2024年中考数学一轮复习 二次函数的应用综合过关检测（含答案）

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二次函数的应用综合过关检测

（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。

1.在2024年的卡塔尔世界杯中，阿根廷守门员马丁内斯表现突出，他大脚开出去的球的高度与球在空中

运行时间的关系，用图象描述大致是如图中的（）

【答案】A

【解答】解：足球守门员马丁内斯大脚开出去的球，高度与时间成二次函数关系，

故选：A.

2.一枚炮弹射出x秒后的高度为y米，且夕与x之间的关系为y=ax2+6x+c（a#0）若此炮弹在第3.2秒与

第5.8秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（）

A.第3.3秒B.第4.5秒C.第5.2秒D.第4.3秒

【答案】B

【解答】解：：炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等，

/.抛物线的对称轴为x=4.5.

故选：B.

3.如图所示，赵州桥的桥拱用抛物线的部分表示，其函数的关系式为v='x2,当水面宽度N8为20”?

y25

时，此时水面与桥拱顶的高度。。是（）

A.4mB.2mC.9mD.10m

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【答案】A

【解答】解：根据题意8的横坐标为10,

将尤=10代入y=—^*2得：y—­4,

25

：.B(10,-4),

即水面与桥拱顶的高度DO等于4m.

故选：A.

4.某水果销售商有100千克苹果，当苹果单价为15元/千克时，能全部销售完，市场调查表明苹果单价每

提高1元，销售量减少6千克，若苹果单价提高x元，则苹果销售额y关于尤的函数表达式为()

A.y—x(100-x)B.y—x(100-6x)

C.y=(100-x)(15+x)D.y=(100-6x)(15+x)

【答案】D

【解答】解：根据题意得，y=(100-6x)(15+x),

故选：D.

5.某种礼炮的升空高度〃(〃?)与飞行时间f(s)的关系式是人=-22+30什1.若这种礼炮在点火升空到

2

最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为()

A.6sB.7sC.8sD.9s

【答案】A

【解答】解：h=-l/2+30f+l

2

=-A(/-6)2+91,

2

-5<o

2

.♦.这个二次函数图象开口向下.

...当f=6时，升到最高点.

故选：A.

6.如图1是某篮球运动员在比赛中投篮，球运动的路线为抛物线的一部分，如图2,球出手时离地面约2.15

米，与篮筐的水平距离4.5加，此球准确落入高为3.05米的篮筐.当球在空中运行的水平距离为2.5米时,

球恰好达到最大高度，则球在运动中离地面的最大高度为()

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D.4.70米

【答案】c

【解答】解：根据题意得：抛物线过点(0,2.15)和(4.5,3,05),对称轴为直线x=2.5,

.,.设抛物线解析式为y=a(x-2.5)2+k

a(0-2.5)2+k=2.15

把(0,2.15)和(4.5,3,05)代入解析式得：.

2

、a(4.5-2.5)+k=3.05

解得a=-0.4

k=4.75

.•.抛物线解析式为y=-0.4(x-2.5)2+4.65,

:-0.4<0,

...函数的最大值为4.65,

球在运动中离地面的最大高度为4.65〃?,

故选：C.

7.如图，△NBC是直角三角形，ZA=90°,4B=8cm,/C=6c加，点P从点/出发，沿A3方向以2cm/s

的速度向点3运动；同时点。从点/出发，沿NC方向以1c机/s的速度向点C运动，其中一个动点到达

终点，则另一个动点也停止运动，则三角形4P0的最大面积是()

C.24cm2D.32cm2

【答案】B

【解答】解：根据题意

沿45方向以2c冽/s的速度向点5运动；同时点。从点4出发，沿4C方向以1CM/S的速度向点。运动,

：.AP=2t,AQ=t,

§△4尸0=/2,

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V0</^4,

三角形4尸。的最大面积是16.

故选：B.

8.某市新建一座景观桥.如图，桥的拱肋可视为抛物线的一部分，桥面N3可视为水平线段，桥面与

拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度N8为40米，桥拱的最大高度为16米（不考虑灯

杆和拱肋的粗细），则与CD的距离为5米的景观灯杆的高度为（）

【答案】C

【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系，

设抛物线表达式为了=。/+16,

由题意可知，3的坐标为（20,0）,

400a+16=0,

•・•C“I=-1>

25

v=--^―X2+16,

"25

当x=5时，y=15.

/.与CD距离为5米的景观灯杆MN的高度为15米,

9.抛物线y=a/+6x+c交x轴于/（-1,0）,B（3,0）,交y轴的负半轴于C,顶点为。.下列结论：①

2a+6=0；②2c<36；③当加#1时，a+b<am2+bm；④当△48。是等腰直角三角形时，贝U°=工；⑤

'一一.一.2

当△/SC是等腰三角形时，。的值有3个.其中正确的有（）个.

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A.5B.4C.3D.2

【答案】c

【解答】解：①•二次函数与X轴交于点N(-1,0)、B(3,0).

•••二次函数的对称轴为直线x=即-_L=b

22a

*,*2a+b=0.

故①正确；

②：二次函数y=ax2+6x+c与x轴交于点/(-1,0)、B(3,0).

•*»a~6+c=0,9a+3b+c=0.

又■:b=-2a.

.*.36--6a9a-(-2q)+c=0.

••3Z?=-6tz,2c=-6a.

：.2c=3b.

故②错误；

③•..抛物线开口向上，对称轴是直线x=l.

...尤=1时，二次函数有最小值.

.,.加¥1时，a+b+c<am2+bm+c.

即a+b<am2+bm.

故③正确；

④，；AD=BD,48=4,是等腰直角三角形.

：.AD2+BD2=42.

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解得，AD2=S.

设点。坐标为（1,＞）.

则[1-（-1）]24T2=/。2.

解得y=±2.

•.•点。在x轴下方.

.•.点。为（1,-2）.

•.•二次函数的顶点。为（1,-2）,过点/（-1,0）.

设二次函数解析式为y=a（x-1）2-2.

，0=a（-1-1）2-2.

解得。=2.

2

故④正确；

⑤由图象可得，ACWBC.

故△/BC是等腰三角形时，a的值有2个.（故⑤错误）

故①③④正确，②⑤错误.

故选：C.

10.如图（1）所示，£为矩形/BCD的边4D上一点，动点尸，0同时从点2出发，点尸沿折线2£-皮＞-

DC运动到点C时停止，点。沿8C运动到点C时停止，它们运动的速度都是lew/秒.设尸、。同时出

发t秒时，△AP0的面积为户加2.己知夕与t的函数关系图象如图（2）（曲线。”为抛物线的一部分）,

2

则下列结论：①AD=BE=5；②cos/ABE工；③当0＜云5时，y^,t;④当七3秒时，AABE

554

sXQBP：其中正确的结论是（）

A.①②③B.②③C.①③④D.②④

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【答案】c

【解答】解：根据图（2）可得，当点尸到达点E时，点。到达点C,

,:点P、Q的运动的速度都是1c%/秒，

:.BC=BE=5,

：.AD=BE=5,故①小题正确；

又•.•从〃■到N的变化是2,

：.ED=2,

:.AE=AD-ED=5-2=3,

在RtAABE中，AB—{BE2-AE2=^52_g2=4,

/.cosZABE—^-=-^-,故②小题错误；

BE5

过点P作尸尸，3c于点尸，

'：AD//BC,

：.NAEB=ZPBF,

smZPBF=smZAEB=^-=—,

BE5

:.PF=PBsin/PBF=&,

5

...当0</W5时，y=LQ，PF=生=42,故③小题正确；

2255

当f=29秒时，点尸在CD上，此时，PD=21-BE-ED=21-5-2=1.,

4444

PQ=CD-尸0=4-乎竽，

•.AB=4BQ=_L=4

,'<|-'

AE3PQ3

4

•AB=BQ

"AE而’

又•；/4=/。=90°,

：.^ABE^AQBP,故④小题正确.

综上所述，正确的有①③④.

故选：C.

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图⑴

二、填空题（本题共6题，每小题2分，共12分）。

11.一辆汽车刹车后行驶的距离s（单位：加）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是s=-2P+183

则汽车刹车后最远可以行驶40.5m.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：：s=-2p+18f=-2（f-4.5）2+40.5,

汽车刹车后到停下来前进了40.5m,

故答案为：40.5.

12.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度〃（单位：加）与小球运动时间/（单位：s）之间的关系式是:

〃=30「5/2,这个函数图象如图所示，则小球从第3s到第5s下降的高度为20m.

【解答】解：由题意可知，第3s时小球达到最高点，此时小球距离地面45小，然后小球开始竖直下落,

当f=5时，/7=30X5-5X52=150-125=25m,

故则小球从第3s到第5s下降的高度为20%,

故答案为：20.

13.廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图.已知抛物线的函数表达式为y=-

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J-?+10,为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面N8高为8米的点£,厂处要安装两盏警示灯，则这

40

两盏灯的水平距离EF是尺一米.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：令y=8,即y=-_1_丫2+10=8,

40

解得:x=±4y/5>

则斯=4遥-(-4^5)=8遥(米).

14.“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象，水幕是由若干个

水嘴喷出的水柱组成的(如图)，水柱的最高点为P,AB=2m,BP=9m,水嘴高40=5加，则水柱落地

点C到水嘴所在墙的距离4c是5m.

水嘴/：\

•水嘈

【答案】5.

【解答】解：设抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k,

:顶点尸(2,9),

•''y—a(x-2)2+9,

把。(0,5)代入y=a(x-2)2+9得，

4。=-4,

•♦4=-1,

J抛物线的解析式为歹=-(x-2)2+9,

当y=0时，即-(%-2)2+9=0,

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解得x=5,x=-1(不合题意舍去)，

水柱落地点C到水嘴所在墙的距离NC是5；

故答案为：5.

15.如图，在△48C中，ZB=90°,AB=8cm,BC=6cm,点P从点/开始沿48向8以2c%/s的速度移

动，点0从点5开始沿BC向C点以lc%/s的速度移动，如果尸，0分别从8同时出发，当△尸80

的面积为最大时，运动时间［为2s.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：根据题意得三角形面积为：

5=A(8-2t)t=-t2+4t=-(-2)2+4,

2

•••由以上函数图象知

.•.当f=2时，△依0的面积最大为4c/.

16.直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果

按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2

件，若将每件商品售价定为x元，日销售量设为y件.当x为55时,每天的销售利润最大，最大利

润是450.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：根据题意得：y=20+2(60-x)=-2x+140,

设每天销售利润为w元，

依题意得：w=(x-40)y=(x-40)(-2x+140)

=-2X2+220X-5600

=-2(x-55)2+450,

：-2<0,

...当x=55时.每天的销售利润最大，最大利润是450元.

故答案为：55,450.

三、解答题(本题共6题，共58分)。

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17.(8分)某商店经销一种销售成本为30元/馆的水产品，据市场分析：若按50元/短销售，一个月能售

出300彷，销售单价每涨1元，月销售量就减少10馆.设售价为x元/修(x>50),月销售量为y奴.

(1)求月销售量y与售价x之间的函数表达式；

(2)当售价定为多少时，月销售利润最大？最大利润是多少？

【答案】(1)月销售量y与售价x之间的函数表达式是y=-10x+800；

(2)当售价定为55元时，月销售利润最大，最大利润是6250元.

【解答】解：(1)由题意可得，y=300-(x-50)X10=-10x+800,

即月销售量〉与售价x之间的函数表达式是y=-10x+800;

(2)设利润为w元，

由题意可得w=(x-30)(-Wx+800)=-10(x-55)2+6250.

当x=55时，w取得最大值，此时w=6250,

答：当售价定为55元时，月销售利润最大，最大利润是6250元.

18.(8分)卡塔尔世界杯完美落幕.在一场比赛中，球员甲在离对方球门30米处的。点起脚吊射(把球

高高地挑过守门员的头顶，射入球门)，假如球飞行的路线是一条抛物线，在离球门14米时，足球达到

最大高度8米.如图所示，以球员甲所在位置。点为原点，球员甲与对方球门所在直线为x轴，建立平

面直角坐标系.

(1)求满足条件的抛物线的函数表达式；

(2)如果葡萄牙球员C罗站在球员甲前3米处，C罗跳起后最高能达到2.88米，那么C罗能否在空中

截住这次吊射？

⑵能.

【解答】解：(1)由题意可得，足球距离点O(30-14)=16米时，足球达到最大高度8米,

设抛物线解析式为：y=a(x-16)2+8,

把(0,0)代入解析式得：0=a(0-16)2+8,

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故抛物线解析式为：y=-工(X-16)2+8；

32

(2)当x=3时，v=-J-(3-16)2+8=2.71875<2.88,

32

故C罗能在空中截住这次吊射

19.(10分)如图，抛物线y=(x+1)2+左与x轴交于4、8两点，与了轴交于点C(0,-3).

(1)求抛物线的对称轴及k的值；

(2)抛物线的对称轴上存在一点尸，使得P/+PC的值最小，求此时点尸的坐标；

(3)点M是抛物线上一动点，且在第三象限.

①当M点运动到何处时，丛AMB的面积最大？求出△/儿归的最大面积及此时点M的坐标;

②过点“作轴交线段NC于点尸，求出线段长度的最大值.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)：抛物线y=(x+1)2+左与x轴交于/、3两点，与y轴交于点C(0,-3),

-3=(0+1)2+左,

解得:k=-4,

二抛物线的解析式为：y=(x+1)2-4,

故对称轴为：直线x=-l；

(2)存在.

如图，连接/C,交对称轴于点尸，此时P/+PC的值最小，

当y=0,则0=(尤+1)2-4,

解得：Xl=l,X2=-3,

由题意可得：

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贝超=里，

AOCO

故2=里，

33

解得：PN=2,

则点P的坐标为：(-1,-2)；

(3)点河是抛物线上的一动点，且在第三象限，

故-3cx<0；

①如图，设点Af的坐标为：[x,(x+1)2-4],

"：AB=4,

•••S“ws”X4X|(x+1)2-4|=2|(x+1)2-4|,

2

丁点初在第三象限，

:・S"MB=8-2(x+1)2,

・,•当％=-1时，即点河的坐标为(-1,-4)时，的面积最大，最大值为8；

②设点Af的坐标为：[x,(x+1)2-4],

设直线4c的解析式为：y=ax+d,

将(-3,0),(0,-3)代入得：

f-3a+d=0

ld=-3'

解得：fa“l.

ld=-3

故直线4C：y=-x-3,

设点尸的坐标为：(x,-x-3),

故PM--x-3-(x+1)2+4=-x2-3x=-(x+—)2+—,

24

当x=-3时，尸河最大，最大值为9.

24

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20.（10分）某网店专门销售杭州第十九届亚运会吉祥物机器人“江南忆”套装，成本为每件30元，每天

销售V（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示，网店每天的销售利润为少元.网

店希望每天吉祥物机器人“江南忆”套装的销售量不低于250件.

（1）求〉与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）;

（2）当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？

（3）如果每天的利润不低于3000元，直接写出销售单价x（元）的取值范围.

【答案】(1)y=-Wx+700；

（2）当销售单价为45元时，每天获取的利润最大，最大利润是3750元;

⑶40W尤W45.

【解答】解：（1）设〉=依+6,将（40,300）、（55,150）代入,

得:40k+b=300

55k+b=150

[k=-10,

解得:

lb=700，

所以y与x之间的函数关系式为：y=-lQx+700；

（2）设每周可获利润为沙元,

W=y(x-30)

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=(X-30)(-lOx+700)

=-10x2+1000x-21000

=-10(x-50)2+4000.

又：-lOx+700^250,

；.xW45,

Vx<50,

；.xW45,

：x<50时，印随x的增大而增大，

.,.当x=45时,少取得最大值，最大值为-10X25+4000=3750.

答：当销售单价为45元时，每天获取的利润最大，最大利润是3750元.

(3)依题意得：W=-10x2+1000x-21000=3000,

BP-10(x-50)2=1000,

解得：xi=40,X2=60,

-10<0,xW45

•.•当40WxW45时，每月利润不低于3000元.

21.(10分)如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口”离地竖直高度为1.5加.可以把灌溉车喷出水的上、

下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG,其水平宽

度DE=3m,竖直高度跖=0.5"下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点/

离喷水口的水平距离为2m,高出喷水口05”，灌溉车喷水口到绿化带GD边的水平距离OD为d(单位：

7M).

(1)直接写出点的坐标：A(,),H(,)；

(2)求喷出水的最大射程。C；

(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能灌到整个绿化带，直接写出”的最大值与最小值的差.

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【答案】(1)2,2；0,1.5；

(2)6m；

(3)2V3-3.

【解答】解：(1)由题意可得，/点的坐标为(2,2),H点的坐标为(0,1.5),

故答案为：2,2；0,1.5；

(2)设上抛物线的解析式为y=a(x-2)2+2,

把”(0,1.5)代入得，1.5=。(0-2)2+2,

解得a=二，

8

・1z、2

••y=~^-(x-2)+2)

当尸0时，—(X-2)2+2=0，

O

解得％1=-2(不合，舍去)，X2=6，

*

.,.最大射程OC为6加；

(3)'：H(0,1.5)关于对称轴x=2的对称点为(4,1.5),

下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4个单位得到，

2

下边缘抛物线为：y=—(X+2)+2-

8

令T(X+2)2+2=0,

o

解得％1=-6,%2=2,

•・•点8在正半轴上，

：.B(2,0),

：・0B=2,

要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则当点8和点。重合时，d有最小值，此时d=2,

当上边缘抛物线过点产时，d有最大值，

■:DE=3,EF=0.5,

二令一(x-2)2+2=0.5，

o

解得x『2+2向，X2=2-2V3-

结合图象可知：F(2+273,0.5),

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:.d的最大值为：d=2+2“-3=2正-1，

：.d的最大值-d有最小值=243-1-2=243-3-

22.(12分)在平面直角坐标系中，抛物线》=/+云+%的对称轴为直线x=2,该抛物线与x轴交于M,N

两点，且点〃在点N的左侧.

(I)求6的值；

(2)若将抛物线y=/+bx+%进行平移，使平移后的点M与原点O重合，并且在x轴上截取的线段长为

6,求平移后的抛物线解析式；

(3)将抛物线＞=/+法+根