专题复合函数的定义域值域单调性与奇偶性讲义-高一上学期数学

专题：复合函数综合复习知识梳理1.复合函数一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数.复合函数的单调性若函数在内单调，在内单调，且集合{︳，}（1）若是增函数，是增（减）函数，则是增（减）函数.（2）若是减函数，是增（减）函数，则是减（增）函数.小结：同增异减（内外函数单调性相同则增，内外函数单调性相反则减）例题讲解及方法总结题型一：复合函数的定义域函数的定义域是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】函数的定义域满足，解得答案.【详解】的定义域满足：，解得.故选：B函数的定义域是__________.【答案】【分析】由函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可.【详解】要使函数有意义，则，即，解得，.所以，函数的定义域为.故答案为：.方法小结：注：这里的复合函数指的是由具体的函数复合而成的，而非抽象函数（抽象函数的定义域在前面的文章中讲过）题型二：复合函数的值域与最值函数的最小值是（

）．A．10 B．1 C．11 D．【答案】B【分析】利用换元法，令，则，先求出的范围，从而可求出函数的最小值【详解】设，则，因为，所以，所以的最小值为1，故选：B已知满足，求的最大值与最小值及相应的x的值．【答案】当时，取最小值为；当时，取最大值为．【分析】由条件求得，化简函数y的解析式为，由此可得y的最大值与最小值及相应的x的值.【详解】由题意，解得，，又，当时，，当时，，即当时，；当时，．方法小结：求复合函数的值域有以下几步①先求函数的定义域；②用换元法把复合函数表示成内函数和外函数；③根据定义域先求内函数的值域；④把内函数的值域当成外函数的定义域，再根据此定义域进一步求外函数的值域.注：第3题相当于进行了三次复合（对数函数、指数函数、二次函数）题型三：复合函数的单调性函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得的定义域，然后根据复合函数单调性同增异减求得正确答案.【详解】，解得，所以的定义域为，的开口向下，对称轴为，根据复合函数单调性同增异减可知，的单调递增区间是.故选：A若（且）在R上为增函数，则的单调递增区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定的单调性求出a的取值范围，再求出函数的定义域，利用复合函数单调性求解作答.【详解】且，函数与在R上有相同的单调性，即函数与函数在R上有相同的单调性，因此函数在R上单调递增，，在中，，解得或，显然函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的单调递增区间为.故选：B已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据对数函数及二次函数的单调性可得，进而即得.【详解】因为函数在上单调递增，又函数在上单调递增，所以在上单调递增，且，所以，解得.故选：B.方法小结：求复合函数单调区间主要有以下步骤：①先求函数的定义域；②用换元法把复合函数表示成内函数和外函数；③分别求内外函数的单调区间；④根据同增异减（内函数与外函数单调性相同则复合函数为增，内函数与外函数单调性相反则复合函数为减）确定复合函数的单调区间.注：求复合函数单调区间部分有两种题型，一种是直接求单调区间，如第5题和第6题，还有一种是已知单调区间求参数的取值范围，如第7题.题型四：复合函数的奇偶性判断函数的奇偶性，并证明【答案】为奇函数，证明见解析【解析】借助对数的运算性质，直接根据奇偶性的定义进行判断．【详解】解：函数为奇函数.证明如下：令.，是奇函数.判断函数的奇偶性．【答案】偶函数【详解】在上恒成立，故的定义域为，令，即为奇函数，∴为偶函数.方法小结：对于复合函数的奇偶性，方法与普通函数一样，先看定义域是否关于原点对称，再判断与的关系，如果相等则为偶函数，相反则为奇函数，否则为非奇非偶函数；但是有些较为复杂的复合函数，难以直接看出与是否互为相反数，但是相加却可以化简为0.