北师大版数学八年级上册 1.1探索勾股定理 同步测试（附答案解析）

北师大版数学八年级上册1.1探索勾股定理同步测试班级：姓名：一、选择题1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，AC=2，则BC的值（）A．5 B．6 C．7 D．132．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.“折竹抵地”问题源自《九章算术》﹔“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10尺，BC=4尺，求AC的长.则AC的长为（）A．4.2尺 B．4.3尺 C．4.4尺 D．4.5尺3．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（）A．13 B．5 C．2.2 D．3−4．图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中正方形顶点A、B在围成的正方体中的距离是（）A．0 B．1 C．2 D．35．满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（）A．AC＝1，BC＝3，AB＝2 B．AC：BC：AB＝3：4：5C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：56．在锐角△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则BC的长度为（）A．16 B．15 C．14 D．137．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CD的长为（）A．1cm B．43cm C．53cm8．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5m，则小巷的宽为（）．A．2.4m B．2m C．2.5m D．2.7m二、填空题9．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为．10．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为100cm，15cm和10cm，A和B是这个台阶的两个端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为cm.11．如图，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，点A在边DE的中点上，若AB=BC，DB=DE=2，连结CE，则CE的长为．12．在平面直角坐标系中，将一副三角板按如图所示的方式摆放，BO、DO分别与y轴、x轴重合，∠ABO=∠DCO=90°，∠AOB=30°，∠COD=45°.动点M在边OA上运动，动点N在边OC上运动，OD13．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，DE平分∠ADC，交AC与点E，EF⊥AB于点F，且交AD于点G，若AG=1，BC=6，则AF=．三、作图题14．用刻度尺和圆规作一条线段，使它的长度为5cm．（保留作图痕迹）15．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝CD＝5，AD＝BC＝3.（1）尺规作图：在边BC找一点P，使得△ABP沿直线AP折叠时，B点恰好落在边CD上：（写出作法过程，保留作图痕迹，不需证明）（2）求BP的长.四、解答题16．如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长17．如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10点E是CD的中点，求AE的长．五、实践探究题18．定义：在任意△ABC中，如果一个内角度数的2倍与另一个内角度数的和为90°，那么称此三角形为“倍角互余三角形”.（1）【基础巩固】若△ABC是“倍角互余三角形”，∠C>90°，∠A=60°，则∠B=°；（2）【尝试应用】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为线段BC上一点，若∠CAD与∠CAB互余.求证：△ABD（3）【拓展提高】如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，试问在边BC上是否存在点E，使得△ABE是“倍角互余三角形”？若存在，请求出BE六、综合题19．在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处.（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC＝54°，则∠DAE的度数为°.（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB＝6，AD＝10，求CE的长.（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB＝6，AD＝10，求CG的长.20．在长方形ABCD中，点E是AD中点，将△ABE沿BE折叠后得到对应的△GBE，将BG延长交直线DC于点F．（1）如果点G在长方形ABCD的内部，如图①所示．

①求证：GF=DF；

②若DF=23CD，AD=4（2）如果点G在长方形ABCD的外部，如图②所示，AD=kAB(k>2)，请用含k

1．【答案】A【解析】【解答】由勾股定理得，BC=A故答案为：A.【分析】直接利用勾股定理计算即可.2．【答案】A【解析】【解答】解：设AC=x尺，则AB=（10-x）尺，△ABC中，∠ACB=90°，AC∴x2解得：x=4.2，故答案为：A.【分析】设AC=x尺，则AB=（10-x）尺，根据勾股定理可得AC3．【答案】B【解析】【解答】解：连接AD，则AD=AB=3，Rt△ADC中，由勾股定理可得，CD=A故答案为：B．【分析】连接AD，Rt△ADC中，由勾股定理即可得出CD的长．4．【答案】C【解析】【解答】解：连接AB，如图所示：根据题意得：∠ACB=90°，由勾股定理得：AB=1故选：C．【分析】由正方形的性质和勾股定理求出AB的长，即可得出结果．5．【答案】D【解析】【解答】解：A、∵12+（3）2＝4，22＝4，∴12+（3）2＝22，∴AC＝1，BC＝3，AB＝2满足△ABC是直角三角形；B、∵32+42＝25，52＝25，∴32+42＝52，∴AC：BC：AB＝3：4：5满足△ABC是直角三角形；C、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝31+2+3∴∠A：∠B：∠C＝1：2：3满足△ABC是直角三角形；D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝53+4+5∴∠A：∠B：∠C＝3：4：5，△ABC不是直角三角形．故答案为：D．

【分析】根据直角三角形中有一个角等于90°和利用勾股定理对每个选项一一判断即可。6．【答案】C【解析】【解答】解：如图，∵AD是锐角△ABC的高，∴AD⊥BC∵AB=15，AC=13，在Rt△ABD中，BD=在Rt△ACD中，CD=∴BC=BD+DC=9+5=14故答案为：C.【分析】在Rt△ABD中，由勾股定理求出BD长，在Rt△ACD中，由勾股定理求出CD长，然后根据线段的和差关系求BC长即可.7．【答案】B【解析】【解答】解：∵AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，∴AB=5∵翻折∴AB=AE∴CE=AE−AC=AB−AC=5−4=1，设CD的长为x，则BD=DE=3−x，在Rt△DCE中，D即(3−x)解得x=故答案为：B

【分析】设CD的长为x，则BD=DE=3−x，根据勾股定理可得(3−x)28．【答案】D【解析】【解答】解：由题意可得：

A'B=AB=AC2+CB2=2.5m故答案为：D【分析】根据直角三角形中勾股定理可得A'B=AB=AC29．【答案】60【解析】【解答】由勾股定理可以求出直角边长分别为5和12的斜边为：13，设斜边上的高为x，由题意，得5×122解得：x=6013【分析】先利用勾股定理求出斜边的长，再利用直角三角形的两个面积公式可解答。10．【答案】125【解析】【解答】展开图为：则AC=100cm，BC=15×3+10×3=75cm，在Rt△ABC中，AB=AC所以蚂蚁所走的最短路线长度为125cm．故答案为：125．

【分析】把立体几何图展开得到平面几何图，然后利用勾股定理计算AB，则根据两点间线段最短得到蚂蚁所走的路线最短。11．【答案】17【解析】【解答】解：延长ED到F，使得DE=DF，连接CF，BF，∠BDE=90°，由等腰三角形的性质可得BE=BF，

∵BD=DE=2，

∴∠BEA=∠BFA=45°∵∠EBA+∠ABF=90°，∠ABF+∠FBC=90°，∴∠EBA=∠FBC，∵BE=BF，BA=BC，∴△EBA≅△FBC(SAS)，∴∠BEA=∠BFC=45°，AE=CF，∴∠CFE=∠BFC+∠AFB=90°，∵点A为DE的中点，∴AE=1，∴CF=1，

DE=2，∴EF=4，

在△CEF中，由勾股定理得：EC=E故答案为：17．【分析】延长ED到F，使得DE=DF，连接CF，BF，∠BDE=90°，由等腰三角形的性质可得BE=BF，∠BEA=∠BFA=45°，由“SAS”可证△EBA≅△FBC，可得∠BEA=∠BFC=45°，AE=CF，在△CEF中，利用勾股定理即可求解．12．【答案】3【解析】【解答】解：∵点P的坐标为（2，0），

∴OP=2，

∵∠BOD=90°，∠AOB=30°，

∴∠AOD=60°，

过点P作PM⊥OA于M交OC于N，此时PM+PN最小求等于PM的长度，

∵∠POM=60°，∠PMO=90°，

∴∠MPO=30°，

∴OM=12OP=1，

∴PM=OP2−OM2=

【分析】根据点P的坐标得到：OP=2，求出∠AOD的度数，过点P作PM⊥OA于M交OC于N，此时PM+PN最小求等于PM的长度，根据三角形内角和定理和直角三角形的性质即可求出OM的长度，最后利用勾股定理即可求出PM的长度，即可求解.13．【答案】4【解析】【解答】解：如图，连接BG，∵AB=AC，AD⊥BC，由等腰三角形的性质可得：∠BAD=∠CAD，∵EF⊥AB，∴∠AGF+∠BAD=90°，∴∠AGF=∠B=∠C，∵∠AGF=∠EGD，∴∠C=∠EGD，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，在△DEG和△DEC中，∵∠C=∠EGD，∠ADE=∠CDE，DE=DE，∴△DEG≌△DEC(AAS)，∴DG=CD=3，∵AG=1，∴AD=AG+DG=4，

在△ABD中，由勾股定理得：AB=AS△ABG即12解得：FG=3在△AFG中，由勾股定理得：AF=A故答案为：4【分析】连接BG，由等腰三角形的性质可得：∠BAD=∠CAD，∠B=∠C，BD=CD=12BC=3，结合EF⊥AB，证明△DEG≌△DEC，可得DG=CD=3，从而得到AD=4，再由勾股定理求出AB=5，然后根据三角形等面积S14．【答案】解：作一个直角边分别为1cm和2cm的直角三角形，如图，

∴斜边长AB长为5cm【解析】【分析】利用勾股定理可知斜边长为5cm，利用垂线的作法，作出BC⊥AC，且BC=1cm，AC=2cm，画出△ABC即可得到AB的长为5cm.15．【答案】（1）解：如图，①以A点为圆心以AB长为半径画弧交DC边于E点；②作∠EAB的平分线交BC于P点，点P即为所作；（2）解：∵△ABP沿直线AP折叠时，B点恰好落在边CD的点E处，∴AE＝AB＝5，PE＝PB，在Rt△ADE中，∵AD＝3，AE＝5，∴DE=5∴CE＝CD－DE＝5－4＝1，设PB＝x，则PE＝x，PC＝3－x，在Rt△PCE中，12解得x=53【解析】【分析】（1）①以A点为圆心，以AB长为半径画弧，交DC边于E点；②作∠EAB的平分线交BC于P点，点P即为所作；

（2）根据折叠的性质可得AE＝AB＝5，PE＝PB，利用勾股定理可得DE=4，则CE＝CD-DE＝1，设PB＝x，则PE＝x，PC＝3-x，然后在Rt△PCE中，利用勾股定理计算即可.16．【答案】解：∵四边形ABCD为矩形，∴DC=AB=8cm，AD=BC=10cm，∠B=∠D=∠C=90°，∵折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，∴AF=AD=10cm，DE=EF，在Rt△ABF中，BF=AF∴FC=BC-BF=4(cm)，设EC=x，则DE=8−x，EF=8−x，在Rt△EFC中，∵EC2+FC2=EF2，∴x2+42=(8-x)2，解得x=3，∴EC的长为3cm．【解析】【分析】由四边形ABCD为矩形，得出DC=AB=8cm，AD=BC=10cm，∠B=∠D=∠C=90°，根据折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，得出AF的值，利用勾股定理得出BF、FC的值，设EC=x，则DE=8−x，EF=8−x，在Rt△EFC中，由EC2+FC2=EF2，即可得出EC的长。17．【答案】解：如图，延长AE交BC于F．∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴AD∥BC∴∠D=∠C，∠DAE=∠CFE，又∵点E是CD的中点，∴DE=CE．∵在△AED与△FEC中，∠D=∠C∠DAE=∠CFE∴△AED≌△FEC（AAS），∴AE=FE，AD=FC．∵AD=5，BC=10．∴BF=5在Rt△ABF中，AF＝AB∴AE=12【解析】【分析】延长AE交BC于F，易得AD∥BC，由平行线的性质得∠D=∠C，∠DAE=∠CFE，根据中点的概念可得DE=CE，证明△AED≌△FEC，得到AE=FE，AD=FC，则BF=BC-CF=BC-AD=5，利用勾股定理可得AF，进而可得AE.18．【答案】（1）15（2）证明：∵∠ACB=90°，∴∠B+∠CAB=90°，又∵∠CAB+∠CAD=90°，∴∠B=∠CAD，∴∠B+∠CAD+∠BAD=2∠B+∠BAD=90°∴△ABD是倍角互余三角形.（3）解：①当AE平分∠CAB时，则2∠EAB+∠B=90°，∠CAE=∠FAE∴△ACE≌△AFE，∴AE=AC=3，则BF=2，设CE=a，则EF=a，BE=4−a，在Rt△BEF中，(解得a=32，所以②当∠CAE=∠B时，作点A关于BC的对称点H，连接AE、HE，并延长HE交AB于点F.设∠CAE=x，则∠ABC=x，∵点A、点H关于BC对称，∴∠AHE=∠CAE=x，∴∠CEH=90°−x=∠BEF，∴∠BEF+∠ABC=90°，即HF⊥AB，利用等积法求得：S△ABH∴HF=24在Rt△AHF中，设AE=HE=a，在Rt△AEF中，a∴a=15在Rt△ACE中，CE=∴BE=4−9综上所述，BE=52或74【解析】【解答】解：（1）∵△ABC是“倍角互余三角形”，∠C>90°，∠A=60°，∴∠A+2∠B=90°，∴∠B=1故答案为：15；【分析】（1）由题意可得∠A+2∠B=90°，据此计算；

（2）由内角和定理可得∠B+∠CAB=90°，由题意可得∠CAB+∠CAD=90°，则∠B=∠CAD，∠B+∠CAD+∠BAD=2∠B+∠BAD=90°，据此证明；

（3）①当AE平分∠CAB时，则2∠EAB+∠B=90°，∠CAE=∠FAE，∠ACE=∠AFE，证明△ACE≌△AFE，得到AE=AC=3，则BF=2，设CE=a，则EF=a，BE=4-a，由勾股定理可求出a的值，进而可得BE；②当∠CAE=∠B时，作点A关于BC的对称点H，连接AE、HE，并延长HE交AB于点F，设∠CAE=x，则∠ABC=x，∠AHE=∠CAE=x，∠CEH=∠BEF，则∠BEF+∠ABC=90°，根据等面积法可得HF，然后利用勾股定理可得AF，设AE=HE=a，利用勾股定理可得a的值，进而可得CE、BE的值.19．【答案】（1）18（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，由折叠的性质得：AF＝AD＝10，EF＝ED，∴BF＝AF2−A∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，设CE＝x，则EF＝ED＝6﹣x，在Rt△CEF中，由勾股定理得：22+x2＝（6﹣x）2，解得：x＝83即CE的长为83（3）解：连接EG，如图3所示：∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，由折叠的性质得：AF＝