin2θ因为，θ=∠PF2F令t=cosθ，则t∈2则函数ft=2t-1又f22=2×所以，0<ft<3故答案为：0,3【点睛】思路点睛：设∠PF2F1=θ，根据已知条件，求出△PF1F2【变式44】6.（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1的左右焦点分别为F1，F2【答案】2【分析】不妨设P3,t，(t>0)，F1-c,0，F2c,0，直线PF1倾斜角为α，直线PF2【详解】不妨设P3,t，(t>0)，F1-c,0设直线PF1倾斜角为α，直线PF则tan∠=t若tan∠F1PF又t+9-c2t≥2则2c29-c2=2又椭圆C与直线x=3无公共点，则a<3，所以e=c所以椭圆离心率的取值范围是22故答案为：22【变式44】7.（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆x2a2+y2b2=1【答案】3【分析】当P点位于椭圆的右顶点的位置的时候，PF2最小值，且最小值为PF2＝a－c，根据PT=PF22【详解】依题意，如图所示：当P点位于椭圆的右顶点的位置的时候，PF2最小值，且最小值为∵PT=∴a-c2∴a-c2∴a-c≥2b-c∴a+c≥2b，∴a+c2化为5c2＋解得e≥3可得35∵b＞c，∴b2∴a2∴a2∴e2解得0<e<2由①②解得35故椭圆离心率的取值范围为35故答案为：35【变式44】8.（2023春·上海静安·高二上海市新中高级中学校考期中）设椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为【答案】2【分析】根据已知条件及直角所对的圆周角等于90°，利用勾股定理、椭圆的定义及椭圆的离心率公式，再利用换元法和构造函数即可求出离心率的取值范围．【详解】由以线段F1F2为直径的圆x所以半径OF1>b，即c>b所以e=ca=2c2a由于12≤PF1e=ca由于函数φt=t+1故gt=1-故22=g1<1-所以椭圆离心率的取值范围为22故答案为：2【点睛】关键点睛：解决此题的关键是根据已知条件及直径所对的圆周角等于90°，利用勾股定理、椭圆的定义及椭圆的离心率公式，再利用换元法和构造函数，结合对勾函数的性质即可.题型5直线与椭圆的位置关系【方法总结】直线y＝kx＋m与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法：联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消y得一元二次方程．当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切；当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离．◆类型1过定点型【例题51】（2023秋·全国·高二期中）椭圆x28+A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定【答案】B【分析】根据定点判断直线和椭圆的位置关系.【详解】直线过定点M1,0故选:B.【变式51】1.（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆C:x225A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定【答案】A【分析】根据直线方程可得直线l过定点A3,2，判断点A【详解】对于直线l:m+2x-m+4令x-y-1=0x-2y+1=0，解得x=3故直线l过定点A3,2∵3225+所以直线l与椭圆C相交.故选：A.【变式51】2.（2022·全国·高三专题练习）直线y=kx-k与椭圆x2A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定【答案】A【分析】求得直线y=kx-k恒过的定点，判断定点与椭圆的位置关系，由此可得直线y=kx-k与椭圆的位置关系.【详解】直线y=kx-k可化为y=k(x-1)，所以直线恒过点(1,0)，又129+∴直线y=kx-k与椭圆x2故选：A.【变式51】3.（2022秋·广东深圳·高二深圳中学校考期末）直线y＝k（x﹣2）+1与椭圆x2A．相离 B．相交 C．相切 D．无法判断【答案】B【分析】直线恒过2,1点，将点代入椭圆标准方程，根据点与椭圆的位置关系判断即可【详解】由题知，直线恒过定点2,1，将2,1点代入x216+y2故选：B【点睛】本题考查点与椭圆位置关系的判断，可简单记为：点Px1,y1，椭圆标准方程为x2a◆类型2联立方程型【例题52】（2022秋·高二课时练习）已知点P(1,m)在椭圆x24+y2A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切【答案】B【分析】先根据点P(1,m)在椭圆x24+【详解】因为点P(1,m)在椭圆x2所以14+m则圆x2+y2=1d=3所以直线y=2mx+3与圆x故选：B【点睛】本题考查了点与椭圆的位置关系及利用几何法判断直线与圆的位置关系，属于一般题.【变式52】1.（2023秋·高二课时练习）直线x=1与椭圆x2A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定【答案】B【分析】根据椭圆的方程求得短轴的右顶点为(1,0)，进而得到直线与椭圆的位置关系.【详解】由椭圆的方程x2+y22所以直线x=1与椭圆x2故选：B【变式52】2.（2023秋·高二课时练习）直线y=x+1与椭圆x2A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定【答案】C【分析】代数法联立直线与椭圆，转化为二次方程根的问题来判断即可.【详解】联立y=x+1x则Δ所以方程有两个不相等的实数根，所以直线与椭圆相交故选：C.题型6弦长问题【方法总结】（1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．（2）求弦长的方法①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\r(y1＋y22－4y1y2).◆类型1不含参数型【例题61】（2023秋·高二课时练习）通过椭圆x2A．23 B．3 C．3【答案】B【分析】根据椭圆方程写出一条过焦点且垂直于x轴的直线，代入椭圆方程求交点纵坐标，即可得弦长.【详解】由题设，不妨设过焦点(1,0)且垂直于x轴的直线l:x=1，代入椭圆方程得14+y23故选：B【变式61】1.（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考三模）已知椭圆C：x216+y27=1，F为椭圆C的左焦点，A为椭圆C的右顶点，B【答案】23【分析】由椭圆方程得a,b,c的值，得左焦点和右顶点A的坐标，可得AF和BF的值，由BF=a，所以B为椭圆C短轴的一个端点，可求AB【详解】椭圆C：x216+y27=1则F-3,0，A4,0，所以AF=7，由4由BF=a，所以B为椭圆C短轴的一个端点，所以AB故答案为：23.【变式61】2.（2022·高二课时练习）直线l：x+y-3=0，椭圆x2【答案】相离【分析】将直线方程与椭圆方程联立，计算得到Δ<0【详解】解：直线l：x+y-3=0，椭圆x24+∴Δ故答案为：相离【变式61】3.（2023·全国·高二专题练习）过椭圆C：x26+y2【答案】465【分析】设此直线的与椭圆相交于点Ax1,y1，Bx2【详解】解：由椭圆C：x26+设此直线与椭圆相交于点Ax1直线方程为：y=3联立y=3可得5x∴x1+∴AB故答案为：46【变式61】4.（2022秋·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考期中）已知椭圆x2a2+y2b2=1被直线y=-2x-2截得的弦长为6，则直线①-2x-y+2=0【答案】①③⑤【分析】根据椭圆的对称性结合直线的关系即得.【详解】因为椭圆x2a2根据题意可画出椭圆与直线的大致图象，根据椭圆的对称性结合图象可得，-2x-y+2=0，2x-y+2=0，2x-y-2=0被椭圆截得的弦长也是6，-3x-y+2=0，3x-y-2=0被椭圆截得的弦长不是6，即①③⑤适合题意.故答案为：①③⑤.【变式61】5.（2022秋·广东江门·高二江门市培英高级中学校考期中）已知椭圆的方程为x24+y23=1，左、右焦点分别为【答案】24【分析】由已知得出直线的方程，与椭圆的标准方程联立，利用韦达定理根据弦长公式可得答案．【详解】由椭圆的方程可知左焦点F1(-1,0)，若直线AB的倾斜角为π4故直线AB的方程为y=x+1，联立方程组y=x+1x24+y23=1，消去x整理得7y由韦达定理可知y1+y|AB|=(弦长|AB|=24故答案为：24【变式61】6.（2022春·宁夏吴忠·高二校考开学考试）设椭圆C:x2a2+(1)求椭圆C的方程；(2)求椭圆C被直线y=x+1截得的弦长.【答案】(1)x(2)24【分析】（1）根据离心率和椭圆过点A列方程组直接求解可得；（2）直线方程代入椭圆方程，整理后利用韦达定理和弦长公式计算可得.【详解】（1）因为点A1,32在椭圆上，且离心率为12，所以1a（2）记直线y=x+1与椭圆交于P、Q两点，其坐标分别为(x将y=x+1代入x24+y23=1，得◆类型2含参数型【例题62】（2023秋·全国·高二期中）已知椭圆E：x2m+A．kx+y+1=0 B．kx+y-1=0 C．kx-y-1=0 D．kx+y-2=0【答案】D【分析】取k=1逐项代入，利用对称性分析即可判断ABC，对于D，联立直线与椭圆，得到韦达定理，利用弦长公式即可判断【详解】依题意，取k=1时，l：y=x+1.对于A：当k=1时，kx+y+1=0⇒y=-x-1，与y=x+1关于x轴对称，截得的弦长相等；对于B：当k=1时，kx+y-1=0⇒y=-x+1，与y=x+1关于y轴对称，截得的弦长相等；对于C：当k=1时，kx-y-1=0⇒y=x-1，与y=x+1关于原点对称，截得的弦长相等；对于D：由于直线l：y=kx+1的定点为0,1，则0m则直线l：设直线l：y=kx+1与x2则由x2m+y2由韦达定理得：x1+x由弦长公式得：AB=所以AB=整理得：AB=由于直线kx+y-2=0的定点为0,2，则0m+4当k=0时，直线kx+y-2=0与椭圆相切，不满足题意；易得当k≠0时，直线kx+y-2=0与椭圆恒有两个交点，设直线kx+y-2=0与x2m+则由x2m+y2由韦达定理得：x3+x由弦长公式得：CD=所以CD=整理得：CD=因为m≠0，所以1+k即l：y=kx+1与直线：故选：D.【变式62】1.（多选）（2023秋·山东聊城·高三校联考期末）已知过点0,1的直线与椭圆x2+y22=1交于A．1 B．2 C．3 D．3【答案】BC【分析】先设直线，再联立方程组得韦达定理，求出弦长,最后确定范围即可.【详解】当直线斜率存在时，设过0,1斜率存在的直线方程为：y=kx+1，联立方程组y=kx+1,x2+y22=1,设Ax1,y1，BAB=AB=当斜率不存在时AB=22，故故选:BC．【变式62】2.（2023·江苏·高二专题练习）直线y=2x+b被椭圆4x2+y2【答案】-2或2.【分析】根据题意，联立方程组，结合韦达定理和直线与圆锥曲线的弦长公式，列出方程，即可求解.【详解】解：联立方程组y=2x+b4x2设直线y=2x+b与椭圆4x2+可得Δ=16b2且x1由弦长公式可得AB=1+2因为直线截椭圆所得的弦长为35，所以52×32-即实数b的值为-2或2.【变式62】3.（2022秋·湖南郴州·高二校考阶段练习）直线y=kx-2与椭圆x2+4y2=80相交于不同的两点P,Q,若PQ【答案】6【分析】利用点差法可构造关于斜率k的方程，求得斜率k；将直线方程代入椭圆方程可得韦达定理的结论，利用弦长公式可求得结果.【详解】设Px1,y1，Q∵E在直线y=kx-2上，∴y由x12+4∴k=y1-y2∴直线方程为y=1由y=12x-2x2+4y∴PQ【变式62】4.（2023·全国·高二专题练习）已知直线l:y=2x+m和椭圆C:x24+y2=1，m【答案】m=±2【分析】联立直线l与椭圆C的方程，消去y，写出韦达定理，利用弦长公式列方程，解出m．【详解】设直线l与椭圆C交于Ax联立x24+Δ=1617-mx1+x弦长AB=1+k2·故m=±23时，直线l被椭圆C所截的弦长为20【变式62】5.（2023·全国·高三专题练习）椭圆Cx24+y23=1上有一点P，若过点P的动直线l与C的另一个交点为Q，并且满足:原点O到l【答案】y=±3【分析】利用韦达定理和弦长公式求出直线方程即可求解.【详解】设Px当直线l的斜率不存在时，由原点O到l的距离为32，由对称性不妨设直线l:x=所以Px1,解得:P32,214当直线l的斜率存在时，可设l:y=kx+m.

因为原点O到l的距离为32，所以m1+k则Px1,y1,QxΔ=64因为4m2=9则x1所以PQ=1+k2因为4m所以PQ=化简得:5k解得:k=0，所以m=±32，直线l的方程为:综上所述:直线l的方程为:y=±3题型7中点弦问题【方法总结】解决椭圆中点弦问题的两种方法：（1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；（2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和【例题7】（2023秋·高二课时练习）已知A、B为椭圆y24+x23=1上两点，O为坐标原点，MA．-23 B．-32【答案】A【分析】首先利用直线和椭圆的位置关系建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数关系式和中点坐标公式的应用求出结果．【详解】由于直线AB的斜率为2，故设直线的方程为y=2x+b，设A(x故y24+则Δ=144b2故x1故y1利用中点坐标公式，M-3b8故kOM故选：A．【变式71】1.（2023·全国·高二专题练习）直线y=x-1被椭圆2xA．13,C．12,【答案】A【分析】联立方程组，求出弦的中点的横坐标，代入直线方程，即可求出纵坐标.【详解】设弦为AB,A(x由y=x-12x2+yΔ=-22所以弦的中点的横坐标是x=x代入直线方程y=x-1中，得y=-2所以弦的中点坐标是13故选：A.【变式71】2.（2023·全国·高二专题练习）椭圆4x2+9A．3x+2y-12=0 B．2x+3y-12=0C．4x+9y-14=0 D．9x+4y-14=0【答案】B【分析】利用点差法得到直线斜率和中点之间的关系，即可得解.【详解】设满足题意的直线与椭圆交于Ax则4x12两式相减得4x12又直线过P3,2，由此可得所求的直线方程为y-2=-所以弦所在直线的方程为2x+3y-12=0，故选：B.【变式71】3.（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆x2a2+yA．12 B．22 C．3【答案】B【分析】根据中点弦点差法可得弦中点和直线斜率得b2a2【详解】设直线2x-y+5=0与椭圆相交于Ax1,y1则x1+x2=-8，y由x12a得y1-y故椭圆的离心率e=c故选：B.【变式71】4.（2023·全国·高二专题练习）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F6,0A．123π B．93π【答案】A【分析】根据椭圆右焦点坐标可知a2-b2=6，由弦AB中点坐标为6【详解】设AB的中点为M，即M6易知c=a2-设Ax又AB中点坐标为63,-1则kFM又A,B两点在椭圆x2a2两式相减可得x12-解得3a2=4b2即a=2所以椭圆的面积为πab=12故选：A题型8解答题【例题8】（2023·福建龙岩·统考二模）已知椭圆K:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(1)求椭圆K的方程；(2)过点M作ME⊥x轴于点E，过点N作NQ⊥x轴于点Q，QM与NE交于点P，是否存在直线l使得△PMN的面积等于62？若存在，求出直线l【答案】(1)x(2)存在；x-2y-2=0【分析】（1）根据已知条件结合椭圆的定义求出2a，由焦点坐标可知c的值，利用a，b，c的关系可求出b2（2）依题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l方程为x=my+2(m≠0)，与椭圆的方程联立，结合韦达定理表示出P点的坐标，将三角形的面积表示为关于m的函数，解方程求出m的值即可．【详解】（1）

设MF2=2r，D依题意，得：OD=22-r所以，2a=MF1又c=2，所以b2所以椭圆C的方程为x2（2）

依题意，当直线l斜率为0时，不符合题意；当直线l斜率不为0时，设直线l方程为x=my+2(m≠0)，联立x=my+2x28易知Δ=16设M(x1,则y1+y因为ME⊥x轴，NQ⊥x轴，所以E(x1,0)所以直线QM:y=y直线NE:y=y联立①②解得xp因为ME∥NQ，ME与直线x=4平行，所以S△PMN因为my所以S△PMN由22m2故存在直线l的方程为x-2y-2=0或x+2y-2=0，使得【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为x1（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算Δ；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为x1+x2、x1（5）代入韦达定理求解.【变式81】1.（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知动点M到定点F1,0的距离与动点M到定直线x=2的距离之比为2(1)求点M的轨迹C的方程；(2)对∀k∈R，曲线C上是否始终存在两点A，B关于直线y=kx+b对称？若存在，求实数b【答案】(1)x(2)存在，0【分析】（1）设Mx,yx≠2，则x-1（2）当k≠0时，设直线AB方程为y=-1kx+t，Ax1,y1，Bx2,y2，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，设AB【详解】（1）设Mx,yx≠2，则x-1即2x-12+所以点M的轨迹C的方程为x2（2）假设曲线C上始终存在两点A，B关于直线y=kx+b对称，当k≠0时，设直线AB方程为y=-1kx+t，A联立y=-1kx+t则Δ=所以t2<1+2设AB的中点为x0则x0=x将x0,y0代入所以t=-k2+2k2即b2<k因为k2k2+2=1-易知当k=0时，曲线C上存在两点，关于直线y=0对称．所以b的取值范围为0．【变式81】2.（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）已知椭圆C:x2a(1)求椭圆C的方程；(2)经过椭圆右焦点F且斜率为kk≠0的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使AF【答案】(1)x(2)存在；点T【分析】（1）根据题意，得到c=1，再由椭圆C经过点P1,32（2）设直线l的方程为x=my+1，联立方程组，得到y1+y2=-6m3m2+4,y1y2【详解】（1）解：由椭圆C的焦距为2，故c=1，则b2又由椭圆C经过点P1,32，代入C得1所以椭圆C的方程为x2（2）解：根据题意，直线l的斜率显然不为零，令1k由椭圆右焦点F1,0，故可设直线l的方程为x=my+1联立方程组x=my+1x24则Δ=36设Ax1,y1设存在点T，设T点坐标为t,0，由AFBT=BF又因为AFBF所以sin∠ATF=sin∠BTF所以直线TA和TB关于x轴对称，其倾斜角互补，即有kAT则kAT+k所以y1(my即2m×-93m解得t=4，符合题意，即存在点T4,0【点睛】方法技巧：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k）；②利用条件找到k过定点的曲线F(x,y)=0之间的关系，