高考数学总复习（基础知识+高频考点+解题训练）函数及其表示

5-H-

第一~P函数及其表示

1基础却织妥打牢强双基I固本源I得基础分I掌握程度

［知识能否忆起］

1.函数的概念

(1)函数的定义：

一般地，设46是两个韭空的数集，如果按照某种确定的对应关系£使对于集合力中的任意一个数

x,在集合8中都有唯二确定的数F(x)和它对应；那么就称/'：/一8为从集合力到集合方的一个函数一记

作y=f(x),

(2)函数的定义域、值域：

在函数y=F(x),xG力中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y

值叫做函数值，函数值的集合｛f(x)1x6©叫做函数的值域—显然，值域是集合笈的子集.

(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系.

(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等，这是判断两函数相

等的依据.

2.函数的表示法

表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法.

3.映射的概念

设48是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系工使对于集合力中的任意一个元素X

在集合方中都有唯一确定的元素V与之对应，那么称对应广：4一8为集合/到集合8的一个映射.

4.分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分

段函数.分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数.

［小题能否全取］

1.(教材习题改编)设g(x)=2x+3,g(x+2)=_f(x),则/1(X)等于()

A.-2x+1B.2x-1

C.2x-3D.2x+7

解析，：选DF(x)=g(x+2)=2(x+2)+3.=2x+7.

X+1,2<1,

2.(•江西高考)设函数/'(x)=<2

则⑶)=()

7-1，

1

-B3

A.5

213

C-3D-T

2(2、13

解析：选DA3)=",AA3))=H2+1=y.

3.已知集合A=[0,8],集合6=[0,4],则下列对应关系中，不能看作从4到6的映射的是（）

11

ArB

:Xy-8-Xy-4-X

1

C.f：x-^y=-xD.f\x-^y-x

解析：选D按照对应关系f:x-y=x,对A中某些元素（如x=8）,B中不存在元素与之对应.

4.已知y=V+5工贝I]f(x)=.

1115

解析：令力=7贝Ux=].所以,(力)=/+1

5x+1

故二大（x#o）.

5x+1

答案：—^(^0)

5.（教材习题改编）若Ax）=丁+法+0,且/•⑴=0,A3）=0,贝.

1+6+c=0,b=-4,

解析：由已知得得

9+36+。=0,c-3.

即f(x)=V-4x+3.

所以『(-1)=(-I)?-4X(-1)+3=8.

答案.：8

1.函数与映射的区别与联系

（1）函数是特殊的映射，其特殊性在于集合力与集合8只能是非空数集，即函数是非空数集/到

非空数集8的映射.

（2）映射不一定是函数，从A到6的一个映射，46若不是数集，则这个映射便不是函数

2.定义域与值域相同的函数，不一定是相同函数

如函数y=x与y=x+1,其定义域与值域完全相同，但不是相同函数；再如函数y=sinx与y

=cosx,其定义域与值域完全相同，但不是相同函数.因此判断两个函数是否相同，关键是看定义域和

对应关系是否相同.

3.求分段函数应注意的问题

在求分段函数的值f(刘)时，一定要首先判断刘属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系

式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集.

1gl高频考点要通关抓考点|学技法|得拔高分|掌握程度

函数的基本概念

典题导入

［例1］有以下判断：

⑴f(x)=---与g(x)={表不同一函数；

x1<-1,水0

(2)函数y=Ax)的图象与直线x=1的交点最多有1个；

(3)f{x)=x-2x+1与g(»=/一2方+1是同一函数；

(4)若f(x)=|x-1-x|,则(［1))=0.

其中正确判断的序号是_____.

1x1

［自主解答］对于⑴，由于函数f(x)=一1的定义域为{x|xGR,且x#0},而函数g(x)=

fl,x河

,小的定义域是R,所以二者不是同一函数；对于(2),若x=l不是y=f(x)定义域的值，则直

线矛=1与y=『(x)的图象没有交点，如果才=1是y=f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线才=1与

y=f(x)的图象只有一个交点，即y=f(x)的图象与直线x=l最多有一个交点；对于(3),/<x)与g(力的

定义域、值域和对应关系均相同，所以Hx)和g(t)表示同一函数；对于(4),由于破=-|=0,

所以d剧)=『(°)=L

综上可知，正确的判断是(2)(3).

［答案］⑵⑶

由题悟法

两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和

对应关系完全

相同时，才表示同一函数.另外，函数的自变量习惯上用X表示，但也可用其他字母表示，如：Hx)

=2x-1,=21-1,方(4=20-1均表示同一函数.

以题试法

1,试判断以下各组函数是否表示同一函数.

⑴y=1,y=x；

⑵丁=5-2•y/x+2,y=yjx-4；

⑶尸x,y=行；

(4)y=|x|,y=诉;

解：⑴y=l的定义域为R,y=x°的定义域为｛x|xGR,且丘0｝,故它们不是同一函数.

(2)了=正点•，方”的定义域为｛x|x22｝.的定义域为｛x|x>2,或尽-2｝,故它们不

是同一函数.

(3)y=x,y=^P=t,它们的定义域和对应关系都相同，

故它们是同一函数.

(4)y=㈤的定义域为R,y=(F)2的定义域为｛x|x20｝，故它们不是同一函数.

求函数的解析式

典题导入

［例2］(1)已知(x+O=x2+J,求Hx)的解析式；

(2)已知(彳+1)=1g工求f(x)的解析式；

⑶已知/1(£)是二次函数,且手(0)=0,-1)=_f(x)+£+1,求广(£).

［自主解答］⑴由于(X+；|=X2+5=(X+；|2-2,

所以广0)=3-2,x22或后-2,

故Ax)的解析式是Mx)=*_2(x22或xW-2).

222

(2)月+1=［得x=7^7，代入得f(力)=IgTTJ.

又x>o,所以力1,

2

故f(x)的解析式是/'(X)=1%二斤(x〉l).

(3)设f{x)=ax'+bx+c(aWO),

由f(0)=0,知c=0,f{x)=ax+bx,

又由f(x+1)=f(x)+x+l,

得a(x+1)2+b(x»1)=ax+bx+x+1,

即a£+(2a+t>)x+a+b=ax2+(6+l)x+1,

［2,a+b=b+1,

所以一

［a+6=1,

解得a=b=~.

所以/'(x)=%+gx(xCR).

由题悟法

函数解析式的求法

(1)配凑法：由.已知条件『(g(x))=6x),可将户(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x),

便得f(x)的解析式(如例(D)；

(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法(如例(3))；

(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(如例(2))；

(4)方程思想：已知关于f(x)与0或A-x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成

方程组，通过解方程组求出Mx)(如A级T6).

以题试法

2.(1)已知『(/，+1)=x+25,求f(x)的解析式；

(2)设y=f(x)是二次函数，方程Hx)=0有两个相等实根，且/(x)=2x+2,求f(x)的解析式.

解：⑴法一：设方=F+1,则(1-1)2(后I)；

代入原式有f(6—(t~l)2+2{t—1)=12-2力+1+22一2=t2-1.

故f(x)=♦-1(x21).

法二：•.・*+25=('+2.+i—i=(力+1)2—1,

小「+1)=(F+1)2-1(爪+121),

即f(x)=♦-1(X21).

(2)设_f(x)=ax+6x+c(aWO),

贝IJf'(x)=2ax+6=2x+2,

「•乃=1,6=2,f(x)-x+2JT+c.

又「方程f(x)=0有两个相等实根，

」二4一4c=0,c=l,故F(x)"+2x+1.

分段函数

典题导入

2二xEOO]

［例3］(•广州调研考试)设函数f(x)=若f(x)>4,则x的取值范围是

x；xG[l,+OO

［自主解答］当x<l时，由f(x)>4,得2一94,gpX-2；

当x，l时，由f(x)>4得/>4,所以x>2或x<-2,

由于所以x>2.

综上可得K-2或x>2.

［答案］(-8,-2)U(2,+8)

»>一题多变

若本例条件不变，试求M-2))的值.

解：-2)=22=4,

f(f(-2))=/(4)=16.

由题悟法

求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求

值.若给出函数值

或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所

求自变量值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.

以题试法

3.（•衡水模拟）已知f（x）的图象如图,则Ax）的解析式为—

解析：由图象知每段为线段.

设广（£）二3X+瓦把（0,0）,（I,|卜口（1，|）（2,0）分别代入,

_3（__3

解得j2,2

6=0,[b=3.

「3

产OWxWl,

答案3

3-尹，

用|解题IN练委高响GAOXIAO抓速度|抓规范|拒绝眼高手低|掌握程度

A级全员必做题

1,下列四组函数中，表示同一函数的是（）

A.y=X-1与y=qx-12

I----x-1

=与尸后

C.y-41gx与y-21gx

x

D.y=lgx-2与片

答案：D

2.下列函数中，与函数y=」一定义域相同的函数为（）

1Inx

A.y=B.y=

sinxx

sinx

C.y=xe”D.片丁

解析：选D函数一的定义域为{x|xNO},选项A中由sin学OnxWA",AEZ,故A不对；选

项B中x>0,.故B不对；选项C中xER,故C不对；选项D中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法

可知定义域为{x|x#0}.

3.(•安徽高考)下列函数中，不满足f(2x)=2f(x)的是()

A.f(x)=|x|B.f(x)=x-|x|

C.f(x)=x+1D.F(x)=-x

.........................................fO,xNO,

解析：选C对于选项A,F(2x)=\2x\=2\x\=2f{x);对于选项B,f{x)=x-|jr|=S

[2x,x<0,

当x'O时，f(2x)=0=2f(x),当x<0时，f(2x)=4x=2•2x=2f(x),恒有/<2x)=2/<x)；对于选项D,

F(2x)=-2x=2(-x)=2f{x)；对于选项C,F(2x)=2x+1=2f(x)-1.

、

4・已知f-coxs+1mx+1,,后x>0。,，则七m卜《(日4的值等于()

A.-2B.1

C.2D.3

+3

解析「选D。号<4)+I=4|)+2=|,4l)4-|)=-

5.现向一个半径为R的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面

高度人随时间大变化的函数关系的是()

解析：选C从球的形状可知，水的高度开始时增加的速度越来越慢，当超过半球时，增加的速度又

越来越快.

6.若Hx)对于任意实数x恒有2_f(x)-F(-x)=3x+1,则f(6=()

A.x-1B,x+1

C.2x+1D.3x+3

解析：选B由题意知2f(x)-/'(-x)=3x+l.①

将①中x换为-x,则有2/(-x)-f(x)=-3x+1.②

①X2+②得3f(x)=3x+3,

即f(x)=x+1.

7.已知『(x)=/+px+q满足AD=A2)=0,贝f(-1)=.

解析：由HD=f(2)=0,

fr+p+<7=o,\p=-3,

得。2°n所以。

[2+2p+q=0,2.

故f(x)=x?-3x+2.

所以f(T)=(T>+3+2=6.

答案：6

\x+2ax,x22,

8.已知函数Ax)"。，io若f(f(l))>3a1则a的取值范围是________.

[2+1,x<2,

解析：由题知,Al)=2+1=3,f(f(l))=f(3)=3+6U若⑴)>3a；贝Ij9+6a>3才,即「一2a

-3<0,解得-14豕3.

答案：(T,3)

9.设集合〃={x|0W启2},N={y|0^j<2},那么下面的4个图形中，能表示集合〃到集合力的函

数关系的是.

解析:由函数的定义,对定义域内的每一个x对应着唯一一个匕据此排除①3),③中值域为50WZ3}

不合题意.

答案：②

x

10.若函数f{x)=--(a^0),A2)=1,又方程f(x)=X有唯一解，求f(x)的解析式.

O,X十U

2

解：由/⑵=1得=7；=1,gp2a+b=2；

乙dID

由,底)=不得量、=%变形得七七-1)=0,

\—b

解此方程得为=0或入=-，

a

\—b

又因方程有唯一解，故＜二。，

a

解得力=1,代入2@+6=2得0='1,

所以f(x)=17了

tr

11.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与4------/乙从家到公园

的距离都是2km,甲10时出发前往乙家.如图所示，表示甲从家出彳^J发到达乙家为

0(102030405060^

止经过的路程y(km)与时间x(min)的关系.试写出Ax)的函数解1析式.

解：当xW[0,30]时，设y=hx+bi,

f1

bi=0,k\=—

由已知得，解得15

30Ai+bi二2,

bi=0.

即尸M

当xG(30,40)时，y=2；

当xE[40,60]时，设y=jfex+'

40左+&=2,

解得＜"I。1

由已知得・

60左+.=4,

b2=-2.

即尸Ax-2.

C1「」

77^,xE[0,30],

■L0

综上，Ax)2,xE30.40.

1「

2,xE[40,60].

Viu

12.如图1是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象.

.(1)试说明图1上点4点8以及射线上的点的实际意义；

(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示.你能根据图

象，说明这两种建议的意义吗？

(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？

⑷图1、图2、图3中的票价分别是多少元？

解：(D点/表示无人乘车时收支差额为-20元，点6表示有10人乘车时收支差额为。元，线段47

上的点表示亏损，延长线上的点表示赢利.

（2）图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价.

（3）斜率表示票价.

⑷图1、2中的票价是2元.图3中的票价是4元.

B级重点选做题

1.（•北京高考）根据统计，一名工人组装第X件某产品所用的时间（单位：分钟）为/"（X）=

C

下水4

（4。为常数）.已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第4件产品用时15分钟,

.4

那么。和/的值分.别是（）

A.75,25B.75,16

C.60,25D.60,16

解析：选D因为组装第/件产品用时15分钟,

c

所以7r15,①

所以必有4<4且.=]=30.②

联立①O解得c=60,4=16.

2.（-江西红色六校联考）具有性质：七=的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列

函数：

",0<A<l,

11Qy—1

①y=x-：；②尸x+:③其中满足“倒负”变换的函数是（）

XXi

_x>\.

IX

A.①②B.①@

C.②③D.①

解析：选B对于①，f（x）=x-：满足；对于②，4）=：+x=f（x）,不满

故C)=