2024年中考数学压轴题专项训练：二次函数的图象与性质大题（五大题型）学生版

二次看裁蟠倒也鸟哪质火疆Cl火盘JP

压轴题密押

通用的解题思路：

题型一.二次函数的性廉

二次函数y=ax2-\-bx+c（a#0）的顶点坐标是（-g，——），对称轴直线x=--^-，二次函数y=ax2-\-bx

2a4Q2a

+C（Qw0）的图象具有如下性质：

①当a>0时，抛物线y—ax2+bx+C（QWO）的开口向上，时，g随i的增大而减小；x时，y

2a2a

随力的增大而增大；力=-击时，g取得最小值当券,即顶点是抛物线的最低点.

②当aV0时，抛物线y—ax2+bx+C（QWO）的开口向下，x<—^—时，g随力的增大而增大；时，y

2a2a

随，的增大而减小；，="时，y取得最大值4aL,即顶点是抛物线的最高点.

2a4a

③抛物线y=ax2+bx+c（a半0）的图象可由抛物线y=ax2的图象向右或向左平移|个单位，再向上或

2a

向下平移|4力-七个单位得到的.

4a

题型二.二次函数图象与系数的关系

二次函数夕=ax~+bx+c（a丰0）

①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.

当a>0时,抛物线向上开口；当a<0时,抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，㈤越大开口就越小.

②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.

当a与b同号时（即ab>0）,对称轴在g轴左侧；当a与b异号时（即abV0）,对称轴在y轴右侧.（简称:左同

右异）

③.常数项c决定抛物线与?/轴交点.抛物线与"轴交于（0,c）.

④抛物线与c轴交点个数.

△="―4ac>0时，抛物线与£轴有2个交点；△=b2-4ac=0时,抛物线与立轴有1个交点；△=b2-4ac<0

时，抛物线与，轴没有交点.

题型三.待定系数法求二次函数解析式

⑴二次函数的解析式有三种常见形式：

①一般式：y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，aWO）；②顶点式：夕=a（x—h）2+k（a,h,k是常数，a片。），

其中仇，％）为顶点坐标；③交点式：y=a（x—（x—X2）（a,b,c是常数，a#0）；

（2）用待定系数法求二次函数的解析式.

在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值

求解.一般地，当已知抛物线上三点时,常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物

线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与，轴有两个交点时，可选择设其解析式

为交点式来求解.

题型四.抛物线与多轴的交点•M

2

求二次函数Vnaa？+bz+c（o,b,c是常数，aW0）与2轴的交点坐标，令沙=0,即ax+bx+c=0,解关于c的

一元二次方程即可求得交点横坐标.

（1）二次函数夕=aar+bx+c（a,b,c是常数，a片0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系.

△=b2-4ac决定抛物线与刀轴的交点个数.

△=62-4ac＞0时,抛物线与土轴有2个交点；

△=b2-4ac=0时，抛物线与土轴有1个交点；

△=b2-4acV0时，抛物线与t轴没有交点.

（2）二次函数的交点式：g=aQ—的）（①一3）（a，b，c是常数，a20）,可直接得到抛物线与，轴的交点坐标

（如o）,（，2,o）.

典型五.二次函数综合JS

（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题

解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号,然后判断新的函数关系式中系数的符号,

再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项.

（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用

将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起.这类试题一般难度较大.解这类问题关键是善于将函数问

题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条

件.

（3）二次函数在实际生活中的应用题

从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型.关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二

次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义.

压轴题预测

题型一.二次函数的性质（共3小题）

题目（2024•石景山区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，4判，y）,B（x2,纺）是抛物线夕=—

丰0）上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x=h.

（1）若抛物线经过点（2,0）,求八的值；

（2）若对于2尸/i—1,x2=2九,都有%＞统,求九的取值范围；

（3）若对于h—2《电《拉+1,—1,存在仍〈纺，直接写出力的取值范围.

题目叵〕（2024-鹿城区校级一模）已知二次函数y=-^+2tx+3.

（1）若它的图象经过点（1,3）,求该函数的对称轴.

（2）若0WcW4时，沙的最小值为1,求出t的值.

（3）如果—2,n）,C（m,n）两点都在这个二次函数的图象上，直线y=2mx+a与该二次函数交于M

（0，协），NM，纺）两点，则g+g是否为定值？若是，请求出该定值;若不是，请说明理由.

题目包（2024.拱墅区一模）在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-（a+2），+2经过点A（-2,t）,

⑴若力=0,

①求此抛物线的对称轴；

②当时，直接写出力的取值范围；

⑵若力＜0,点C（n,q）在该抛物线上，7n＜九且5m+5n＜—13,请比较p,q的大小，并说明理由.

题型二.二次函数图象与系数的关系（共8小题）

^■4J（2023-南京）已知二次函数y=ax2-2ax+3（a为常数,a#0）.

（1）若a<0,求证:该函数的图象与,轴有两个公共点.

（2）若a=—1,求证：当一IV力V0时，g>0.

（3）若该函数的图象与力轴有两个公共点（g,0）,（劣2,0），且一1VgVc2V4,则a的取值范围是—a>3

或a<—1__.

题目可（2024-南京模拟）在平面直角坐标系xOy中，点（1,%）,（3,纺）在抛物线+上.

（1）求抛物线的顶点（小,0）;

（2）若依V例,求馆的取值范围；

（3）若点（&,%）在抛物线上,若存在—1V&V。,使幼<为〈统成立，求Tn的取值范围.

题目⑹（2024-北京一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点（—2a,3）.

（1）求该抛物线的对称轴（用含有a的代数式表示）；

（2）点M（t—2,m）,N（t+2,n）,为该抛物线上的三个点,若存在实数t，使得m>n>p,求a的取

值范围.

题目可（2024•张家口一模）某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式沙=/

+bx+c,通过输入不同的b,c的值,在几何画板的展示区内得到对应的图象.

（1）若输入6=2,c=—3,得到如图①所示的图象，求顶点。的坐标及抛物线与立轴的交点A,B的坐标；

（2）已知点P（—1,10）,Q（4,0）.

①若输入6,c的值后，得到如图②的图象恰好经过P,Q两点，求出b,c的值；

②淇淇输入b,嘉嘉输入c=—1,若得到二次函数的图象与线段PQ有公共点,求淇淇输入b的取值范围.

题目回（2024-浙江模拟）设二次函数y=ax2-4：ax+c（a,c均为常数，a片0）,已知函数值沙和自变量劣的

部分对应取值如下表所示：

X-i025

ym3Pn

（1）判断小，n的大小关系，并说明理由；

⑵若3m—2九=8,求p的值；

（3）若在TH,九，p这三个数中，只有一个数是负数，求a的取值范围.

题目可（2024•北京模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线片力斗（2m—6）x+1经过点（―（m,^2

）,（m+2,?/3）-

（1）若y1=7/3，求抛物线的对称轴；

（2）若仍<V3V阴，求山的取值范围.

2

题目10j（2024*浙江模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax-\-bx+C（Q,b,c为常数，且a#0）经过

4—2,—4）和氏3,1）两点.

（1）求b和C的值（用含a的代数式表示）；

（2）若该抛物线开口向下,且经过C（2m-3,n）,L>（7-2m,n）两点，当k—3V，V%+3时，9随re的增大

而减小，求％的取值范围；

（3）已知点M（-6,5）,N⑵5），若该抛物线与线段上W恰有一个公共点时,结合函数图象，求a的取值范围.

题目①（2024-海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，点（0,3）,（6,%）在抛物线y=ax2+bx+c（a丰

0）上.

（1）当"=3时,求抛物线的对称轴；

（2）若抛物线y=ax2+bx+c（aA0）经过点（―1,—1）,当自变量x的值满足—时，"随劣的增大而

增大，求a的取值范围；

（3）当a>0时，点（m—4,纺），（m,%）在抛物线沙=+c上.若切V%Vc,请直接写出m的取值范

围.

题型三.待定系数法求二次函数解析式（共3小题）

「题目E（2024-保山一模）如图，抛物线y=ax2+bx+c过A（-2,0）,B（3,0）,C（O,6）三点；点P是第一象限

内抛物线上的动点，点P的横坐标是小，且］VMV3.

（1）试求抛物线的表达式；

（2）过点P作PNJ_c轴并交BC于点N,作，沙轴并交抛物线的对称轴于点、M,若PM=皆PN,求m

［题目QJ］（2024«东营区校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-2x+8与抛物线y^-x2+bx

+c交于A,B两点，点B在2轴上，点A在g轴上.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点。是直线AB上方抛物线上一点，过点。分别作c轴，沙轴的平行线,交直线AB于点当DE

=融以时，求点。的坐标.

O

:题目叵｝（2024•南关区校级二模）已知二次函数v=/+fcc+c的图象经过点A（0,—3）,B（3,0）.点P在抛

物线y—x2+bx+c上，其横坐标为m.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当一2<①V3时，求:y的取值范围；

（3）当抛物线y=x2+bx+c上P、力两点之间部分的最大值与最小值的差为，时，求m的值；

（4）点”在抛物线y=x2+bx+c上,其横坐标为1—m.过点P作PQ，夕轴于点Q,过点河作£

轴于点N,分别连结PM,PN,QM,当APQM与APNM"的面积相等时，直接写出力的值.

题型四.抛物线与多轴的交点（共14小题）

［题目13（2024•秦淮区校级模拟）已知函数9=馆/—（小一2）2—2（机为常数）.

（1）求证:不论小为何值，该函数的图象与土轴总有公共点.

（2）不论M为何值，该函数的图象经过的定点坐标是_（120）（CL-2）_.

（3）在—24cW2的范围中，?/的最大值是2，直接写出小的值.

题目仄（2024-柳州模拂如图,在平面直角坐标系中，二次函数9=x2+bx+c的图象与立轴交于4B两

点、，B点、的坐标为（3,0）,与y轴交于点C（0,-3）,点D为抛物线的顶点.

（1）求这个二次函数的解析式；

题目17）（2024"安阳模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线g=aa?+brr+c与抛物线？/=—3?+工—

1的形状相同，且与多轴交于点（—1,0）和（4,0）.直线y=+2分别与rc轴、夕轴交于点A,_B,交抛物线沙

=ax2+bx+c于点。，。（点。在点D的左侧）.

（1）求抛物线的解析式；

(2)点P是直线y=kx+2上方抛物线上的任意一点，当％=2时，求^PCD面积的最大值；

(3)若抛物线y=ax2+bx+c与线段AB有公共点，结合函数图象请直接写出k的取值范围.

22

题目18](2024"西湖区校级模拟)已知yi=ax+(a+b)x+b和y2—bx+(a+b)x+a(aRb且abA0)是同

一直角坐标系中的两条抛物线.

⑴当a=1,6=—3时，求抛物线%=ax2+(a+b)x+b的顶点坐标：

(2)判断这两条抛物线与，轴的交点的总个数，并说明理由；

(3)如果对于抛物线明=ax2+(a+b)x+b上的任意一点P(m,n)均有n<2a+2b.当y60时，求自变量

x的取值范围.

题目回(2024-三元区一模)抛物线y=ax2+bx+3与多轴相交于点4(1,0),5(3,0),与y轴正半轴相交于

点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点”(0，统)，N(g，y2)是抛物线上不同的两点.

①当0，22满足什么数量关系时，m=为；

②若Xi+x2-2(X1—X2)，求效—纺的最小值.

题目叵(2024-黄山一模)已知抛物线y=ax2+bx+c(aW0)与c轴交于A(-l,0),B(4,0)两点,经过点D(

—2,—3),与沙轴交于点C.

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)若点M是X轴上位于点A与点B之间的一个动点(含点4与点B),过点M作立轴的垂线分别交抛物线

和直线BC于点E、点F.求线段EF的最大值.

题目叵](2024«碑林区校级模拟)在平面直角坐标系中，二次函数y=-^-x2+bx+c的图象与工轴交于A、

B两点，4(—2,0),与y轴交于点。(0,2),点P是抛物线上y轴左侧的一个动点.

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)若点P关于直线BC的对称点P恰好落在y轴上，求点P的坐标.

^^y22j(2024•江西模拟)已知关于x的二次函数9=/—(k+4)a?+3fc.

⑴求证:无论k为何值，该函数的图象与①轴总有两个交点；

（2）若二次函数的顶点P的坐标为,求沙与，之间的函数关系及y的最大值.

题目可（2024-峰峰矿区校级二模）如图，已知抛物线L-.y=-x（x—3）+n与，轴交于4B两点（点A在

点B的左侧），与沙轴交于点M.

（1）若该抛物线过点（1,6）；

①求该抛物线的表达式，并求出此时4B两点的坐标；

②将该抛物线进行平移,平移后的抛物线对应的函数为y=—-3）+6,A点的对应点为求平移后顶

点坐标和线段A4的长；

（2）点朋■关于L-.y=—-3）+n的对称轴的对称点的坐标为—⑶九）_（用含九的代数式表示）.

建目丸（2024-安徽模拟）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点,抛物线y=ax2+bx-3与。轴分别交于

点4—1,0）,式3,0）,与9轴交于点C.

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图，点O、F分别是抛物线上第四象限、第二象限上的点,其中点F的横坐标为t,连接BF交y轴于点

连接设ACDE的面积为s,且4s+9t=0,求点。的坐标.

题目亘（2024•宜昌模拟）如图，函数y=52+6的图象与，轴交于点（点A在点B的左边），与沙轴

交于点C.

（1）已知一次函数的图象过点B,。，求这个一次函数的解析式；

（2）当0WcW3时，对于立的每一个值，函数9=—2c+帅为常数）的值大于函数y=x2-5x+6的值,直接

写出b的取值范围.

7

y

c

\ye

Ox

题目荃（2024-昆山市模拟）如图，已知抛物线L:y=ax2+bx+4与c轴交于A（-l,0）,B（4,0）两点，与g轴

交于点C.

（1）求抛物线乙的表达式；

（2）若抛物线L关于原点对称的抛物线为L'，求抛物线L'的表达式；

（3）在抛物线Z/上是否存在一点P,使得S4ABe=2S“BP,若存在，求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

题目红（2024.安徽模拟）已知抛物线y=—/+法+c（b,0是常数）与①轴交于点A（-3,0）和点5（1,0）,与

y轴交于点C,连接力。，点P是AC上方抛物线上的一点.

⑴求b,c的值；

（2）如图1,点Q是第二象限抛物线上的一点,且横坐标比点P的横坐标大1,分别过点P和点Q作PD〃夕

轴，EQ〃沙轴，PD与QE分别与交于点。,E,连接CQ,4P,求S&APD+S^CEQ的值；

（3）如图2,连接PB与AO交于点M,连接AP,BC,当S&APM-S^BCM^2时,求点/■的坐标.

图1图2

（2024-西安校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线Ci.y—ax2—x+c（a力0）与多轴交于A（

—l,0）,B（3,0）两点，交"轴于点C.

（1）求抛物线G的解析式；

（2）设抛物线G关于坐标原点对称的抛物线为G，点4B的对应点分别为A,B.抛物线。2的顶点为七，

则在立轴下方的抛物线G上是否存在点F,使得AABF的面积等于△B'BE的面积.若存在，求出F点的

8

坐标;若不存在,请说明理由.

题型五.二次函数综合题（共3小题）

题目②］（2024«堇洲区模拟）新定义:我们把抛物线y=ax^+bx+c（其中ab丰0）与抛物线y=bx2+ax+c

称为“关联抛物线”.例如:抛物线y=2X2+3X+1的“关联抛物线”为：y=^+2x+1.已知抛物线Cry

2

—4ax+ax+4a—3（a半0）的“关联抛物线”为