2023-2024学年北京市海淀区九年级(上)期末数学试卷 答案解析

2023-2024学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.下图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是.（）

2.抛物线1=_（r_।『一2的顶点坐标是.（）

A.（1,2）B.（—1.2）C.（I,—2）D-{-1,—2）

3.若关于x的一元二次方程2产+」•-7”；（）有一个根为1,则m的值为.（）

A.3B.0C.-2D.-3

4.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ar?+加+c如图所示，则关于x的方程°工2+厉.+,=（）的根的

情况为.（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.有实数根D.没有实数根

5.如图，在.“中，AB为直径，C,D为圆上的点，若=则的大小为.（）

C.40°D.39

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6.如图，的半径为2,将的内接正六边形ABCDEF绕点0顺时针旋转，第一次与自身重合时，点A

方27r

A.2B.C.yD.lff

7.林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下：

移植总数m1027075015003500700014000

成活数n823566213353180629212628

成活的频率嬴

0.8(X)0.870II0.S900.909（）.、尔）0.902

结果保留小数点后三位

下列说法正确的是.（）

A.若移植10棵幼树，成活数将为8棵

B.若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵

C.移植的幼树越多，成活率越高

D.随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树

在同等条件下移植成活的概率为0.900

8.如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”.给出下面四个结

论：

①一个圆的“半径三角形”有无数个；

②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形；

③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30"120,或150°；

④若一个圆的半径为2,则它的“半径三角形”面积最大值为2g.

上述结论中，所有正确结论的序号是.（）

A.①②B.②③C,①②③D.①②④

二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。

9.在平面直角坐标系xOy中，将抛物线!/二3/向下平移1个单位，得到的抛物线表达式为.

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10.如图，由5个相同的正方形组成的十字形纸片沿直线AB和EF剪开后重组可得到矩形ABCD,那么②可

看作①通过一次得到（填‘‘平移"''旋转”或“轴对称”）・

B

D

11.若关于x的一元二次方程"遂有整数根，则整数a的值可以是（写出一个即可）.

12.已知y是x的二次函数，表中列出了部分y与x的对应值：

则该二次函数有（填“最小值”或“最大值”）.

13.“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具,图1所示是一个竹筒水容器，图2

为该竹筒水容器的截面.已知截面的半径为10cm,开口AB宽为12cm,这个水容器所能装水的最大深度是

_________cm.

图1图2

14.如图,PA,PB是GO的两条切线,切点分别为A,B,」/，=仪）,若的半径为3,则图中阴影部分的

面积为i结果保留汗.

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15.如图，将面积为25的正方形ABCD的边AD的长度增加a,变为面积为22的矩形AEGF.若正方形ABCD

和矩形AEGF的周长相等，则a的值是

16.小云将9张点数分别为1〜9的扑克牌以某种分配方式全部放入A,B两个不透明的袋子中（每个袋子至

少放一张扑克牌），从两个袋子中各随机抽取一张扑克牌，将两张扑克牌的点数之和为k这一事件的概率记

为M

I”若将点数为1和2的扑克牌放入A袋，其余扑克牌放入B袋，则尺—；

⑵对于所有可能的分配方式以及所有的k,P,的最大值是.

三、计算题：本大题共1小题，共10分。

17.解方程：/+工=1.

四、解答题：本题共11小题，共110分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18.（本小题10分）

已知2/-3a+1（I,求代数式（a3）'•<i（a+3）的值.

19.（本小题10分）

如图，在△.-18「中，=45,将△.-18「绕点A逆时针旋转得到使点。'在BC的延长线上.求

证：/?/?!(,/；

20.（本小题10分）

已知关于x的方程/-2in.r+一"二（I有两个不相等的实数根.

UI求n的取值范围；

⑵若n为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的2倍，求m的值.

21.（本小题10分）

如图，P是•。外一点，PA与•“相切，切点为一工画出一。的另一条切线PB,切点为，.小云的画法是:

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①连接PO,过点A画出P0的垂线交•()于点B；

②画出直线PB.

直线PB即为所求.

(1)根据小云的画法，补全图形；

(2)补全下面的证明.

证明：连接OA,OD.

■：OA=OB,ABLPO,

PO垂直平分AB,AOAB—AOBA.

：.PA=.

ZPAB=.

NPRO=Z.PBO.

-：是•。的切线，A为切点，

OA1AP.

Z.PAO=90°.

ZPBO=90°.

OBIPB于点B.

・「CH是•。的半径，

;.PB是♦。的切线：—)(填推理的依据［

22.(本小题10分)

不透明袋子中装有1个红球，1个绿球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别.

(1)从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是黄球的概率为;

(2)从袋子中随机摸出一个球后，不放回，再从剩余的球中随机摸出一个.请利用列表或画树状图的方法,

求摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率.

23.(本小题10分)

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在平面直角坐标系xOy中,抛物线v=J,+hr+c经过点川0.2）,3（3.-1）.

■I求该抛物线的表达式；

（2）过点（（）/）与y轴垂直的直线1与抛物线交于点Q（%的）,其中工1<工2,与直线AB交于点

N（h,伏｛）.若工1<X3<X2,直接写出t的取值范围.

24.（本小题10分）

如图，在边长为4cm的正方形ABCD各边上取点E,F,G,〃（可与A,B,C,D重合、使得四边形EFGH

为正方形.设AE为xcm,正方形EFGH的面积为“”产.

2

v/cmi

20

（1）//关于x的函数表达式是,自变量x的取值范围是;

।?在下面的平面直角坐标系xOy中，画出"I中函数的图象；

（3）当丁=cm时，正方形EFGH面积有最小值ent2.

25.（本小题10分）

如图，AB为半圆0的直径，点C,D在半圆。上，直线CM与半圆。相切于点C,

U.I若/A/。。o,求/（O.4的大小（用含。的式子表示।；

⑵过点0作OE1C。交CM于点E,交CD于点F,若.48=6,求CE的长.

26.（本小题10分）

在平面直角坐标系xOy中，点八（-L小），点〃（：，.〃）在抛物线y—ai++<>（a>0）上.设抛，物线的对称

轴为直线工=t.

（1）当/=2时，

①直接写出b与a满足的等量关系；

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②比较m,n的大小，并说明理由；

।②已知点在该抛物线上，若对于都有m>p>n,求t的取值范围.

27.(本小题10分)

如图，在△「I3C中，.4B=』C,点D,E分别在边AC,BC±,连接DE,/B.

U)求证：ED=EC;

⑵连接BD,点F为BD的中点，连接AF,EF.

①依题意补全图形；

②若.4FLEF,求NR4c的大小.

28.(本小题10分)

在平面直角坐标系xOy中，将中心为T的正方形记作正方形T,对于正方形T和点P(不与0重合)给出如

下定义：若正方形T的边上存在点Q,使得直线0P与以TQ为半径的•，相切于点P,则称点P为正方形

T的“伴随切点”.

⑴如图、正方形T的顶点分别为点0,A(2.2),1.(1),C(2,-2).

①在点外(2.1),凡(1.1),必(1.-1)中，正方形T的“伴随切点”是；

②若直线，/=.「+/)上存在正方形T的“伴随切点”，求b的取值范围；

(2)已知点了“」+1),正方形T的边长为？若存在正方形T的两个“伴随切点”M,N,使得△OVN为等

边三角形，直接写出t的取值范围.

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】本题考查中心对称图形的识别，掌握把图形绕某点旋转I"后能和自身重合的图形是中心对称图

形是解题的关键.

【详解】，是中心对称图形，符合题意；

B.不是中心对称图形，不符合题意；

C.不是中心对称图形，不符合题意；

D.不是中心对称图形，不符合题意；

故选

2.【答案】A

【解析】根据二次函数的性质，利用顶点式即可得出顶点坐标.

解：1,抛物线”=-（.r-1）2+2,

:抛物线y=-（X-1）2+2的顶点坐标是：（1,2）,

故选

此题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标.

3.【答案】A

【解析】把1-1代入2』+/-”,=0,转化为m的方程求解即可.本题考查了方程根的定义，即使方程

左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键.

解：把I-I代入2.1-+j--=0,得2+1-"?=。，

解得m=3,

故选.1.

4.【答案】D

【解析】【分析】本题考查了二次函数图象与一元二次方程的关系；依题意，关于X的方程“/+bT+C=O

的根即抛物线“二++C与X的交点的横坐标，根据函数图象即可求解.

【详解】解：依题意，，/=“J+b；r+c与X无交点，即关于X的方程“M+加'+0=0没有实数根，

故选：D

5.【答案】D

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【解析】本题考查了圆周角定理，由直径所对的圆周角是9（r得出=90：根据直角三角形的两个锐

角互余结合圆周角定理计算即可.

解：,在中，AB为直径，

Z.ACD=90°.

ZC£）£?=ZC.4B-51,

“'BA=90-NCAB-39,

故选，

6.【答案】C

【解析】本题考查旋转对称图形，解题的关键是求出第一次重合的旋转角，然后根据弧长公式计算是解题

的关键.

解：：⑥。的内接正六边形ABCDEF绕点0顺时针旋转，第一次与自身重合时旋转角为山，

点A经过的路径长为四卷二=

故选

7.【答案】D

【解析】本题考查了利用频率估计概率，概率的意义.概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以

作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率.

解：：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于

概率，

，所以这种幼树移植成活率的概率约为（）.900.

故选，

8.【答案】C

【解析】根据圆的“半径三角形”的概念判断①②；根据圆周角定理、等腰三角形的概念判断③；根据垂

径定理求出AH,根据勾股定理求出0H,求出（’的最大面积，判断④.

解：如图，一•1!?—。月，即AB的长度等于半径，

.♦.以AB为边的圆的内接三角形有无数个，故①结论正确.

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.•OA-OB-AB,

为等边三角形，

NAOS=60°.

;当点C在优弧AB上时，ZC=30°,

当点C在劣弧AB上时，ZC=150°,

当点C在圆上移动时，NCAB可能是90°,

，一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形，直角三角形或钝角三角形，故②正确；

由以上可知，NC可以是30或150。,

当.167=AB,NC=30°时，Z.CAB=180°-30°-30°=120°,

:当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30"120°或150c.

故③正确.

过0作O〃L1/7于〃.

•.04=2,

：.AH=HB=\AB-I

2

：.OH=\/OA2-AH'1=瓜*

当点C为优弧AB的中点时，的面积最大，

S&W=/x2x(2+\/3)=2+\/3,

故④错误.

故选：C

本题主要考查了三角形的外接圆，圆周角定理，等腰三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解本题的

关键.

2

9.【答案】y=3j--1

【解析】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移规律是：左加右减，上加下减.

解：抛物线—3厂向下平移1个单位，得到的抛物线表达式为“--1,

故答案为：y=

10.【答案】旋转

【解析】本题考查几何变换类型，解题的关键是利用旋转变换的性质判断即可.

解：观察图形，可知②可看作①绕着点A顺时针旋转90得到.

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故答案为：旋转.

11.【答案】a=1（答案不唯一।

【解析】本题考查了直接开平方法解方程，答案不唯一，〃1

解：一元二次方程=16有整数根，

则整数"=1,

故答案为：答案不唯一I

12.【答案】最大值

【解析】解：设抛物线解析式为“—".M+h+c,

3

a=——

a+b+c=12

c=0，解得＜c=0

!4a+2b+c=-1T

35

故解析式为y=-'/2+'，

3

；a=-]<0,

:抛物线有最大值，

故答案为：最大值.

13.【答案】18

【解析】连接A3,过点。作（〃）1.V，于点D,交•（）于点C,先由垂径定理求出AD的长，再根据勾

股定理求出0D的长，进而可得出CD的长.本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理，根据题意作出辅助

线，构造出直角三角形是解答此题的关键.

解：连接O.LAB,过点。作八/7于点D,交于点C,如图所示.

由题意，得04=0C=10「小，

在中，

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Ol)=VOA--.4/；-=8(rrn),

CD=OC+OD=10+8=18(⑺i),

即水的最大深度为18cm,

故答案为：IX.

14.【答案】31r

【解析】本题考查了切线的性质，四边形的内角和，扇形的面积.先根据切线的性质得到

APAO=APBO-'10,然后根据四边形的内角和得到N4O8=120°,再根据扇形面积公式计算.

解：•.•PA,PB是0。的两条切线，

:.OA1AP,OBLPB,

：.NPA。Z.PBO90',

Z.AOB=360°-Z.PAO-Z.PBO-£APB=360°-90°-90°-60°=120°,

_12O7Tx32_

.S用影=360=3"，

故答案为：37r.

15.【答案】瓜

【解析】本题考查了矩形、正方形的性质，一元二次方程的应用.根据正方形的面积可得正方形ABCD的

边长为5,再根据正方形ABCD和矩形AEGF的周长相等，可得4E=5-a,再由矩形的面积建立方程求

解即可得出答案.

解：•.,正方形ABCD的面积为25,

正方形ABCD的边长为5,

由题意，得。/二氏4尸=5+%

•.•正方形ABCD和矩形AEGF的周长相等，

.・.2(4E+")=5x4,

AE=5—G,

•.•矩形AEGF的面积为22,

AEAF=22,即(5-a)(5+a)=22,

解得：«|-\/3.aj-—瓜,

,/a>0,

/.a=A/3,

故答案为：\/3.

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16.【答案】-

7

1

5

【解析】解：(1)用列表法表示将点数为1和2的扑克牌放入A袋，其余扑克牌放入B袋，从两个袋子中各

随机抽取一张扑克牌，将两张扑克牌的点数之和为k的所有等可能出现的结果如下:

3456789

145678910

2567891011

共有14种等可能出现的结果，其中两张扑克牌的点数之和为8的有2种，

所以两张扑克牌的点数之和为8的概率，即居=1=)

故答案为：)

1

(2)当月的值最大时，A袋中、B袋中分别含有4个数、5个数，此时共有20种等可能出现的结果，两张扑

克牌的点数之和为k出现的次数最多为4次，

因此生的最大值为,

1

-

故答案为:5

17.【答案】解：...12+才=1,

T24-T-1二()，

a=1,b=l,c=-1,62—4ac=I2-4x1x(—1)=5,

-1±v/5

•j*=--------,

2

【解析】利用公式法求解即可.本题考查了解方程，选择适当解方程的方法是解题的关键.

18.【答案】解：...2/一加+1=(),

.・・2a2-lia=-1,

/.(a-3尸+a(a+3)=a2-6a+9+o2+3a

=2a2—3n+9=—1+9=8.

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【解析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值及完全平方公式，正确变形，整体代入计算即可.

19.【答案】证明：「绕点A逆时针旋转得到△4B'd，

/.ABf=AB，NAB'd=Z.ABC=45°，

・•・LABB=N3=45°，

・・・/BB'd=+乙4〃/=45。+45。”一

・・.BBICB.

【解析】本题考查旋转的性质，等边对等角，根据旋转得到\i;(■l//c,即可得到..，

..l/，C'=/40C=JJ，根据等边对等角得到=5是解题的关键.

20.【答案】解：(1)•方程-2mx+nr—〃=()，a—\,b——2m.c—m2—n，

/.A-/r-lac二(一2，〃)2-4x1x(zzr-/?)>0,

/.Anr-Inr+1〃>0,

解得〃>0.

2;-2?〃1+-〃=()的两个实数根分别是八，八，且一>.门,心2zi,

工1+=2rn,JT\•「2="F-n,

12=2TI,

/.3J)-27/i.2J,[2-in2-n,

・「〃为符合条件的最小整数，

n=1,

c4P9.

...2X-nr=nr-1,

1i

/.-nr2=1,

9

解得〃八=3,m2=-3,

.・.一2或.门=-2,

.・.工2=2,口=4或工2=2xi=-4(舍去),

故m=3.

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【解析】（1）根据方程的根的判别式△一广1”—1x1x（”/〃）＞0即可.

（2）根据根的判别式，结合根的整数性质，根与系数关系定理，解答即可，熟练掌握根的判别式和根与系数

关系定理是解题的关键.

21.【答案】解：（1）根据垂线的基本作图，作图如下：

（2）证明：连接OA,0B.

■：OA=OB,AH1PO,

PO垂直平分AB,£OAD=AOBA.

：.PA=PB.

Z.PAB=Z.PBA.

Z.PAO=Z.PBO.

1•PA是◎。的切线，A为切点，

OA1AP.

Z.PAO=90°.

Z.PBO=90°.

:.OBLPB于点B.

,二（〃，是•。的半径，

J.PB是0。的切线（过半径的外端点并垂直于半径的直线是圆的切线i.

故答案为：PB,ZPBA,过半径的外端点并垂直于半径的直线是圆的切线.

【解析】本题考查了切线的基本作图，切线的证明.

根据垂线的基本作图，作图即可.

②根据切线的判定证明即可.

22.【答案】解：（1）一共有4种等可能性，摸出的球是黄球有2种等可能性,

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故摸出的球是黄球的概率为

故答案为：2,

(2)根据题意，画树状图如下.

啰绿球黄黄球球|1黄球2

Q球2红足球2红公球2红小球

一共有12种等可能性，其中，摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的等可能性有4种.

故摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率是诵=T.

【解析】本题考查了概率公式计算，画树状图法计算，正确选择方法是解题的关键.

利用公式计算即可.

不放回型的概率计算，利用画树状图法计算即可.

23.【答案】解：⑴把点40.2),3(3.1)分别代入“二./+/)7+6'，得

:三,解得b=-4

c=2'

故抛物线的解析式为｛/=/-+2.

(2)根据题意，得点N在A,B之间运动时，满足了口<工3<m，

此时函数值T<：伏।<2,

【解析】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的性质求字母的范围.

U把点「1(0.2),8(3,-1)分别代入解析式，联立构成方程组，解答即可.

(2)利用数形结合思想，解答即可.

24.【答案】解：“)•二四边形EFGH为正方形，四边形ABCD为正方形，

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EF=乙4=ND=2FEH=90°,

Z.AEF+LAFE=ZDEH+Z.AEF=90°,

.・.LAFE二£DEH,

:.^AEF^^DHE(A.\S),

DE-AF,

.AE.rein.AD-lent,

AF=DE=(4,

22222

EF=AE+AF=i+“_z)=2x-8；r+16,

y=EF2=2J-2-&r+16(04为《1)；

故答案为：//二2/—87+16,()3/£」.

口如图所示函数图象即为所求.

二当i—2时，y最小，最小值为8,

二.当/-2”〃时，正方形EFGH面积有最小值86〃产,

故答案为：2；8.

【解析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，二次函数的应用，全等三角形的性质与判定.

(1)由正方形的性质，得到EF=HE,乙4=ND=NFEH=90°,证明△4EFzZkDHE(A4S),得到

DE^AF,则4F=DE=(4-z)cm,利用勾股定理得到EF?=2/—Kr+16,则

y=EF'=2M-8,r+16(0C.r<4)；

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（2）根据（1）所求画出对应的函数图象即可；

（3）根据二次函数的性质求解即可.

25.【答案】解：

Z.MCD=£CDA=n,

ZCOA=2ZCDA=2a.

（2）根据E的证明，得一。。A=2ZCDA=2Z.MCD=2a.

••CD/AB,OELCD,

：.OE±AB,

・「直线CM与半圆0相切于点C,

：.OC1CE,

：.£MCD=90"-/.CEO=Z.COE=a,

,3a90',解得c=3（）,

AB=6,

【解析】（1）根据。〃〃4。得.7/1£）=/。04=。，结合圆周痛定理，得到NCOA=2NC£L4=2a,

求解即可.

।②根据（'〃//八/，得OE14B,结合圆周角定理，得到a=30°,根据特殊角的三角函数求解即可.

本题考查了切线的性质，平行线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，圆周角定理，特殊角的函数

值是解题的关键.

26.【答案】解：（1）①Tf=---2，

2a

...b=一4".

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②抛物线y,“j+，〃•+。中，<i>o,

，抛物线开口向上.

:点」（-1.“）.点3（3,a）在抛物线U=ax+ta+c（a>0）±,对称轴为直线/=2,

二点,1（-1.小）到对称轴的距离大于点HI3,ni到对称轴的距离，

/.m>n.

Bl由题意，可知点虫-1,"，））在对称轴的左侧，点/，（3.，”.］（八.川在对称轴的右侧,

3<J-（I<I,都有"i〉p〉n,

:点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离，

'W33

.•.<._T+J,解得不<tW3,

L-2-

t的取值范围是g<tW3.

【解析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质.

，口①利用对称轴公式求得即可；②利用二次函数的性质判断即可.

（2）由题意，可知点M-L，”）在对称轴的左侧，点/，（：，.〃1"'（小./，）在对称轴的右侧，点A到对称轴的距离

大于点C到对称轴的距离，据此即可得到｛.-1+4,解得:<£W3.

27.【答案】⑴证明：=.•.NB=NC.

又=ZB,

4EDC=ZC,

ED=EC

(2)解:①如图所示.

②延长EF至点G,使(；F-EF,连接AG,BG,DG,AE.

•.•点F为BD的中点，

，四边形BEDG是平行四边形,

/.BG=DE,BG//DE.

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：GFEF.\FiEF,

：.AF垂直平分EG,

AG=AE.

由(1),得OE=CE,

又BG=DE,

BG=CE,

,fABG^^.XCE,

NABG=NACE.

又LACE+/ABE+ABAC180,

NA8G+/ABE+ZB.4C=1K(),

../E8G+/ZMC=I8():,

.BG//DE,

4卜:BG+/BE1)-18(),

又•.•/£"7+1X(),

Z.BAC=/.BED.

■：LBAC4-Z.ABC4-ZC=180°,NCED+NEDC+NC=180°,£EDC=£ABC,

-Z/J.4C=/CED,

又.•/BAC=/BED,

：.£BAC=ZBED=Z.CED,

ABED+Z.CED180(,

2ABAC180,

£BAC=90°.

【解析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，作辅

助线构造全等三角形是解题的关键.

(1)根据等边对等角得到N8=ZC,进而得到NEOC=ZC.再根据等角对等边即可得到结论；

Q①根据题意补图即可；

②延长EF至点G,使G/=EF,连接OG..4E,则四边形BEDG是平行四边形，然后推导

4ABGg得到/ABG=Z.ACE,然后得到/84c=乙BED=£CED,

/8£/)+/「£/)=180即可得到结论.

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28.【答案】解：⑴①正方形T的顶点分别为点0,八(2,2),2