甘肃省天水市2023-2024学年高二年级下册4月学段检测数学模拟试题(含答案)

甘肃省天水市2023-2024学年高二下学期4月学段检测数学

模拟试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.在空间直角坐标系。一町z中，点(3，-4,5)关于平面xQy对称的点为()

A(-3,4,-5)口(3,—4,—5)(3,4,-5)n(-3,-4,-5)

A.D.C.U.

于(x+2Ax)-f(x-2Ax)

_/)_lim-----o-----------------o---------

2.若函数y=在x=处的导数等于0,则A1foAx的值为()

A.aB.2aC.3aD.4a

3.若08C在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则3c边上的中线的长是()

5.函数/("=3一"的单调递减区间为()

口

A(1,+0°)„(.0)n(-»,1)

£>.C.JJ.

6.如图1,现有一个底面直径为l°cm高为25cm的圆锥容器，以2cm3/s的速度向该容器内注

入溶液，随着时间单位：S）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，

忽略容器的厚度，则当‘=兀时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（）

图I图2

^300/V300,洞/近而/

-------cm/s-------cm/s-------cm/s-------cm/s

A.6兀B.5兀C.3兀D.27t

ln471ln3

a=----,b=_c-__

7.已知4e53贝ija也c大小关系为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

xlux-xInx

—1——2------2——1->2

Xe（0,m）且\<乜

8.若对任意的T2,都有“2一5成立，则加的最大值为（）

A.eB.1C.eD.e2

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9,已知向量”（1」厂2）力=（1,-3,-3）,则下列结论正确的是（）

,ci+b=（2,—2,—5）0a—b=（0,—2,1）

A.D.

C.a-b=4D.Ifll=6

10.定义在R上的可导函数/（X）的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A.-2是函数的极大值点，」是函数的极小值点

B.0是函数/（0的极小值点

c.函数/G）的单调递增区间是（°产）

D.函数/（X）的单调递减区间是（-2,-1）

y（x）_11nxi，xe（0,6）,

11.已知函数卜6-1”[6M）,存在〃（心3）个不同的正数"$1,2,.-,"},使得

/G）/G）/G）

-----J—=2—=…=»—

5'X.，则下列说法正确的是（）

A.〃的最大值为5B.”的最大值为4

/（X,）/（尤,）J

C.%的最大值为eD.%的最大值为g

三、填空题：本题更小题，每小题5分，共15分.

12,已知向量0=（2,1-1））=（2,1,-4）,若£_L6,则九=.

13.对R上可导的函数/（“若满足/（0+/'*）>0,且/（T）=°,则eRx）>0的解集

是______

14.已知定义域为R的函数AM,对“。右口，若存在3>0,对任意的

/（x）-/（x）<r（x）

%e（x-5,^）U（x,x+8）,有x-x°恒成立，则称升为函数/（x）的“特异点,,.函数

/G）J-xe，+1,x<0

-2x,x>0在其定义域上的，，特异点，，个数是个.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，已知平行六面体/8CO-中，底面.CD是边长为1的正方形,

120°

（1）求线段4c的长度;

(2)求异面直线4。与4c所成角的余弦值.

16.已知函数/(x)=lnx+aR(aeR),且/(1)=4.

⑴求。的值；

⑵设g*)=/(X)-InX-X,求y=g(x)过点(1,0)的切线方程.

/(x)=ax--G+l)lnx(aeR)

17.已知函数x.

⑴求证：当“=。时，曲线了=/0)与直线了=-1只有一个交点；

(2)若/G)既存在极大值，又存在极小值，求实数a的取值范围.

18.二十大报告中提出：全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展.小王大学毕业后决定利

用所学专业回乡自主创业，生产某农副产品.经过市场调研，生产该产品需投入年固定成本4

万元，每生产》万件，需另投入流动成本/加)万元.已知在年产量不足6万件时，

F(x)=Y34-4xF(x)=9x+64-29

3,在年产量不小于6万件时，x.每件产品售价8元.通过市

场分析，小王生产的产品当年能全部售完.

p(x)

(1)写出年利润''(万元)关于年产量X(万件)的函数解析式.(年利润=年销售收入-年

固定成本-流动成本)

(2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？

19.若》=加时，函数取得极大值或极小值，则称机为函数的极值点.已知函数

/(x)=lnx+2,g(x)=ax

x+a,其中。为正实数.

⑴若函数/Q)有极值点，求。的取值范围；

X+X

⑵当乜>\>0,乜和5的几何平均数为,算术平均数为22

X—X

21

①判断与和5的几何平均数和算术平均数的大小关系，并加以证明；

②当时，证明./G)VgG)

1.B

【分析】结合空间直角坐标系中点的对称性计算即可得.

【详解】设所求点的坐标为Q'H",

根据关于平面对称的两个点的横纵坐标不变，竖坐标互为相反数，

x-3

<y=-4

则有J—,故该点为(3,-4,-5),

故选：B.

2.D

【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接计算作答.

f(x+2Ax)-f(x-2Ax)f(x+2Ar)-f(x-2Ax)

limoo=4limoo

【详解】由已知得ZAJO4AX

=4f'kx)=4a

故选：D.

3.C

【分析】利用中点坐标公式求出3c中点的坐标，根据空间两点间的距离公式即可得出中线

长.

【详解】由图可知：8(2，°，°),C(0,2,0),

由中点坐标公式可得8C的中点坐标为(LL°),

根据空间两点间距离公式得BC边上的中线的长为12+12+(-1)2=3.

故选：C

4.C

【分析】根据题意，求得为偶函数，再利用导数求得函数的单调区间，结合选项,

即可求解.

【详解】由函数的定义域为R,

且/(一x)=er-3*l=e-3x7=/(x),所以函数八。为偶函数，

当xe(0,+co)时/(x)=e^-3x-l贝/'(x)=-3

当xc（0,ln3）时/"（x）<0当X£（ln3,+oo）时/Kx）>0

所以/G）在（01n3）上单调递减，在（山3,+双）上单调递增.

故选：C.

5.A

【分析】直接求导，再令,G'vo,解出不等式即可.

【详解】/'G）=e-e二令小）<0,解得x>l,

所以/Q）的单调递减区间为&+°0）,

故选：A.

6.C

7150%

h=3

【分析】先根据圆锥的体积公式列出等式得出兀；再根据导数的运算得出

"JJ50

3加2.最后令，=兀即可求解.

【详解】设注入溶液的时间为f（单位：S）时，溶液的高为阮m,

1f1,V,,150/

J」J-h=2th=3

则315J，得兀.

因为3M,

7,11503150

n=3=

所以当，=兀时，3兀33兀，

3150/

cm/s

即圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为3兀

故选：C

7.D

\nx

,研究其在（3+°°）上的单调性即可得.

【分析】构造函数x

…令…’则入）=1一1nx

X2

当x>e时，，（x）<0,故/（X）在（e，+s）上单调递减,

故/。</（3）</（4）,即6>c>a

故选：D.

8.A

Inx2Inx2

2+>1+gG”小：将问题转化为g（Q在

【分析】将已知不等式变形为3355令

（0,"）上单调递增，利用导数可求得单调性,

由此可得加的最大值.

xInx-xInx1

【详解】由可得51吗一凡叫>2(3一\),

InxInx22liu2lux2

A2—i>—2+>i+

由丁40,叫且所以'XX-2,即尤2乜5X

(\lux2/、Inx2

gUJ=+g\x)=+

（0,加）上单调递增,

令xX,则XX在工£

g，G)—-1-lnx1

所以X2X2x2,令一1—lnx=0,贝ije

〃（x）〉0g（%）=+°，

当Iej时，glx/>u,此时xx在l⑺上单调递增;

lnx2

xe「,+oo]-（）<0g（x）=+P,+co^l

当（eJ时，gW<U,此时xx在【eJ上单调递减；

（0,m）c|0,1|1

所以Ie人故e.

故选：A.

关键点点睛：本题解题关键是将恒成立的不等式变形为同一函数不同函数值之间大小关系的

比较问题，通过构造函数的方式，将问题转化为函数在区间内单调的问题.

9.AC

【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果.

【详解】因为。=（1]，-2））=（1,-3，-3）,

则a+6=（2,-2,-5）,故人正确；

力=（0,4,1）,故B错误；

a-Z）=lxl+lx（-3）+（-2）x（-3）=4、/二。

a-1+1+4=6.

,故D错误；

故选：AC

10.BC

【分析】根据导函数的正负，即可判断原函数单调性和极值，得出正确选项.

【详解】由题意可得，当》<0时，

当x>0时，/<x)>0,

所以函数/Q)的单调递减区间是单调递增区间是(°产),

所以0是函数/G)的极小值点，所以B,C正确，A,D错误.

故选：BC

11.BD

N)/G))

【分析】作出的图象，利用x的几何意义是过原点的直线y=丘与/w相交点的斜

率，结合图象进行求解即可.

【详解】X的几何意义为过点"J"”，°)的直线的斜率.如图所示，

，/、［Inx，尤€(0,6),

r\

易知直线尸左与1*6-"56,2的图象最多只有彳个交点,

故〃的最大值为4,故A错误，B正确.

/G)

1

当直线>=丘与曲线V=lnx相切时，x取得最大值，

A(x1nx)k=吗

设切点为'JJ,则该直线的斜率为升,

(inx)=1k=

又x,则气，

Inx1

所以X。X。，解得x0=e，得/QD,

/(x)Inx1

i=o=

所以15LxX。e故C错误，D正确.

故选：BD.

【分析】由空间向量数量积垂直的坐标表示列出方程即可求解.

［详解］已知向量”(2,九,-1),6=(2,1,-4),若H,则“,=4+九+4=0,解得九=一8

故答案为.一8

3(T+oo)

【分析】依据题意构造函数，用导数判断函数的单调性，再解不等式即可.

［详解］令g(x)=ejG),gG)=ex［/(x)+/(x)］,而/(x)+1f(x)>0,

易知ex>0,故gO=e，［/G)+rG)］>0,则gG)在R上单调递增,

而g(-l)=e"(-l)=O若ex/(x)>0则g(x)>g(-D则xw(-l,+co)

故(-1,+co)

14.1

【分析】根据题意知"特异点''为'Q)的极大值点，所以通过分析,G)的极大值点个数即可

得解.

【详解】由题意知"特异点''为rG)的极大值点,

/G)=-xex+\,x<0

X2-2x,x>0

因为,所以

/r(x)=-ex+i+(-x)e》+i=-(x+1)e》

当x<0时,+i

当x>0时，/'(x)=2x-2,

--xex+i

lim------------lim------=-e

又…x-0x->0-X

/G)-/(0)

rX2-2x

lim-----------=limlim(x-2)=-2

x->0+x-0x-0+Xx-0+

故,(°)不存在.

-(x+l)e«i,x<0

/O=<

2x-2,x>0

又因为

易知：当x>°时，/'（X）单调递增，故不可能有“特异点,,,

当x<0时设g(x)=7'(x)则gO-+[_(x+l)eT=_(x+2)ez

令g，(x)>0,则x<-2；g'Q)<0,则_2<x<0；

所以/‘（X）在"-2）上单调递增，在（-2,0）上单调递减,

故X=-2为G）的极大值点，即为/（X）的“特异点”.

综上所述，/G）在其定义域内仅有一个特异点,,.

故1.

关键点点睛：本题解决的关键是理解^异点''的意义，发现其为,‘G）的极大值点，从而得

解.

15.(1)5；

715

(2)30

【分析】（1）利用向量对应线段位置关系，应用向量加减法几何意义解="，">=6,

表示出40,再应用向量数量积的运算律求模长即可；

（2）应用向量加减几何意义和数量积的运算律求4"、4°"F,再利用夹角公式求异面

直线4°与4。所成角的余弦值.

—►——»FAA――ci'c——b'c——

【详解】⑴设上“，3=6,个=。，则a)=0,2,2,

_____---(—一一一ffff——

222

Ar-ncAC=%+b—c>=a+b+c+2a-b-2a-c-2b-c=5

又牛—+。一,则।

。一c)=b2-2b-c+c2=3

(2)由4D=6-c,则,

AD-AC=+b-c)=a-b-a-c-2b-c+b2+c2=，

则।i2.

—.—.7

~~AD-AC2715

cos<AD,4C>=-t-—i~~"——

11ADAC3x530

11，

715

故异面直线4。与4c所成角的余弦值为30.

16.（1）1

（2）>=-2

【分析】（1）利用导数求解参数即可.

（2）先设切点，利用导数表示斜率，建立方程求出参数，再写切线方程即可.

、f'（x）-1+3O%2

【详解】（1）定义域为xe（°，+s）,尤，

而/"）=1+3%而已知外）=4,可得1+3“=4,

解得“=1,故。的值为1,

（2）g（x）=〃x）-lnx-x=x3-x,设切点为（5，常-x°）,设切线斜率为k,

而g，（x）=3x2-1,故切线方程为y-（7一七）=（3V-l）（x-x）；

将（1，°）代入方程中，可得°一（丁7。）=巴1）（­。），解得「=1（负根舍去），

故切线方程为了=2》-2,

17.⑴证明见解析；

⑵（。,1）D（l,+8）

【分析】（1）当。=°时，对/G）求导，分析函数单调性，确定/G）图象，可证明曲线

k/G）与直线产t只有一个交点.

（2）将/G）既存在极大值，又存在极小值，转换为厂（°有两个变号零点问题，讨论零点

位置可得实数。的取值范围.

11_V

/（%）=--Inxf\x）=

【详解】（1）当。二°时，函数》,求导得：,

令/D>0,得令/'（x）<0,得x>l；

则函数〃x）在（°，1）上递增,在（1，+°°）上递减,

故=/（1）=-1

BA.max，

所以曲线与直线>=T只有一个交点.

f{x}=ax--G+l）lnx

（2）函数X的定义域为（°，+8）,

“、1〃+10X2-（tz+l）x+l

f（x）=a+-=v7

求导得X2%X2

设g（x）=⑪2-（。+1）%+1=（依一1）（工一1）

令gG）=O,解得V。，

因为/Q）既存在极大值，又存在极小值，即g（x）在（°，+°°）有两个变号零点，

<a

1#1

则10,解得a>0且awl,

综上所述:。的取值范围为（°，l）u（l，+8）.

-1%3+4X-4,0<X<6

尸（X）=3

…64,

25—x-

18.（1）1x

（2）当年产量为8万件时，所获年利润最大，湖万元.

【分析】（1）分°<x<6和x26讨论计算即可；

（2）当°<x<6时，利用导数求出其最值，xN6时，利用基本不等式求出其最值，比较大

小即可.

P（x）=8x-4-11£+4x]=-1x3+4x-4

【详解】（1）由题意，当0<x<6时，U）3,

（64）64

P（x）=8x-4—9x+-29=25—x—

当x26时，IxJx

-X3+4X-4,0<X<6

尸（X）=364

25-x-,x>6

所以〔X

（2）当。<》<6时，P（X）=-X2+4,令P（X）=O,解得X=2.

当xe（0,2）,p（x）>0,当xe（2,6）,p（»<0.

则尸(x)在(0,2)上单调递增,在(2,6)上单调递减,

4

P(x)=PQ)=.

所以当0<X<6时，max3

(64、6464

0(x)=25—x+<25-2X.=9x=

当xN6时，Ix)x当且仅当x,即x=8o时取等号.

综上，当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.

19.(1)<2>

(2)①答案见解析；②证明见解析

【分析】(1)求导之后构造函数，利用二次函数的性质，利用对称轴，判别式，特殊值讨论

即可;

X

2（x-x）22-1

1Xx

In2>2I=、

xX+xX1X

12I2+l2

X

(2)①证明右边时先将不等式变形为I令5,构造函数,

xXXX

21n2<2I2

XX

求导，用导数分析单调性和极值即可证明；再将左边变形为11,令

同样构造函数，求导，用导数分析单调性和极值即可证明.②恒成立问题，作差之后利用一问

的结论构造函数，求导，分析单调性，再求最大值小于零即可.

2(X+Q)2-2X八

==°(八)

(x+办小+办在皿劭上有变号零点,

即86)=尤2+(2”2'+.2=0在(0产)上有变号零点.

即.却时，只需gS"""。矛盾,

①若l-aV0,

A=(2a-2)2-4(72=4-8a>0na<1

②若即°<“<l时，只需2故。的取值范围为

4

X-XX+X

XX<2I<I2

⑵①i2Inx-Inx2

2I