福州市鼓楼区2024年九年级上册数学月考试题与参考答案

福州市鼓楼区2024年九年级上学期《数学》月考试题与参考答案

一、单选题

每题4分，共10题。

1.在平面直角坐标系中，点尸（4-2）关于原点的对称点的坐标为（）

A.（4,2）B.（T2）

C.（-4,-2）D,（-2,4）

答案：B

答案解析：点尸（4-2）关于原点的对称点的坐标为（<2）；

故选B.

2.关于*的方程（左T）2/+（2后+i）x+i=o有实数根，贝必的取值范围是（）

A,左2；且左w±lB,左且左Hl

,1,1

C.k>-D.k>-

44

答案：D

答案解析：①当（左-1）2=。时左=1,此时方程为3x+l=o,有实数根；

②当（01）小。时左归，此时方程为为一元二次方程，

...方程有实数根

「.A=（2后+1尸一4（后-I）?大。，解得：k>^

综上所述左,故选：D

3.某种音乐播放器原来每只售价400元,经过连续两次降价后，现在每只售价为256元,

设平均每次降价的百分比为x,则可列方程为()

A.400(1-%)=256B.400(1-%)2=256

C.256(1-%)=400D.256(1-x)2=400

答案：B

答案解析：第一次降价后的售价为4000-x)元，第二次降价后的售价为400。-A?元，

因此可列方程为：400(1-X)2=256,

故选B.

4.关于二次函数y=^c2+l的图象，下列说法中，正确的是().

A.对称轴为直线x=l

B.顶点坐标为

C.可以由二次函数>=与的图象向左平移1个单位得到

D.在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降

答案：D

答案解析：A.二次函数y=^+l的对称轴为直线x=0,故A选项不符合题意；

B.二次函数y=^2x+l的顶点坐标(R),故B选项不符合题意；

C.二次函数y=^+l的图像可以由二次函数>=去的图像向上平移1个单位得到，

故C选项不符合题意；

D.二次函数》=去+1的图像开口向下，在对称轴左侧，图像上升，在对称轴右侧，图像下

2

降，故D选项符合题意。故答案为：D.

5.如图所示是一个中心对称图形，点A为对称中心.若NC=90。，4=30。，BC=1,贝

的长为（）

A.4B.—

3

c26n473

C・-------D.-------

33

答案：D

答案解析：根据中心对称图形的特点可知：AB'=AB,

-：ZC=90°,ZB=30°,

.,.在RtZkMC中，AC^^AB,

■.■在RtZXZSC中，AB2=AC2+BC2,BC=1,

.."2=0■回+/,

解得：AB=（负值舍去），

n

,AB'=AB=—y/3

一3

-BB'=AB'+AB=-y[3

-3

故选：D.

3

6.2022年的卡塔尔世界杯受到广泛关注，在半决赛中，梅西的一脚射门将足球沿着抛物线飞

向球门，此时，足球距离地面的高度h与足球被踢出后经过的时间t之间的关系式为

h=-t2+bt.已知足球被踢出9s时落地，那么足球到达距离地面最大高度时的时间t为（）

A.3sB,3.5s

C.4sD,4.5s

答案：D

答案解析：根据题意得：当/=9时，h=0,

：.0=-92+9b,

解得：b=9,

二该函数解析式为〃=-产+9/，

力=—/+%=—（7—4.5『+20.25,

二足球到达距离地面最大高度时的时间t为4.5s.

故选：D

7.如图，eO的半径为5,M是圆外一点，71/0=6,/0/3=30。,〃5交eO于点48,则弦

AB的长为（）

A.4B.6

C.673D.8

4

答案：D

答案解析：过。作。于。，连接。4,则/。。/=90。,

■：M0=6,Z.OMA=30°,

:.OC=-MO=3

2，

在RtV。。中，由勾股定理得：AC=^OA2-OC2=V52-32=4,

■：OCLAB,

:.BC=AC,

即45=2/C=2x4=8,故选：D.

8.如图，。是弧血所在圆的圆心.已知点B、C将弧AD三等分，那么下列四个选项中不

正确的是（）

A,才C=2^DB.AC=2CD

C.N4OC=2NCODD.S扇物0c=2S扇肱.

5

答案：B

答案解析：连接AB、BC,OB,

•.•点B、C将弧AD三等分，

^B=BC=6D,

：.M=2PD,故A选项正确；

M=Bc=eD,

AB=BC=CD,

-.-AB+BC>AC,

.■.AC<2CD,故B选项错误；

才C=2?D,

^AOC=2NC0D,故C选项正确；

NB=BC=PD,

ZAOB=ZBOC=ZCOD,

扇物。

二SB=S扇形B0c=S扇版70c,

---S扇畛0c=2s哪COD,故D选项正确;

故选：B.

6

9.一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为L5米，高为2米，现要将其改造成圆弧型门洞（如

图），则改造后圆弧型门洞的最大高度是（）

A.2.25米B.2.2米

C.2.15米D.21米

答案：A

答案解析：如图所示，连接矩形门洞的对角线交于点。，过点。作于点D,

EDB

二点。为线段45的中点，N4C8=90。,

力5为圆。的直径，

■.■宽为L5米,高为2米,

^5=V1.52+22=2.5（米），

・••圆的半径=；/8=1・25（米），

ODLBE,

・•・点D为8E的中点,

7

又•.•点。为线段力5的中点，

0D是YBCE的中位线，

.•・8=9。=1（米），

则改造后门洞的最大高度=1-25+1=2.25（米）；

故选：A.

10.已知抛物线、=⑪2+为+°（。，0）与x轴交于点A（-1,0）,对称轴为直线x=l,与y轴的

交点B在（0,2）和（0,3）之间（包含这两个点）运动，有如下四个结论：

①抛物线与x轴的另一个交点是（3,0）;

②点C（石，M）,在抛物线上，且满足毛<乙<1,则为〉为；

③常数项c的取值范围是2<c<3；

2

④系数Q的取值范围是-IV。V一§・

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A.①②③B.②③④

C.①③D.①③④

答案：D

答案解析抛物线对称轴为x=1,且与x轴交点为（-1,0）,故与x轴的另一个交点为（3,0）,

故①正确；

抛物线与y轴的交点为（0,c）,且与峥由交点B在（。,2）和（0,3）之间（包含这两个点）运动，

故C的取值范围是2WcW3,故③正确；

抛物线对称轴为X=1,得b=-2。，由x=-1时，可得。-b+c=0,贝［|c=-3。，又由③已知

8

cc，2

2<C<3,故有2W-3QW3,故故④正确；

由④得结论可知，抛物线开口向下，且对称轴为X=l,得到当X<1时，y随X增大而增大，

故当为<乙<1,有y[<y2,故②错误；

综上正确的有①③④，

故选D.

二、填空题

每题4分，共8题。

11.已知点月（。-"，-2）与点。（-6,2。+9关于原点对称，则a+b=.

答案：0

a-2b=-（-6）[a-2

答案解析：由题意，,2Q+Z?=_（-2"解得）=一2；

/.〃+6=0.

故答案为：0.

12.已知点四孙力）在抛物线3上，且0"<z,贝1J%%.（填

“<”或“>”或“=”）

答案：<

答案解析：歹=£一3的对称轴为y轴，

-：a=l>Q,

,开口向上，当、>0时，y随x的增大而增大,

9

■J0<Xj<x2

故答案为：＜.

13.新型冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮

传染将会有225人感染，若设1人平均感染工人，贝上的值为.

答案：14

答案解析：由题意得：（x+iy=225,

解得：％=14,毛=—16（不合题意舍去），

故答案为140

14.如图，BD=OD,25=38。，则的度数为.

答案：28度

答案解析：•••8。=。。，45=38。

ZDOB=ZB=38°

：,ZADO=2ZB=76

由题意可得：OA=OD

：,ZADO=/DAO=76。

：.ZAOD=1SO0-2ZADO=28°,故答案为：28。

10

15.如图，V4SC内接于e0,48是e0的直径，点。是e0上一点，/CDB=55。，则

ZABC=________°.

D

答案：35

答案解析：Q/4/CD3是所对的圆周角，

NA=ZCDB=55°,

••.班是e°的直径，

\-ZACB=90°,

在RtZXZCB中，ZABC=90°-ZA=90°-55°=35°,

故答案为：35.

91

16,二次函数歹=。(％—〃)的图象如图所示，已知，。/=℃,则该二次函数的解析式为

w半11

1

答案：y=-(x-2)7

11

答案解析：由题意，得。仅，°）,

OA=OC,

：.4（0,力），

1

将点A坐标代入抛物线解析式，得力=］X（0—功2,

解得：〃=2或0（不合题意，舍去），

，该抛物线的解析式为y=5（*-2）~,

故答案为：y=；（x-2）2.

17.如图，某拱桥桥洞的形状是抛物线，若取水平方向为X轴，拱桥的拱点。为原点建立直

角坐标系，它可以近似地用函数了=-；/表示（单位：rn）.已知目前桥下水面宽4m,若水

O

位下降1.5m,则水面宽为m.

答案：8

答案解析：目前桥下水面宽4m,

1I.1

即x=2时，了=_［厂2=_鼻乂2-=_不

ooZ

当水位下降］.5m,即y=_；—L5=_2

12

x=±4

此时水面的宽为8m

故答案为：8.

18.喜欢数学的小西同学在学习旋转的时候想到了一个新的定义对于线段MV,先将线段必

绕点M逆时针旋转75。，再绕点N顺时针旋转75。，旋转后的两条线段交于点P,我们称点P

为线段MV的“双旋点”，如图，已知直线＞=x+2与x轴和y轴分别相交于点A,点B,则线

段45的“双旋点”P的坐标为.

13-A/^,3+A/5")

答案解析：；直线了=x+2与x轴和y轴分别相交于点A,点B,

二/(—2,0),8(0,2),

OA=OB=2,NOAB=NOBA=45°,AB=^OA1+OB2=2/,

根据题意，得/P/8=NPA4=75。，

NAPB=30°,ZPAO=120°,

过点P作尸G，4。于点G,

ZPAG=60°,ZGPA=30°,

过点B作3QP/0交。/于点Q,

•./PNG=408=60°

13

ZPBQ=ZAQB-ZAPB=30°=ZAPB

QP-QB,

过点A作,0,8。于点D,

二四边形是正方形，

_­,AD=DB=B0=0A=2,/。20=30°,

,-.AQ=2QD,

222

AQ-QD=AD=4t二（2QD）2-R=4,

解得0£>=W，/0=#

QP=QB=2+牛

.c,c2百4百ccA

..PA—2H-----------1---------=2+2、/3,

33

-GA=-PA=\+y[i

2'

PG=dPd-AG2=3+V3,

二G。=/G+0/=3+V1,

二点P（-3_63+6）,故答案为：卜3-百,3+S'）.

14

三、解答题

19.解方程：

(1)2(x-2)2=18；

(2)2x2-x-6=0.

3

答案：(1)巧=5和Z=-1(2)匹=-万和电=2

【小问1详解】

由原方程，得

(x-2)2=9,

开方，得x-2=±3,

解得%=5,七=T；

【小问2详解】

由原方程，得

(2%+3)(%-2)=0；

解得看=一5，9=2.

20.已知关于x的一元二次方程廿+(机+3)x+〃,+i=。.

(1)求证：无论加取何值，原方程总有两个不相等的实数根;

(2)若%，不是原方程的两根，且卜一引=2石，求加的值.

答案：(1)证明过程见详解

(2)冽的值3或-5

15

【小问1详解】

解：原方程总有两个不相等的实数根，/+(加+3)x+加+1=。中a=1,b=m+3,c=m+l,

j.A=b2-4ac=(m+3)2-4xlx(m+1)=m2+2m+5,

A=(/M+1)2+4>0,

,无论冽取何值，原方程的判别式恒大于零，

二无论加取何值，原方程总有两个不相等的实数根.

【小问2详解】

解：厂+(加+3)》+机+1=。中a=l,b=m+3,c=m+11且即电是原方程的两根，

I%1-x2|=2V5,

b,c,

x+x=---=+3)$•I2=.=加+]

{2-a5a

：.(X]+%2)2=jq2+有毛+X{=(m+3)2,则xj+x,2=(m+3)2-2(m+l),

■.■|X1-X2|=2V5,即(x「马)2=仅石『，

(zn+3)2-2(m+1)-2(»/+1)=20,

整理得,m2+2m-15=0,

解方程得，叫=3,机2=-5,

••・加的值3或-5.

21.如图，若将线段力5绕点。旋转180。，得到点A的对应点H,点B的对应点为9.

16

A

•O

B

（1）画出旋转后的图形，并连接/9，BA1-

（2）四边形"助力的形状一定为.（填写序号即可）

①矩形；②菱形；③平行四边形；④不能确定形状的任意四边形

答案：（1）见解析（2）③

【小问1详解】

【小问2详解】

解：结论：四边形/助力是平行四边形.

理由：-/0A=0A',0B=0B，,

二四边形是平行四边形.

故答案为：③.

22.如图，eO的半径为1,点A,B,C是e°上的三个点，点P在劣弧力5上,

ZAPB=120°,PC平分/APB.求证：

17

c

（1）V48C是等边三角形；

（2）PA+PB=PC.

答案：（1）见解析（2）见解析

【小问1详解】

证明：•.•/4PS=120。，PC平分NAPB,

ZAPC=ZCPB=60°,

ZCBA=ZCPA,ZCAB=ZCPB,

ZCAB=ZCBA=60°,

ZACB=60°,

」.V48c是等边三角形；

【小问2详解】

证明：在尸C上截取

ZCPA=60°,

..・△加为等边三角形，

:.AD=AP,ZDAP=60°,

由（1）知V48C为等边三角形，

AC=AB,ZCAB=60°=/DAP,

18

ACAD=ZBAP,

：,MCAD^JPAB,

.­,CD=PB

：,PC=CD+PD=PB+PA

23.网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售荔枝.已知该荔枝

的成本为6元/kg,销售价格不高于18元/kg,且每售卖1kg需向网络平台支付2元的相关

费用，经过一段时间的直播销售发现，每日销售量y(kg)与销售价格x(元/kg)之间满足

如图所示的一次函数关系.

ly/kg

O814%/(元/kg)

(1)求7与X的函数解析式.

(2)当每千克荔枝的销售价格定为多少元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为多少元?

答案：(1)y=-100x+3000

(2)当销售单价定为18元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为12000元

【小问1详解】

19

解：设，与X的函数解析式为广.+b,

...改函数图象经过点(&2200)和点(14,1600)

'8-+6=2200

,'1'14k+b=1600

%=—100

解得：］b=3000

.丁与X的函数解析式为y=70°x+3000；

【小问2详解】

解：设销售销这种荔枝日获利攻元，

根据题意，得，w=(x-6-2)(-100x+3000)

=-100x2+3800%-24000

=-100(x-19)2+12100

••-«=-100<0,对称轴为直线x=19,

二在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，

,•.销售价格不高于18元/kg,

.•.当x=18时，攻有最大值为12000元，

••当销售单价定为18时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为12000元.

24.如图，正方形。灯心绕着边长为Q的正方形/8C。的对角线的交点。旋转，边。£、OG

分别交边于点M、N.

20

(1)求证：OM=ON-

(2)问四边形Q3N的面积是否随着Q的变化而变化？若不变，请用Q的代数式表示出来,

若变化，请说明理由；

(3)试探究尸4PN、三条线段之间有怎样的数量关系，并写出推理过程.

答案：(1)证明见解析

12

(2)不变，S四边形加

(3)PN2=BN2+PA2

【小问1详解】

证明：连接4C、BD,

在正方形/8C。中,

21

NOAM=20AN=AOBN=45。,。/=OB,

ZAOM+ZAON=NEOG=90°,NBON+ZAON=NAOB=90°,

ZAOM=/BON,

在VZQI/和均加中，

NO4M=ZOBN

<OA=OB

ZAOM=NBON

：,MAOM^JBON(ASA),

OM=ON-

【小问2详解】

不变，S四边形OM4N=1〃J

MAOM^JBON,

.Q-Q

..AOM—^\JBON,

S四边形OM4N=，VOMA+S'OAN=^\JOBN+^MOAN=^MOAB=正方形神⑺=

【小问3详解】

PN2=BN2+PA2,

22

证明如下：如图,

!

由（1）可知V40M义VBON,

AM=BN,OM=ON,

•.•四边形OEFG是正方形，

ZMOP=ZNOP=45°,

在RtVAfOP和RtMNOP中，

0M=ON

<ZMOP=ZNOPJ

OP=OP

.­.\/MOP^/NOP（SAS）,

:.PM=PN,

在V^MAMP中，由勾股定理得PM2=MA2+PA2,

：.PN2=BN2+PA2.

25.如图，抛物线y=a/+"+c与x轴交于/（一2,0）、8（6,0）两点，与峥由交于点C.直线/与

抛物线交于A、。两点，与》轴交于点£，点。的坐标为（4,3）.

（1）求抛物线的解析式与直线/的解析式；

（2）若点。是抛物线上的点且在直线/上方，连接。/、PD,求当AR4。面积最大时点P

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的坐标及该面积的最大值;

(3)若点。是7轴上的点，且//°。=45。，求点。的坐标.

答案：

1,1

(1)抛物线的解析式为了=-^“一+'+3,直线/的解析式为了=5%+1；

2715

(2)AE4Z)的面积的最大值为了，点P的坐标是P(l,])

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(3)。的坐标为(0，§)或(0,-9).

答案解析：⑴抛物线y="/+"+，与X轴交于4-2