2024-2025学年新教材高中数学第五章三角函数5.1任意角和蝗制一课一练含解析新人教A版必修第一册

PAGEPAGE1第五章三角函数5.1随意角和弧度制第1课时随意角考点1角的概念的理解问题1.(2024·人大附中单元测评)把一条射线围着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是()。A.120° B.-120° C.240° D.-240°答案：D解析：按顺时针方向旋转形成的角是负角,解除A,C;又由题意知旋转的角度是240°,解除B。故选D。2.(2024·黑龙江哈尔滨师大附中高一月考)期末考试,数学科从上午8时30分起先,考了2小时,从考试起先到考试结束分针转过了()。A.360° B.720° C.-360° D.-720°答案：D解析：因为分针转一圈(即1小时)是-360°,所以从考试起先到考试结束分针转过了-720°。故选D。3.(2024·江西临川一中单元测评)设集合A={θ|θ为锐角},B={θ|θ为小于90°的角},C={θ|θ为第一象限角},D={θ|θ为小于90°的正角},则下列等式中成立的是()。A.A=B B.B=CC.A=C D.A=D答案：D解析：集合A中锐角θ满意0°<θ<90°;而集合B中θ<90°,可以为负角;集合C中θ满意k·360°<θ<k·360°+90°,k∈Z;集合D中θ满意0°<θ<90°。故A=D。4.(2024·湖北巴东高一月考)下列说法正确的是()。A.第一象限的角肯定是正角B.三角形的内角不是锐角就是钝角C.锐角小于90°D.终边相同的角相等答案：C解析：-355°是第一象限的角,但不是正角,所以A错误;三角形的内角可能是90°,所以B错误;锐角小于90°,C正确;45°与405°角的终边相同,但不相等,所以D错误。故选C。考点2终边相同的角的公式的应用问题5.(2024·北京海淀人大附中高一上期末)设集合M={α|α=45°+k·90°,k∈Z},N={α|α=90°+k·45°,k∈Z},则集合M与N的关系是()。A.M∩N=⌀ B.MNC.NM D.M=N答案：C解析：对于集合M,α=45°+k·90°=45°+2k·45°=(2k+1)·45°,即M={α|α=(2k+1)·45°,k∈Z};对于集合N,α=90°+k·45°=2×45°+k·45°=(k+2)45°,即N={α|α=(k+2)·45°,k∈Z}={α|α=n·45°,n∈Z}。∵2k+1表示全部的奇数,n表示全部的整数,∴NM,故选C。6.(2024·福建闽侯第四中学高一期末)下面各组角中,终边相同的是()。A.390°,690° B.-330°,750°C.480°,-420° D.3000°,-840°答案：B解析：∵-330°=-360°+30°,750°=720°+30°,∴-330°角与750°角的终边相同。7.(2024·武汉高一调考)若α=n·360°+θ,β=m·360°-θ,m,n∈Z,则α,β终边的位置关系是()。A.重合 B.关于原点对称C.关于x轴对称 D.关于y轴对称答案：C解析：由α=n·360°+θ,n∈Z可知α与θ是终边相同的角,由β=m·360°-θ,m∈Z可知β与-θ是终边相同的角。因为θ与-θ两角终边关于x轴对称,所以α与β两角终边关于x轴对称。8.(2024·长沙一中单元检测)与2024°角终边相同的最小正角是角。

图5-1-1-1答案：217°解析：因为与2024°角终边相同的角是2024°+k·360°(k∈Z),所以当k=-5时,与2024°角终边相同的最小正角是217°角。9.(2024·南京二中单元测评)已知角α的终边在图5-1-1-1中阴影所表示的范围内(不包括边界),那么α∈。

答案：{α|n·180°+30°<α<n·180°+150°,n∈Z}解析：在0°~360°范围内,终边落在阴影内的角α满意30°<α<150°或210°<α<330°,所以全部满意题意的角α的集合为{α|k·360°+30°<α<k·360°+150°,k∈Z}∪{α|k·360°+210°<α<k·360°+330°,k∈Z}={α|2k·180°+30°<α<2k·180°+150°,k∈Z}∪{α|(2k+1)180°+30°<α<(2k+1)·180°+150°,k∈Z}={α|n·180°+30°<α<n·180°+150°,n∈Z}。考点3角所在的象限的判定问题10.(2024·河南郑州高一上期末)若α=k·180°+45°,k∈Z,则α终边所在的象限是()。A.第一、三象限 B.第一、二象限C.其次、四象限 D.第三、四象限答案：A解析：由题意知α=k·180°+45°,k∈Z。当k=2n+1,n∈Z时,α=2n·180°+180°+45°=n·360°+225°,n∈Z,其终边在第三象限;当k=2n,n∈Z时,α=2n·180°+45°=n·360°+45°,n∈Z,其终边在第一象限。综上,α终边所在的象限是第一或第三象限。11.(2024·江西高安中学高一上期末)给出下列四个结论:①-15°角是第四象限角;②185°角是第三象限角;③475°角是其次象限角;④-350°角是第一象限角。其中正确的个数为()。A.1 B.2 C.3 D.4答案：D解析：①-15°角是第四象限角;②因为180°<185°<270°,所以185°角是第三象限角;③因为475°=360°+115°,90°<115°<180°,所以475°角是其次象限角;④因为-350°=-360°+10°,所以-350°角是第一象限角。所以四个结论都是正确的。12.(2024·四川资阳高一期末)若角α的终边在y轴的负半轴上,则角α-150°的终边在()。A.第一象限 B.其次象限C.y轴的正半轴上 D.x轴的负半轴上答案：B解析：因为角α的终边在y轴的负半轴上,所以α=k·360°+270°(k∈Z),所以角α-150°=k·360°+270°-150°=k·360°+120°(k∈Z),所以α-150°的终边在其次象限。故选B。13.(2024·南昌一中模块训练)若角α是第三象限角,则角α2的终边所在的区域是如图5-1-1-2所示的区域(不含边界)()图5-1-1-2A.③⑦ B.④⑧C.②⑤⑧ D.①③⑤⑦答案：A解析：∵α是第三象限角,∴k·360°+180°<α<k·360°+270°(k∈Z),∴k·180°+90°<α2<k·180°+135°(k∈Z)当k=2n(n∈Z)时,n·360°+90°<α2<n·360°+135°,n∈Z,其终边在区域③内;当k=2n+1(n∈Z)时,n·360°+270°<α2<n·360°+315°,n∈Z,其终边在区域∴角α2的终边所在的区域为③⑦14.(2024·太原模块统考)已知角2α的终边在x轴的上方,那么角α是()。A.第一象限角 B.第一或其次象限角C.第一或第三象限角 D.第一或第四象限角答案：C解析：因为角2α的终边在x轴的上方,所以k·360°<2α<k·360°+180°,k∈Z,则有k·180°<α<k·180°+90°,k∈Z。故当k=2n,n∈Z时,n·360°<α<n·360°+90°,n∈Z,α为第一象限角;当k=2n+1,n∈Z时,n·360°+180°<α<n·360°+270°,n∈Z,α为第三象限角。故选C。考点4随意角的综合问题15.(2024·山东师大附中高一期末)下列角的终边位于其次象限的是()。A.420° B.860° C.1060° D.1260°答案：B解析：420°=360°+60°,终边位于第一象限;860°=2×360°+140°,终边位于其次象限;1060°=2×360°+340°,终边位于第四象限;1260°=3×360°+180°,终边位于x轴非正半轴。故选B。16.(2024·青岛高一调考)与-420°角终边相同的角是()。A.-120° B.420° C.660° D.280°答案：C解析：与-420°角终边相同的角为n·360°-420°(n∈Z),当n=3时,n·360°-420°=660°。故选C。17.(2024·西安高一统考)已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},那么A,B,C的关系是()。A.B=A∩C B.B∪C=CC.AC D.A=B=C答案：B解析：A={第一象限角}={x|k·360°<x<k·360°+90°,k∈Z},B={锐角}={x|0°<x<90°},C={小于90°的角}={x|x<90°},由此可得:A错误,B正确,C,D错误。故选B。18.(2024·东北三校高一联考)与-463°角终边相同的角可表示为()。A.k·360°+463°(k∈Z) B.k·360°+103°(k∈Z)C.k·360°+257°(k∈Z) D.k·360°-257°(k∈Z)答案：C解析：因为-463°=257°+(-2)×360°,所以与-463°角终边相同的角可表示为k·360°+257°(k∈Z)。故选C。19.(2024·南昌高一模块统考)假如角α的终边在第三象限,那么α3的终边肯定不在()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限答案：B解析：∵α为第三象限角,∴k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z,∴k·120°+60°<α3<k·120°+90°,k∈Z分别取k=0,1,2,3,…,可得α3的终边分别在第一、第三、第四、第一、…象限,均不过其次象限取k=-1,-2,-3,…时,α3的终边分别在第四、第三、第一、…象限,均不过其次象限故α3的终边肯定不在其次象限,故选B20.(2024·南京模块统考)已知角α,β的终边关于直线x+y=0对称,且α=-60°,则β=。

答案：-30°+k·360°,k∈Z解析：-60°角的终边关于直线y=-x对称的射线的对应角为-45°+15°=-30°,∴β=-30°+k·360°,k∈Z。21.(2024·西北大附中月考)写出终边在直线y=-3x上的角的集合。答案：解:终边在射线y=-3x(x≤0)上的角的集合是S1={α|α=120°+k·360°,k∈Z};终边在射线y=-3x(x≥0)上的角的集合是S2={α|α=300°+k·360°,k∈Z}。因此,终边在直线y=-3x上的角的集合是S=S1∪S2={α|α=120°+k·360°,k∈Z}∪{α|α=300°+k·360°,k∈Z}={α|α=120°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=120°+(2k+1)·180°,k∈Z}={α|α=120°+n·180°,n∈Z}。故终边在直线y=-3x上的角的集合是S={α|α=120°+n·180°,n∈Z}。【点拨】求终边在给定直线上的角的集合,常用分类探讨的思想,即对x分状况探讨,最终再进行合并。22.(2024·哈尔滨三中周练)在与10030°角终边相同的角中,求满意下列条件的角:(1)最大的负角;答案：由-360°<k·360°+10030°<0°得-10390°<k·360°<-10030°,解得k=-28,故所求的最大负角为β=10030°-28×360°=-50°。(2)最小的正角;答案：由0°<k·360°+10030°<360°得-10030°<k·360°<-9670°,解得k=-27,故所求的最小正角为β=10030°-27×360°=310°。(3)在360°~720°范围内的角。答案：由360°<k·360°+10030°<720°,k∈Z,解得k=-26。故在360°~720°范围内的角为β=-26×360°+10030°=670°。23.(2024·武汉二中月考)已知α是其次象限角,试确定2α,α2答案：解:因为α是其次象限角,所以k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z,所以2k·360°+180°<2α<2k·360°+360°,k∈Z,所以2α的终边在第三或第四象限或终边在y轴的非正半轴上。因为k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z,所以k·180°+45°<α2<k·180°+90°,k∈Z当k=2n,n∈Z时,n·360°+45°<α2<n·360°+90°,即α2当k=2n+1,n∈Z时,n·360°+225°<α2<n·360°+270°,即α所以α224.(2024·衡水中学单元检测)如图5-1-1-3所示,写出终边落在阴影部分的角的集合。图5-1-1-3答案：解:设终边落在阴影部分的角为α,角α的集合由两部分组成。①{α|k·360°+30°≤α<k·360°+105°,k∈Z}。②{α|k·360°+210°≤α<k·360°+285°,k∈Z}。∴角α的集合应当是集合①与②的并集,即S={α|k·360°+30°≤α<k·360°+105°,k∈Z}∪{α|k·360°+210°≤α<k·360°+285°,k∈Z}={α|2k·180°+30°≤α<2k·180°+105°,k∈Z}∪{α|(2k+1)·180°+30°≤α<(2k+1)180°+105°,k∈Z}={α|n·180°+30°≤α<n·180°+105°,n∈Z}。25.(2024·西南高校附中单元检测,★★★)如图5-1-1-4,点A在半径为1且圆心在原点的圆上,且∠AOx=45°,点P从点A处动身,按逆时针方向匀速沿单位圆旋转,已知点P在1s内转过的角度为θ(0°<θ<180°),经过2s第一次到达第三象限,经过14s又回到动身点A,求θ,并推断其终边所在的象限。图5-1-1-4答案：解:由题意,得14θ+45°=n·360°+45°(n∈Z),所以θ=n·180°7(n∈Z)。又因为180°<2θ+45°<270°,即67.5°<θ<112.5°,所以n=3或n=4。所以θ=540°7或θ=720°7。易知0°<54026.(2024·深圳中学单元测评)如图5-1-1-5,一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动,若两只蚂蚁同时从点A(1,0)按逆时针匀速爬动,红蚂蚁每秒爬过α角,黑蚂蚁每秒爬过β角(其中,0°<α<β<180°),假如两只蚂蚁都在第14秒回到A点,并且在第2秒时均位于其次象限,求角α,β的度数。图5-1-1-5答案：解:依据题意可知14α,14β均为360°的整数倍,故可设14α=m·360°,m∈Z,14β=n·360°,n∈Z。由于两只蚂蚁在第2秒时均位于其次象限,又由0°<α<β<180°,知0°<2α<2β<360°,进而知90°<2α<2β<180°,即45°<α<β<90°,∴45°<α=m7·180°<90°,45°<β=n7∴74<m<72,74∵α<β,∴m<n,又m,n∈Z,∴m=2,n=3,∴α=3607°,β=5407第2课时弧度制考点1弧度制概念的理解问题1.(2024·银川一中单元测评)下列说法正确的是()。A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大C.全部圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等D.用弧度表示的角都是正角答案：A解析：对于A,依据弧度的定义知,“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”,故A正确;对于B,大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等,故B错误;对于C,不在同圆或等圆中,1弧度的圆心角所对的弧长是不等的,故C错误;对于D,用弧度表示的角也可以不是正角,故D错误。2.(2024·南昌二中月考)下列说法中,错误的是()。A.半圆所对的圆心角是πradB.周角的大小等于2πC.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度答案：D解析：依据弧度的定义及角度与弧度的换算知A,B,C均正确,D错误。3.(2024·重庆第一中学高一上期末)一条弦长等于半径,则此弦所对圆心角的弧度数为()。A.π6 B.π3 C.12答案：B解析：因为弦长等于半径,所以弦和两半径构成等边三角形,所以弦所对圆心角为60°,即π3rad4.(2024·安徽滁州高一上期末)时钟的分针在1时到3时20分这段时间里转过的弧度为()。A.143π B.-14C.718π D.-7答案：B解析：明显分针在1时到3时20分这段时间里,顺时针转过了73周,转过的弧度为73×(-2π)=-145.(2024·天津红桥区高一上期末)在半径为12mm的圆上,长度为48mm的弧所对的圆心角的弧度数为。

答案：4解析：由题意可得:L=48mm,R=12mm。设圆心角为θ(0<θ<2π)。∵L=Rθ,∴θ=LR=48126.(2024·东北师大附中单元测评)圆的半径变为原来的3倍,而所对弧长不变,则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的。

答案：1解析：设原来圆的半径为r,弧长为l,弧所对的圆心角为α(0<α<2π),则现在的圆的半径为3r,弧长为l,设弧所对的圆心角为β(0<β<2π),于是l=αr=β·3r,∴β=13α考点2弧度与角度的互化问题7.(2024·合肥二中月考)下列转化结果错误的是()。A.67°30'化成弧度是3B.-10π3C.-150°化成弧度是-7D.π12化成角度是答案：C解析：对于A,67°30'=67.5×π180=3π8,正确;对于B,-10π3=-10π3×180π°=-600°,正确;对于C,-150°=-150×π180=-5π6,8.(2024·广西贺州高一上期末)角29π12的终边所在的象限是A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限答案：A解析：因为29π12=2π+512π,角5π129.(2024·石家庄二中单元检测)已知两角和为1弧度,且两角差为1°,则这两个角的弧度数分别是。

答案：12+π360,1解析：设两个角的弧度数分别为x,y。因为1°=π180rad,所以x+y=1,x-y=π18010.(2024·青岛模块测评)已知α=15°,β=π10,γ=1,θ=105°,φ=7π12,则α,β,γ,θ,φ答案：α<β<γ<θ=φ 解析：方法一(化为弧度):α=15°=15×π180=π12,θ=105°=105×π180=7π12。明显π12<π方法二(化为角度):β=π10=π10×180π°=18°,γ=1≈57.30°,φ=7π12×180π°=105°考点3弧度制下终边相同的角的公式的应用问题11.(2024·山西大同模块统考)把-114π表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式,使|θ|最小的θ值是()A.-3π4 B.C.π4 D.答案：A解析：∵-11π4=-2π-3π4,∴-11π4与-3π12.(2024·河南新乡高一上期末)若角α与角x+π4有相同的终边,角β与角x-π4有相同的终边,则α与β间的关系为A.α+β=0 B.α-β=0C.α+β=2kπ(k∈Z) D.α-β=2kπ+π2(k∈答案：D解析：∵α=x+π4+2k1π(k1∈Z),β=x-π4+2k2π(k2∈Z),∴α-β=π2+2(k1-k2)π(k1∈Z,k2∵k1∈Z,k2∈Z,∴k1-k2∈Z。∴α-β=π2+2kπ(k∈Z)13.(2024·黄冈高一调考)若角α的终边落在如图5-1-2-1所示的阴影部分内,则角α的取值范围是()。图5-1-2-1A.π6,π3B.2π3,答案：D解析：阴影部分的两条边界分别是角2π3和角7π6的终边,所以α的取值范围是214.(2024·四川绵阳高一调研)若α3=2kπ+π3(k∈Z),则α2A.第一象限 B.第四象限C.x轴上 D.y轴上答案：D解析：∵α3=2kπ+π3(k∈Z),∴α=6kπ+π(k∈Z),∴α2=3kπ+π2(k∈Z)。当k为奇数时,α2的终边在y轴的非正半轴上;当k为偶数时,α2的终边在y轴的非负半轴上。综上,α215.(2024·江苏无锡模块统考)若角θ的终边与8π5角的终边相同,则在[0,2π)内终边与角θ4答案：2π5,9π10解析：∵θ=8π5+2kπ,k∈Z,∴θ4=2π5+kπ2,k∈Z。当k=0,1,2,3时,θ4=2π5,916.(2024·宁波高一调考)若角α的终边与π6角的终边关于直线y=x对称,且α∈(-4π,4π),则α=答案：-11π3,-5π3解析：由题意,角α与π3角的终边相同,则π3+2π=73π,π3-2π=-53π,考点4弧度制下的扇形面积公式的应用问题17.(2024·江苏连云港高二期末)若扇形的半径变为原来的2倍,弧长增加到原来的2倍,则()。A.扇形的面积不变B.扇形的圆心角不变C.扇形的面积增加到原来的2倍D.扇形的圆心角增加到原来的2倍答案：B解析：设原来的扇形的半径为r,弧长为l,圆心角为α,则改变后的扇形的半径为2r,弧长为2l,圆心角为β,l=αr,2l=2rβ,所以α=β。即扇形的圆心角不变。18.(2024·兰州一中月考)已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为()。A.2 B.4 C.6 D.8答案：C解析：设扇形所在圆的半径为R,则2=12×4×R2,∴R2=1,∴R=1。∴扇形的弧长为4×1=4,扇形的周长为2+4=6。故选C19.(2024·西安一中月考)扇形周长为6cm,面积为2cm2,则其圆心角的弧度数是()。A.1或5 B.1或2C.2或4 D.1或4答案：D解析：设扇形的半径为rcm,圆心角为α(0<α<2π),则2r+αr=620.(2024·湖北武汉调研)如图5-1-2-2,圆的半径为5,则圆内阴影部分的面积是()。图5-