高考文数一轮复习课件第四章三角函数解三角形第六节简单的三角恒等变换

第六节简单的三角恒等变换总纲目录教材研读1.公式的常见变形考点突破2.辅助角公式考点二三角函数的给值求值（角）问题考点一三角函数式的化简、求值考点三三角恒等变换的综合应用

1.公式的常见变形(1)1+cosα=①2cos2

;1-cosα=②2sin2

.(2)1+sinα=

;教材研读1-sinα=

.(3)tan

=

=

.2.辅助角公式asinx+bcosx=

sin(x+φ)(φ为辅助角),其中sinφ=③

,cosφ=④

.

1.已知cosα=

,α∈(π,2π),则cos

等于

()A.

B.-

C.

D.-

答案

B由cosα=

,得2cos2

-1=

,即cos2

=

.又∵α∈(π,2π),∴

∈

,∴cos

<0,故cos

=-

.B2.

的值为

()A.1

B.-1

C.

D.-

答案

D原式=

=

=-

.D3.

sin15°+cos15°=

.答案

解析

sin15°+cos15°=2

=2(sin15°cos30°+cos15°sin30°)=2sin(15°+30°)=

.4.化简sin2

+sin2

-sin2α的结果是

.答案

解析解法一:原式=

+

-sin2α=1-

-sin2α=1-cos2α·cos

-sin2α=1-

-

=

.解法二:令α=0,则原式=

+

=

.5.已知2π<θ<4π,且sinθ=-

,cosθ<0,则tan

的值等于

.答案-3解析∵2π<θ<4π,又sinθ=-

,cosθ<0,∴3π<θ<

π,∴cosθ=-

,∴tan

=

=

=

=

=-3.-3考点一三角函数式的化简、求值典例1(1)4cos50°-tan40°=

()A.

B.

C.

D.2

-1(2)化简:

(0<θ<π)=

.考点突破答案(1)C(2)-cosθ解析(1)4cos50°-tan40°=4sin40°-

=

=

=

=

=

=

,故选C.(2)原式=

=

=

.因为0<θ<π,所以0<

<

,所以cos

>0,所以原式=-cosθ.1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则

方法技巧2.三角函数式化简的方法弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂.在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根

号中含有三角函数式时,一般需要升次.1-1化简:(1)sin50°(1+

tan10°);(2)

.解析(1)sin50°(1+

tan10°)=sin50°(1+tan60°tan10°)=sin50°·

=sin50°·

=

=

=

=1.(2)原式=

=

=

=

=

cos2x.考点二三角函数的给值求值(角)问题命题角度一给值求值典例2(1)已知sin

+sinα=

,则sin

的值是

()A.-

B.

C.

D.-

(2)已知θ是第四象限角,且sin

=

,则tan

=

.答案(1)D(2)-

解析(1)sin

+sinα=

⇒sin

cosα+cos

·sinα+sinα=

⇒

sinα+

cosα=

⇒

sinα+

cosα=

,故sin

=sinαcos

+cosαsin

=-

=-

.(2)解法一:∵sin

=

×(sinθ+cosθ)=

,∴sinθ+cosθ=

①,∴2sinθcosθ=-

.∵θ是第四象限角,∴sinθ<0,cosθ>0,∴sinθ-cosθ=-

=-

②,由①②得sinθ=-

,cosθ=

,∴tanθ=-

,∴tan

=

=-

.解法二:∵

+

=

,∴sin

=cos

=

,又2kπ-

<θ<2kπ,k∈Z,∴2kπ-

<θ+

<2kπ+

,k∈Z,∴cos

=

,∴sin

=

,∴tan

=

=

,∴tan

=-tan

=-

.典例3(1)设α,β为钝角,且sinα=

,cosβ=-

,则α+β的值为

()A.

B.

C.

D.

或

(2)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=

,tanβ=-

,则2α-β的值为

.命题角度二给值求角答案(1)C(2)-

π解析(1)∵α,β为钝角,sinα=

,cosβ=-

,∴cosα=

,sinβ=

,∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=

>0.又α,β∈

,∴α+β∈(π,2π),∴α+β=

.(2)∵tanα=tan[(α-β)+β]=

=

=

>0,且α∈(0,π),∴0<2α<π.∴0<α<

.又∵tan2α=

=

=

>0,∴0<2α<

,∴tan(2α-β)=

=

=1.∵tanβ=-

<0,β∈(0,π),∴

<β<π,∴-π<2α-β<0,∴2α-β=-

.1.“给值求值”即给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数

值,解题关键在于“变角”,使相关角相同或具有某种关系.方法技巧2.“给值求角”实质上可转化为“给值求值”,即通过求角的某个三角

函数值来求角(注意角的范围),在选取函数时,遵循以下原则:(1)已知正切函数值,选正切函数.(2)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是

,选正、余弦函数皆可;若角的范围是(0,π),选余弦函数;若角的范围为

,选正弦函数.3.解决上述两类问题时,常会用到角的变形,如:α=2·

,α=β-(β-α),α=(α+β)-β,α=

[(α+β)+(α-β)],

+α=

-

等.2-1若sin2α=

,sin(β-α)=

,且α∈

,β∈

,则α+β的值是

.答案

解析∵α∈

,∴2α∈

,又sin2α=

,∴2α∈

,∴cos2α=-

且α∈

,又∵sin(β-α)=

,β∈

,∴β-α∈

,∴cos(β-α)=-

,∴cos(α+β)=cos[(β-α)+2α]=cos(β-α)cos2α-sin(β-α)sin2α=

×

-

×

=

,又α+β∈

,所以α+β=

.典例4

(2015北京朝阳二模)已知函数f(x)=cosx(2

·sinx+cosx)-sin2x.(1)求函数f(x)在区间

上的最大值及相应的x值;(2)若f(x0)=2且x0∈(0,2π),求x0的值.考点三三角恒等变换的综合应用解析

f(x)=cosx(2

sinx+cosx)-sin2x=2

sinxcosx+cos2x-sin2x=2sin

.(1)因为x∈

,所以2x+

∈

,所以sin

∈

,所以当2x+

=

,即x=π时,f(x)max=1.(2)依题意知2sin

=2,所以sin

=1.又x0∈(0,2π),所以2x0+

∈

,所以2x0+

=

或2x0+

=

,所以x0=

或x0=

.方法指导三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合,

通过变换把函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式再研究其性质,解题时注意观

察函数的角、名、结构等特征,注意利用整体思想解决相关问题.3-1

(2015北京东城二模)已知函数f(x)=cos

+cos

,g(x)=cos2x.(1)若α∈

,且f(α)=-

,求g(α)的值;(2)若x∈

,求f(x)+g(x)的最大值.解析(1)f(x)=cos

+cos

=

cos2x-

sin2x-

cos2x-

sin2x=-

sin2x.因为f(α)