1.2.3全称量词和存在量词（第1课时含有量词的命题）课件高一上学期数学

第1章集合与逻辑全称量词和存在量词第1课时含有量词的命题湘教版

数学

必修第一

册课标要求1.通过已知的数学实例,理解全称量词和存在量词的意义.2.能用符号语言表示全称量词命题和存在量词命题.3.能判断全称量词命题和存在量词命题的真假.基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引基础落实·必备知识一遍过知识点一量词一些语句中含有的“每一个”和“有一个”叫作量词,两者分别叫作全称量词和存在量词.知识点二全称量词命题1.概念“任意”“所有”“每一个”等

量词,数学上用符号“

”表示.

设语句p(x)中变量x的取值范围为集合M(当x取值a∈M时,p(a)成为一个命题),则语句“对M的任一个元素x,有p(x)成立”是命题,叫作全称量词命题.2.符号表示

.

全称∀∀x∈M,p(x)名师点睛对全称量词与全称量词命题的理解(1)常见的全称量词有“任意”“所有”“每一个”“一切”“任给”等,用符号“∀”表示.(2)全称量词命题含有全称量词,有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需把它补充出来.例如,命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”.过关自诊1.下列命题中全称量词命题的个数是(

)①任意一个自然数都是正整数

②有的矩形是正方形

③三角形的内角和是180°A.0 B.1

C.2

D.3C解析

①③是全称量词命题.2.观察下面的两个语句,思考下列问题:P:m≤8;Q:对所有的m∈R,m≤8.上面的两个语句是命题吗?二者之间有什么关系?提示

语句P无法判断真假,不是命题;语句Q在语句P的基础上增加了“对所有的m∈R”,可以判断真假,是命题.语句P是命题Q中的一部分.知识点三存在量词命题1.概念“存在某个”“至少有一个”等

量词,数学上用符号“∃”表示.语句“存在M的某个元素x,使p(x)成立”是命题,叫作

.

2.符号表示∃x∈M,p(x).存在存在量词命题名师点睛对存在量词与存在量词命题的理解(1)常见的存在量词有“存在”“有”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某个”“有的”等,用符号“∃”表示.(2)含有存在量词“存在”“有一个”等的命题,或虽没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.过关自诊1.下列命题是真命题的是(

)A.∀x∈R,x2>0B.∀x∈R,x2+2x>0C.∃x∈R,<0D.∃x∈R,x(x-1)=6D解析

∀x∈R,x2≥0,故排除A;取x=0,则x2+2x=0,故排除B;因为

≥0,故排除C;取x=-2,则x(x-1)=6,故D正确.2.观察下面的两个语句,思考下列问题:P:m>8;Q:存在一个m0∈Z,m0>8.上面的两个语句是命题吗?二者之间有什么关系?提示

语句P无法判断真假,不是命题;语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个m0∈Z,m0>8”,可以判断真假,是命题.语句P是命题Q中的一部分.重难探究·能力素养速提升探究点一全称量词命题与存在量词命题的辨析【例1】

判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题:(1)梯形的对角线相等.(2)存在一个四边形有外接圆.(3)二次方程都存在实数根.(4)负数没有对数.解

(1)命题完整的表述应为“所有梯形的对角线都相等”,很显然为全称量词命题.(2)命题为存在量词命题.(3)命题完整的表述为“所有的二次方程都存在实数根”,故为全称量词命题.(4)命题完整的表述是“所有负数都没有对数”,故为全称量词命题.规律方法

判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路

变式训练1判断下列语句是全称量词命题还是存在量词命题:(1)凸多边形的外角和等于360°.(2)有些实数a,b能使|a-b|=|a|+|b|.解

(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”,是全称量词命题.(2)含有存在量词“有些”,故是存在量词命题.(3)含有全称量词“任意”,故是全称量词命题.探究点二全称量词命题与存在量词命题的真假判断【例2】

判断下列命题的真假.(1)∀x∈R,x2+1>.(2)∃α,β∈R,(α-β)2=(α+β)2.解

真命题,因为x2≥0,所以x2+1≥1,x2+1>恒成立.解

真命题,例如α=0,β=1,符合题意.(4)每一条线段的长度都能用正有理数表示.(5)存在一个实数x,使等式x2+x+8=0成立.(3)存在一个数既是偶数又是负数.解

真命题,如数-2,-4等,就既是偶数又是负数.解

假命题,如边长为1的正方形的对角线长为

,它的长度就不是有理数.解

假命题,因为该方程的判别式Δ=-31<0,故无实数解.规律方法

判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法(1)要判断一个全称量词命题为真,必须给定集合中的每一个元素x,使命题p(x)为真;但要判断一个全称量词命题为假时,只要在给定的集合中找到一个元素x0,使命题p(x0)为假.(2)要判断一个存在量词命题为真,只要在给定的集合中找到一个元素x0,使命题p(x0)为真;要判断一个存在量词命题为假,必须对给定集合中的每一个元素x,使命题p(x)为假.变式训练2指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断真假.(1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应平面上的一点.解

全称量词命题.在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的,所以该命题是真命题.(2)存在一个实数,它的绝对值不是正数.解

存在量词命题.存在一个实数零,它的绝对值不是正数,所以该命题是真命题.(3)∃x,y∈Z,使3x-4y=20.解

存在量词命题.取x=0,y=-5时,3×0-4×(-5)=20成立,所以该命题是真命题.(4)任何数的0次方都等于1.解

全称量词命题,0的0次方无意义,所以该命题是假命题.探究点三全称量词命题、存在量词命题的应用【例3】

(1)已知命题p:∃x∈

,2x+2-a=0为真命题,求实数a的取值范围.(2)存在x∈R,使x2+x+a=0成立,求实数a的取值范围.解

因为存在x∈R,使x2+x+a=0成立,所以方程x2+x+a=0存在实数根,(3)已知集合A={x|x>2},B={x|x>a},若∀x∈A,都有x∈B成立,求实数a的取值范围.解

因为∀x∈A,都有x∈B成立,所以A⊆B,则a≤2,即实数a的取值范围是(-∞,2].变式探究

2x+2-a>0”,其他条件不变,求实数a的取值范围.规律方法

求解含有量词命题中参数的取值范围的策略已知含量词的命题真假求参数的取值范围,实质上是对命题意义的考查.解决此类问题,一定要辨清参数,恰当选取主元,合理确定解题思路.解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识,利用集合、方程、不等式等知识求解参数的取值范围,解题过程中要注意变量取值范围的限制.学以致用·随堂检测促达标12341.(多选题)下列命题是全称量词命题的是(

)A.中国公民都有受教育的权利B.每一个中学生都要接受爱国主义教育C.有人既能写小说,也能搞发明创造D.任何一个数除0,都等于0ABD解析

A,B,D都是全称量词命题.12342.下列命题既是真命题又是存在量词命题的是(

)A.存在一个α∈R,使α2=αB.存在实数x,使|x|=-1C.对一切α∈R,α=|α|A解析

C,D是全称量词命题,B是假命题.12343.命题“有些负数x满足不等式(1+x)(1-9x)>0”用“∃”或“∀”可表述为

.∃x<0,(1+x)(1-9x)>0解析

由题意可知该命