浙江省瑞安市2024年高考冲刺模拟(四)数学试题试卷

浙江省瑞安市2024年高考冲刺模拟(四)数学试题试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.记S.为等差数列｛4｝的前〃项和.若%=-5,邑=—16,则%=()

A.5B.3C.-12D.-13

13

2.已知a=logi213/=,c=log1314,则”,仇c的大小关系为()

A.a>b>cB.c>a>bC.b>c>aD.a>c>b

22

3.已知双曲线=—4=1(。>0,Z，>0)的左、右顶点分别为4，&,虚轴的两个端点分别为耳，B2,若四边

a"b~

形4片4耳的内切圆面积为18万，则双曲线焦距的最小值为()

A.8B.16C.60D.1272

\-y>Q

4.已知x,V满足约束条件<x+y<2,则z=2x+y的最大值为

y>Q

A.1B.2C.3D.4

5.已知a,b是平面内互不相等的两个非零向量，且同=1,8与。的夹角为150,则W的取值范围是()

A.(0,VJ]B.[1,V3]C.(0.2]D.[y/3,2]

2222

6.连接双曲线。1：餐-==1及。2：=-三=1的4个顶点的四边形面积为M,连接4个焦点的四边形的面积为邑,

5.

则当节取得最大值时，双曲线G的离心率为()

A.走B.述C.^3D.72

22

ln(x+l),x>0

7.已知函数/■(%)=[1,C，若men,且/(")=/("),则〃一相的取值范围为()

-x+l,x<0

12

A.[3-21n2,2)B.[3-21n2,2]C.[e-1,2)D.[e-1,2]

8.如图所示，网络纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（）

Q

A.2B.-C.6D.8

3

9.已知函数/(x)=cos2x+sin2、+d则的最小值为()

AJ拒R101后D1

2224

10.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

11.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数

都可以表示为两个素数的和，例如：4=2+2,6=3+3,8=3+5,那么在不超过18的素数中随机选取两个不同

的数，其和等于16的概率为（）

2

D.

15

12.已知函数/（%）=Asin（a）x+0）（其中A>0,®>0,。<。<万）的图象关于点成中心对称，且

与点M相邻的一个最低点为2V—,-3,则对于下列判断:

①直线X=5是函数图象的一条对称轴;

②点］-已0)是函数/(X)的一个对称中心;

/(x)^<X<等j的图象的所有交点的横坐标之和为171.

③函数了=1与丁=

其中正确的判断是()

A.①②B.①③C.②③D.①②③

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.函数/(x)=oe'与g(x)=-x-1的图象上存在关于x轴的对称点，则实数。的取值范围为.

14.给出以下式子：

@tan250+tan35°+gtan25°tan35°；

®2(sin35ocos25o+cos35ocos65°)；

—l+tanl5°

③---------

l-tan15°

其中，结果为3的式子的序号是.

15.函数/(幻=”"2"的极大值为.

16.在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,已知"一。'?/?,且sinAcosC=3cosAsinC,则

b=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，在ABC中，角A8C的对边分别为a,b,c,且满足asinB+bcosA=c,线段的中点

为D.

(II)已知sinC=^—,求NAD3的大小.

10

18.(12分)心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定

点的轨迹，因其形状像心形而得名，在极坐标系3中，方程Q=a(l-sing)(a>0)表示的曲线G就是一条心形

线，如图，以极轴3所在的直线为x轴，极点。为坐标原点的直角坐标系xOy中.已知曲线C2的参数方程为

X=1+6t

<百a为参数).

[y=---3---1■/

(1)求曲线。2的极坐标方程；

(2)若曲线a与G相交于4、。、B三点,求线段A3的长.

19.(12分)在AABC中，角A、B、C所对的边分别为。、b、c,角人、B、C的度数成等差数列，6=而.

(1)若3sinC=4sinA,求c的值；

(2)求a+c的最大值.

sinx

20.(12分)已知函数/(x)=----,g(x)=7〃(xT)-21nx.

(1)求证：当句时，/(x)<l；

(2)若对任意尤o«0,司存在石40,乃|和％2e(O,»](x/%)使g(菁)=8(%2)=/(X0)成立，求实数机的最小值.

21.(12分)设函数=sin(2x-)+sin(2x+，xER.

⑺求公J的最小正周期；

(〃)若a於且"3=?求sm(2a+)的值.

IT1

22.(10分)如图，在正四棱锥尸—A5CD中，AB=2,NAPC=—,〃为QB上的四等分点，即—BP.

34

(1)证明：平面AA7C_L平面尸5C；

(2)求平面PDC与平面AMC所成锐二面角的余弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解题分析】

4x3

由题得q+d=-5,4%+与一d=—16,解得％=—7,d=2,计算可得4.

【题目详解】

4x3_

a2=-5,S4--16,:.al+d--5,4tz1H■——J=-16,解得％=-7,d=2,

a6—ciy+5d—3.

故选：B

【题目点拨】

本题主要考查了等差数列的通项公式，前〃项和公式，考查了学生运算求解能力.

2、D

【解题分析】

由指数函数的图像与性质易得b最小，利用作差法，结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较。和c的大小关

系，进而得解.

【题目详解】

13

根据指数函数的图像与性质可知0<6=®14<1，

由对数函数的图像与性质可知c=log1314>l,所以〃最小;

而由对数换底公式化简可得a-c=log1213-log1314

Igl3_lgl4

lgl2lgl3

Ig213-lgl2-lgl4

Igl2-lgl3

|(lgl2+lgl4)

由基本不等式可知lgl2,lgl4V,代入上式可得

,lg213--(Igl2+lgl4)

域13-坨12小14>[

Igl24gl3Igl2-lgl3

/1V

lg213-lgl68

_____12J

Igl2-lgl3

riwiA

Igl3+-lgl68-lgl3—lgl68

Igl2-lgl3

Igl2-lgl3

所以a>c,

综上可知a>c>Z?,

故选：D.

【题目点拨】

本题考查了指数式与对数式的化简变形，对数换底公式及基本不等式的简单应用，作差法比较大小，属于中档题.

3、D

【解题分析】

根据题意画出几何关系，由四边形4与4层的内切圆面积求得半径，结合四边形4片为与面积关系求得c与等量

关系，再根据基本不等式求得c的取值范围，即可确定双曲线焦距的最小值.

【题目详解】

根据题意，画出几何关系如下图所示：

y

B「

a

B.

设四边形4片42的内切圆半径为厂，双曲线半焦距为c,

贝！）|。^|=m。闻=力,

所以出闻=5。2+庐=c，

四边形4片4星的内切圆面积为18万,

则18%="，解得|oq=r=30,

则s四边形出吗=g|44|,忸同=4乂：.|4用.|。。|,

即』•2a-2b=4x」・c-30

22

cr+b2

故由基本不等式可得/=血匕2_/，即,之6行，

―3后—3拒~6y/2

当且仅当a=b时等号成立.

故焦距的最小值为1272.

故选：D

【题目点拨】

本题考查了双曲线的定义及其性质的简单应用，圆锥曲线与基本不等式综合应用，属于中档题.

4、D

【解题分析】

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合即可得到结论.

【题目详解】

作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，

z=2x+y等价于y=_2x+z,作直线,=—2%,向上平移，

易知当直线经过点（2,0）时z最大，所以+故选D.

【题目点拨】

本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.

5,C

【解题分析】

试题分析：如下图所示，A8=a,AD=b,则AC=£＞B=a—b，因为a—b与匕的夹角为150，即4M3=150°,

所以NAD5=30。，设/4=6,则0＜。＜150°,在三角形海中，由正弦处理得同=W,所以

sin30°sin。

|z?|=———xsin。=2sin6）,所以0＜同K2,故选C.

11sin30°11

D

C

考点：1.向量加减法的几何意义；2.正弦定理；3.正弦函数性质.

6、D

【解题分析】

先求出四个顶点、四个焦点的坐标，四个顶点构成一个菱形，求出菱形的面积，四个焦点构成正方形，求出其面积,

5.

利用重要不等式求得寸取得最大值时有a=6,从而求得其离心率.

【题目详解】

2222

ryy

双曲线。=1与==1互为共飘双曲线,

ab2b2a

四个顶点的坐标为（±a,0）,（0,±6）,四个焦点的坐标为（土G0）,（0,土c）,

四个顶点形成的四边形的面积S[==x2ax2b=2ab,

2

1,

四个焦点连线形成的四边形的面积邑=]x2cx2c=2C2,

S,2ababab1

所以每=矛=仁F〈寿=5，

s

当U取得最大值时有a=b,C=缶，离心率e=£=应，

»2a

故选：D.

【题目点拨】

该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有共物双曲线的顶点，焦点，菱形面积公式，重要不等式

求最值，等轴双曲线的离心率，属于简单题目.

7,A

【解题分析】

分析：作出函数/（九）的图象，利用消元法转化为关于”的函数，构造函数求得函数的导数，利用导数研究函数的单

调性与最值，即可得到结论.

详解：作出函数“X）的图象，如图所示，若能＜〃，且“加）=/5）,

则当ln（x+l）=l时，得x+l=e,即％=6—1,

贝!I满足0<n<e-l,-2<m<0,

则ln(n+1)=^-m+l,即m=ln(n+1)-2,则〃一相=〃+2-21n(n+1),

设="+2-21n(〃+l),0<〃We-l,则=1+-=—~

当〃(〃)>0,解得l<“We—1,当"(〃)<0,解得0<〃<1,

当〃=1时，函数/z⑺取得最小值〃⑴=1+2—21n(l+l)=3—21n2,

当〃=0时，/z(O)=2-21nl=2；

当〃=e—1时，/z(e-1)=e—l+2—21n(e—l+l)=e—l<2,

所以3—21n2</z(〃)<2,即〃一加的取值范围是［3—21n2,2),故选A.

点睛：本题主要考查了分段函数的应用，构造新函数，求解新函数的导数，利用导数研究新函数的单调性和最值是解

答本题的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于

中档试题.

8、A

【解题分析】

先由三视图确定该四棱锥的底面形状，以及四棱锥的高，再由体积公式即可求出结果.

【题目详解】

由三视图可知，该四棱锥为斜着放置的四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，上底为1,下底为2,高为2,四棱锥的高

为2,

所以该四棱锥的体积为V=gxgx(l+2)x2x2=2.

故选A

【题目点拨】

本题主要考查几何的三视图，由几何体的三视图先还原几何体，再由体积公式即可求解，属于常考题型.

9、C

【解题分析】

利用三角恒等变换化简三角函数为标准正弦型三角函数，即可容易求得最小值.

【题目详解】

/、1—cos2xH—

由于coY尤+疝2/尤+"-1+。°$2%(2；

')I4)22

1cos2xsin2x

=l++--------

22

=l+^-sinf2x+—\

故其最小值为：

2

故选：C.

【题目点拨】

本题考查利用降塞扩角公式、辅助角公式化简三角函数，以及求三角函数的最值，属综合基础题.

10、A

【解题分析】

根据题意，可得几何体，利用体积计算即可.

【题目详解】

由题意，该几何体如图所示：

该几何体的体积V=！x2x2x2—LX』X2X2=W.

2323

故选：A.

【题目点拨】

本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题.

11、B

【解题分析】

先求出从不超过18的素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果，然后再求出其和等于16的结果，根据等可能事

件的概率公式可求.

【题目详解】

解：不超过18的素数有2,3,5,7,11,13,17共7个，从中随机选取两个不同的数共有仁=21,

其和等于16的结果(3,13),(5,11)共2种等可能的结果,

2

故概率

21

故选：B.

【题目点拨】

古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题不可以列举出所有事件但可以用分步计数得到，属于基础

题.

12、C

【解题分析】

分析：根据最低点，判断A=3,根据对称中心与最低点的横坐标求得周期T,再代入最低点可求得解析式为

/(x)=3sin12x+f,依次判断各选项的正确与否.

详解：因为为对称中心，且最低点为

27r57r

所以A=3,且T=4x"3_一~L2

所以〃x)=3sin(2x+0,将N3带入得

所以/(x)=3sin2x+g

jr71

由此可得①错误，②正确，③当-土土丝时，0<2%+土<6»，所以与y=l有6个交点，设各个交点坐标

12126

依次为石,马，工3，%4，毛,工6，则西+々+七+4+%+4=7〃，所以③正确

所以选C

点睛：本题考查了根据条件求三角函数的解析式，通过求得的解析式进一步研究函数的性质，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、a<l

【解题分析】

先求得与g(x)关于%轴对称的函数丸(尤)=龙+1,将问题转化为f(x)=ae'与h(x)=x+l的图象有交点，即方程

aex=x+l有解.对。分成a=。,a<0,a>。三种情况进行分类讨论，由此求得实数«的取值范围.

【题目详解】

因为g(x)=-关于x轴对称的函数为〃(尤)=%+1,因为函数/«=ae，与g(x)=-x-1的图象上存在关于x轴的

对称点，所以，(x)=ae'与〃(x)=x+l的图象有交点，方程ae*=x+l有解.

。=0时符合题意.

。/0时转化为6'=工(兀+1)有解，即丫=/,丁=!(尤+1)的图象有交点，y='(x+l)是过定点(—1,0)的直线，其

aaa

斜率为工，若。<。，则函数y=e'与y=^(x+l)的图象必有交点，满足题意；若。>0,设>=^,y=^(x+l)相

a〃a

'W_1

切时，切点的坐标为(加,e"'),贝!J加+1a,解得a=l,切线斜率为2=1,由图可知，当即0<aWl时，

e=—

、a

y=ex,y=—(x+1)的图象有交点，此时，/(x)=ae*-必与丸(x)=-%2+x+1的图象有交点，函数/(%)=ae.x-x1

a

与g(%)=%2—%—i的图象上存在关于x轴的对称点，综上可得，实数。的取值范围为〃<1.

故答案为：a<l

【题目点拨】

本小题主要考查利用导数求解函数的零点以及对称性，函数与方程等基础知识，考查学生分析问题，解决问题的能力,

推理与运算求解能力，转化与化归思想和应用意识.

14、①②③

【解题分析】

由已知分别结合和差角的正切及正弦余弦公式进行化简即可求解.

【题目详解】

人./、tan250+tan350r；

①.tan60°=tan(25°+35°)=------------------------=，3,

l—tan250tan350

tan25°+tan350+6tan25°tan35°；

=(1—tan250tan35°^+A/3tan25°tan35°,

=A/3，

②2(sin35ocos25o+cos35ocos65°)=2(sin35ocos25o+cos35osm25°),

=2sin60°=^3;

^.l+tanl5otan450+tanl5°、r-

(3)--------------=------------------------=tan(z45°+15°)=tan60°=J3；

1—tanl5°1—tan450tan45°

故答案为：①②③

【题目点拨】

本题主要考查了两角和与差的三角公式在三角化简求值中的应用，属于中档试题.

1

15、

2e

【解题分析】

对函数求导，根据函数单调性，即可容易求得函数的极大值.

【题目详解】

依题意，得/'(X)=e_2x-2xe_2x=e_2A(l-2x).

所以当时，fr(x)>0；当为+00)时,f/(x)<0.

所以当x=g时，函数/(x)有极大值，

22e

故答案为：—.

2e

【题目点拨】

本题考查利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力以及化归转化思想，属基础题.

16、4

【解题分析】

•:sinAcosC=3cosAsinC

/72_i_A2_2序42_2

二根据正弦定理与余弦定理可得："幺二—r—=3x^-^~—xc,即2c2=2储―〃

2ab2bc

a2-c2=2b

，b~=4b

Vb^O

b=4

故答案为4

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(I)B=—；(II)NADB=—.

44

【解题分析】

(I)由正弦定理边化角，再结合sinC=sin(A+5)转化即可求解；

(II)可设AC=1,由三=上=>6=石，再由余弦定理6+02—2accos3=/解得。=2点，夜，

sinCsinB2

对人钻。中，由余弦定理有AO=J+(0『-20cos(=l,通过勾股定理逆定理可得A32+AC>2=3£>2,进而得

解

【题目详解】

(I)由正弦定理得sinAsinB+sinBcosA=sinC.

而sinC=sin(»-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB.

由以上两式得sinAsinB=sinAcos瓦BPsinA(sinB-cosB)=0.

由于sinA>0,所以sin5=cos5,

又由于Be(O,»),得B=

(II)设c=l,在ABC中，由正弦定理有上=上=>6=6.

sinCsinB

由余弦定理有a2+c2-2accosB=b?,整理得(。-2夜)(a+0)=0,

由于a>0,所以。=2&,BD=~血.

2

在AABD中,由余弦定理有AD=Ji?+(④了_2夜cos?=1.

所以.2+4)2=92,所以/区位)=耳TT，ZADB=j7T

【题目点拨】

本题考查正弦定理和余弦定理的综合运用，属于中档题

77

18、(1)0=—(/?ER)；(2)2。.

6

【解题分析】

(1)化简得到直线方程为y=3%,再利用极坐标公式计算得到答案.

-3

(2)联立方程计算得到A,计算得到答案.

【题目详解】

X=1+布t厂

亚消/得，x-氐=0即丁=也》,

(1)由＜

y=—+t'3

[3

C,是过原点且倾斜角为3的直线，二°2的极坐标方程为。=工(QcR).

66

(2)由＜得,

p=a(l-sin8)

6=—

由6得＜

p=a(l-sin0)

【题目点拨】

本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.

19、(l)c=4；(2)2^3.

【解题分析】

(1)由角4昆C的度数成等差数列，得2N=A+C.

—71

又A++C=肛:.B=—.

3

由正弦定理，得3c=4〃,即〃=主.

4

23c1,

由余弦定理，得方2*4=片+c2-2accos5,即13=+c2-2x-xcx—,解得。=4.

42

ab71327139半sin…半sinC

(2)由正弦定理，得sinAsinCsin83—6V3V3

:.a+c=sinA+sinC)=[sinA+sin(A+5)]=sinA+sin(A+y

=A+sin/^cosA=2^/13sinfA+—.

百122JI6；

由0<A(女，得工<4+工<笆.

3666

所以当A+壬=三，即A=工时，(a+c\=2万.

623v7max

【方法点睛】

解三角形问题基本思想方法：从条件出发，利用正弦定理(或余弦定理)进行代换、转化.逐步化为纯粹的边与边或角

与角的关系，即考虑如下两条途径：①统一成角进行判断，常用正弦定理及三角恒等变换；②统一成边进行判断，常

用余弦定理、面积公式等.

,、，、21n〃+l

20、(1)见解析；(2)-------

71

【解题分析】

(1)不等式等价于sinx<x,xe(O,句，设MX)=sinx—x,xe(0,句，利用导数可证p(无)<0恒成立，

从而原不等式成立.

(2)由题设条件可得g(x)=/(Xo)在(°，句上有两个不同零点，且［0/)7{y|y=g(x),xe(o,»］},利用导数讨论

g(x)的单调性后可得其最小值，结合前述的集合的包含关系可得出的取值范围.

【题目详解】

⑴设p(x)=sinx-x,则"(x)=cosx-l,

当时，由p'(x)<0,所以夕⑴在(0,句上是减函数，

所以0(“<〃(0)=0，故sinx<x.

因为X«0,司，所以艺^<1,所以当xe(0,»|时，/(x)<l.

(2)由(1)当xe(0,句时，0</(x)<l；

任意％«0,句,存在％e(意％］和we(意句(不H/)使8(%)=8(々)=/(%)成立,

所以g(x)=/(Xo)在(0,句上有两个不同零点，且［0,1)c{y|y=g(x),xe(0,乃］},

(1)当加=0时，g(x)=-21nx在(0,句上为减函数，不合题意；

(2)当mwO时，g'(x)='^—

由题意知g(x)在(0,句上不单调，

22

所以0<—<兀，即加〉一，

mn

当x时，g,(x)<0,时，g'(x)>0,

\m\m

(2、(22、

所以g⑴在0-上递减，在一，万上递增,

\m)\mm)

所以g(»)=(〃-1)加一21n»Nl,解得加221nk+1

71—1

因为le(O,汉I，所以g5<g(l)=o成立,

m使得g(心1，

下面证明存在1£

2

取r=6一加，先证明"根<一,即证2*一加>0，

m

令h(mj=2em-m,则//(m)=2cm一1>0在(0,+8)时恒成立,

所以2e“一相>2—0>0成立,

因为g(e「"')=mem+m>m>2必"+1>工±1>1,

\771-171-1

-I、2In7T+1»人一.

所以加2-------时命题成乂.