函数性质的综合应用-2025年高考数学一轮复习（解析版）

第5课时函数性质的综合应用

［典例精研•核心考点］重难解惑•直击高考

考点一函数的奇偶性与单调性

［典例1］(1)(2024•浙江金华期中)已知/(x)是定义在R上的奇函数，且对任意

Xl,X2©R,当X1<X2时，都有/(X1)—/(X2)VX1—X2,则关于X的不等式/(好一1)

+/(-2x—2)<x2—2%—3的解集为()

A.(-3,1)

B.(-1,3)

C.(—8,-3)U(1,+8)

D.(―0°,—1)U(3,+°0)

(2)(多选)(2023•四省联考)已知/(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上

的奇函数，且/(x)，g(x)在(一8,0］上均单调递减，贝U()

A./(f(l))</(f(2))B./(g(l))</(g(2))

C.g(f(l))<g(f(2))D.g(g(l))<g(g(2))

(1)B(2)BD［(1)因为对任意X］,JQGR,当XI〈X2时，都有/(XI)-/(X2)〈XI—

X2,即/(Xl)—X1〈/(X2)—X2,

令g(x)=f(x)—x,则g(x)在R上单调递增，

因为/(x)是定义在R上的奇函数，

所以f(—2x—2)=—f(2x+2),

由f(x2—1)+/(—2x—2)<x2—2x—3得

fix1—l)-(x2-l)<-/(-2x-2)-(2x+2)

=/(2x+2)-(2x+2),即g(x2-l)<g(2x+2),

所以由g(x)的单调性得f—lV2x+2,

即X2—2X—3V0,即(X—3)(X+1)V0,

所以一1VXV3,即—2x—2)Vx2—2x—3的解集为(-1,3).故选

B.

(2)因为/(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且两函数在(一

8,0］上单调递减，所以/(X)在［0,+8)上单调递增，g(x)在［0,+8)上单调递

减,g(x)在R上单调递减，所以/(1)</(2),g(0)=0>g(l)>g(2),

所以/(g⑴)V/(gQ)),g(f(l))>g(f(2)),

g(g⑴)Vg32)),所以BD正确，C错误；

若，⑴|>，(2)[,则jW))>/(/'(2)),A错误.故选BD]

名师点评1.比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上

的两个或多个自变量转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小.

2.对于抽象函数不等式的求解，先将不等式变形为/(Xl)>f(X2)的形式，再结合

单调性，脱去变成常规不等式，转化为X1<X2(或X1>X2)求解.

[跟进训练]

1.(1)(2020•新高考I卷)若定义在R的奇函数/(x)在(一8,0)上单调递减，且

/(2)=0,则满足MXx—1)>0的x的取值范围是()

A.[-1,1]U[3,+8)B.[-3,-l]U[0,1]

C.[-1,0]U[l,+8)D.[-1,0]U[l,3]

(2)(多选)定义在R上的奇函数/(x)为减函数，偶函数g(x)在区间[0,+8)上的图

象与/(x)的图象重合，设a>b>0,则下列不等式中成立的是()

A.f(b)~f(-a)<g(a)~g(~b)

B.f(b)~f(-a)>g(a)~g(~b)

C.f(a)+f(-b)<g(b)-g(-a)

D./(a)+/(-b)>g(b)-g(-a)

(1)D(2)AC[⑴因为函数/(x)为定义在R上的奇函数，则/(0)=0.

又/(x)在(一8,0)上单调递减，且/(2)=0,

画出函数/(x)的大致图象如图①所示，

则函数/(X—1)的大致图象如图②所示.

当xWO时，要满足3(x—1)20,

则/(x—1)WO,得一IWXWO.

当x>0时，栗满足1)三0,则/(x—1)三0,得1WXW3.

故满足W(x-l)》0的x的取值范围是Ll，O]U[1,3].故选D.

(2)函数/(x)为R上的奇函数，且为单调递减函数，

偶函数g(x)在区间[0,+8)上的图象与/(x)的图象重合，

由a>6>0,^/(a)<f(6)<0,f(a)=g(a),f(b)=g(b).

对于A,a)<g(a)—g(—A)=rS)+/(a)—g(a)+gS)="S)<0(因为/(«)

=g(a)在a>0上成立)，所以A正确；

对于B,/3)-/(-a)>g(a)-g(—A)可S)+/(a)-g(a)+g(b)="S)>0,这与/

S)<0矛盾，所以B错误；

对于C,7(a)+/(-b)<g(b)-g{—d)^f(a)~f(b)-g(b)+g(a)=2[f(a)~f(&)]<0,

这与符合，所以c正确；

对于D,/(a)+/(-6)>g@)—g(—a)可(a)—/(b)—gS)+g(a)=2[aa)—/3)]>0,

这与/(a)</S)矛盾，所以D错误.]

□考点二函数的奇偶性与周期性

[典例2](1)(2021•新高考H卷)已知函数/(x)的定义域为R,且/(x+2)是偶函

数，/(2x+l)是奇函数，则()

A./(-|)=0B./(-1)=0

C./(2)=0D./(4)=0

(2)若定义在R上的偶函数/(x)满足/(2—x)=—/(x),且当1WXW2时，/(x)=x

—1，则/©等于()

A.-B.-

22

C.-D.—工

22

⑴B(2)D[(l)：/(x+2)是偶函数，则/(—x+2)=/(x+2),

•••/(2x+l)是奇函数，则/(—2x+l)=-/(2x+l),

且由尸(x)=/(2x+l)是奇函数，可得网0)=/(1)=0,

•'•/(—D=—/⑶=一/(1)=0,且易知函数/(x)的周期为4,其他几个不一定为0,

故选B.

(2)7函数/(x)是偶函数，：.f{~x)=f(x),

又V/(2-x)=-/(x),-V(2-x)=-/(-x),

•V(x+2)=-/(x),

•・•/(x+4)=-/(x+2)=-[-/(x)]=f(x),

・•.函数/(x)的周期为4,

名师点评周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等，常先利用

奇偶性推导出周期性，然后将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义

域内，或已知单调性的区间内求解.

［跟进训练］

2.已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，且/(x+l)=/(—x+1),当0<xWl时,

/(x)=x2-2x+3,则/(㈢等于()

77

A.--B.-

44

99

C.--D.-

44

C［由题意，函数/(x)是定义在R上的奇函数，且/(x+D=/(—x+1),

可得/(x+D=—/(x—1),所以/(x)=/(x+4),

所以函数/(x)是周期为4的周期函数.

又由当0<xWl时，/(X)=X2-2X+3,

则/(加(一|)=一/(-X+)T

□考点三函数的奇偶性与对称性

［典例3］(1)已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，函数g(x)=|%-2|/(x)的图象

关于直线x=2对称，若/(—1)=—1,则g(3)=()

A.5B.1

C.-1D.-5

(2)定义在R上的奇函数/(x),其图象关于点(一2,0)对称，且/(x)在［0,2)上单

调递增，则()

A./(ll)<f(12)<f(21)

B./(21)<f(12)<f(ll)

C./(ll)V(21)<f(12)

D./(21)<f(ll)<f(12)

(1)B(2)A［(1)因为g(x)的图象关于直线x=2对称，则g(x+2)=g(2—x),

又g(2—x)=|-x[/(2-x)=\x[f(2—x),

且g(x+2)=|%|/(x+2),

所以|%|/'(2—%)=|%|/(2+丫)对任意的》611恒成立，所以/(2—x)=/(2+x),因为

/(—1)=—1且/(X)为奇函数，所以/(3)=/(2+l)=/(2—1)=/(1)=—/(—1)=1,

因此，g⑶=|3-2[/⑶=〃1)=1.故选B.

(2)二•函数/(x)的图象关于点(一2,0)对称，/./(x-4)=-/(-x),又/(x)为定义

在R上的奇函数，

所以一/(一x)=/(x)，所以/(x—4)=/(x),即函数/(x)是周期函数且周期是4,则

/(I1)=/(-1),/(12)=/(0),/(21)=/(1),

•••/(X)为奇函数，且在[0,2)上单调递增，

则/(x)在(一2,2)上单调递增，.•./(—l)<f(0)<f(l),即/(ll)<f(12)<f(21)・故选

A.]

名师点评由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大

小等.

[跟进训练]

3.已知函数/(x)是R上的偶函数，且/㈤的图象关于点(1,0)对称，当x©[0,

1]时，/(x)=2—2、则/(0)+/(1)+/⑵+…+/(2024)的值为()

A.12B.-1

C.0D.1

D「.」(x)的图象关于点(1,0)对称,

.•./(—x)=~f(2+x),又/(x)为R上的偶函数，

•V(x)=/(-x),.V(x+2)=-/(-%)=-7(x),

•V(x+4)=-/(x+2)=-[-/(x)]=/(x),

.../(x)是周期为4的周期函数，

.*./(3)=/(-1)=/(1)=2-2=0,

又/(0)=1,42)=—/(0)=-1,

.*./(0)+/(1)+/(2)+-+/(2024)=506X[/(0)+/(1)+/(2)+/(3)]+/(2024)=

506X(l+0-l+0)+/(0)=l.]

□考点四函数的对称性与周期性

[典例4](1)(2024•山东济南期末)已知函数/(x)的定义域为R,/(x+2)为奇函

数，/(2x+l)为偶函数，则函数/(x)的周期是()

A.2B.3

C.4D.5

(2)(2023•广东广州一模)已知函数/(x)的定义域为R,且/(x+l)+/(x—1)=2,

/(x+2)为偶函数，若/(0)=2,则)

A.116B.115

C.114D.113

(1)C(2)C[(1)因为/(x+2)为奇函数，

所以/(—x+2)=—y(x+2),

因为/(2x+l)为偶函数，所以/(—2x+l)=/(2x+l),则/(—x+l)=/(x+l),则

/[-(x+l)+l]=/(x+2),即/(—x)=/(x+2),

所以/(—x+2)=—/(—x),即/(x+2)=-/(x),则/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

所以/(x)的周期是4.故选C.

(2)由/(x+l)+/(x—1)=2,得/(x+2)+/(x)=2,即/(x+2)=2—/(x),

所以/(x+4)=2-/(x+2)=2—[2—/(x)]=/(x),

所以函数/(x)的周期为4,

又/(x+2)为偶函数，则/(-x+2)=/(x+2),

所以y(x)=/(4—X)=f(-x),所以函数/(x)也为偶函数，又/(x+D+/(x—1)=2,

所以/(1)+/(3)=2,/(2)+/(4)=2,所以/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=4,

又/(D+/(—1)=2,即"(1)=2,所以

又/(0)+/(2)=2,/(0)=2,.\/(2)=0,

所以2老/㈤=[/.(1)+/⑵+/⑶+/(4)]X28+/(l)+〃2)+/⑶=4X28+2+0

=114.

故选C.]

名师点评函数的周期性与对称性的关系

(1)如果/(x)的图象关于点(a,0)对称,且关于直线x=b(aWb)对称,则函数/(%)

的周期T=4|a—耳(类比y=sinx的图象)

(2)如果/(x)的图象关于点(a,0)对称,且关于点(6,0)(aW6)对称,则函数/㈤

的周期T=2|a一句.(类比y=sinx的图象)

(3)若函数/(x)的图象关于直线x=a与直线x=b(aWb)对称，那么函数的周期T

=2|a—臼.(类比j=sinx的图象)

[跟进训练]

4.(1)(2023•天津和平区一模)已知/(x)是定义在R上的函数，且对任意x©R

都有/(x+2)=/(2—乃十旷(2),若函数y=/(x+l)的图象关于点(一1,0)对称，

则/(2024)=()

A.6B.3

C.0D.-3

(2)(2021•全国甲卷)设函数/(x)的定义域为R,/(x+1)为奇函数，/(x+2)为偶函

数，当xG[l,2]时，/(乃="2+6.若/(o)+/(3)=6,贝IJ/停)=()

(1)C(2)D[(1)令x=0,得/(2)=/(2)+歹(2),即/(2)=0,/(x+2)=/(2—x),

因为函数y=/(x+l)的图象关于点(一1,0)对称，

所以函数y=/(x)的图象关于点(0,0)对称，

即/(—x)=-/(x),所以/(x+2)=/(2—x)=一/(x—2),

即/(x+4)=-/(x),/(x+8)=/(x),

故/(x)是周期为8的周期函数，所以/(2024)=/(253X8+0)=/(0)=0.故选C.

(2)由于/(x+1)为奇函数，所以函数/(x)的图象关于点(1,0)对称，即有/(x)+/(2

—x)=0,所以/(l)+/(2—1)=0,得/(1)=0,即a+b=0①.由于/(x+2)为偶

函数，所以函数/(x)的图象关于直线x=2对称，即有/(x)—/(4—x)=0,所以/(0)

+〃3)=-/\2)+/(1)=-4a—Z?+o+/?=-3a=6②.

根据①②可得a=—2,b=2,所以当x£[l,2]时，/(x)=-2/+2.

根据函数/(x)的图象关于直线x=2对称，且关于点(1,0)对称，可得函数/(x)

的周期为4,所以/。⑥=-/(l)=2X(|)2-2=|.]

课时分层作业(十)函数性质的综合应用

[A组在基础中考查学科功底]

一'单项选择题

1.已知奇函数/(x)在R上是增函数，g(x)=xf(x).若q=g(—log25.1),Z)=g(20-8),

c=g(3),则a,b,c的大小关系为()

A.a〈b<cB.c<b<a

C.b<-a<-cD.b〈c<a

C[易知g(x)=M\x)在R上为偶函数，

：奇函数/(x)在R上是增函数，且/(0)=0.

.,.g(x)在(0,+8)上是增函数.

又3>log25.1>2>2°8,且fl=g(-log25.1)=g(log25.1),

08

.,.g(3)>g(log25,l)>g(2-),则c>a>>故选C.]

2.(2024•湖北武汉模拟)已知函数/(x—l)(x©R)是偶函数，且函数/(x)的图象

关于点(1,0)对称，当xG[T,1]时，/(x)=axT,则/(2024)=()

A.11B.12

C.0D.2

A[根据题意，函数/(x—l)(xGR)是偶函数，则函数/(x)的对称轴为直线x=一

1,

则有/(x)=/(—2—x),又由函数/(x)的图象关于点(1,0)成中心对称，

则/(》)=一/(2—x),则有/(—2—x)=一/(2—x),则/(x+4)=一/(x),

则有/(x+8)=-/(x+4)=/(x),则函数/(x)是周期为8的周期函数，则/(2024)

=/(0+253X8)=/(0)=一1.故选A.]

3.(2023•河北邯郸一模)已知函数/(x—1)为偶函数，且函数/(x)在[―1,+8)

上单调递增，则关于x的不等式/(I—2云)</(—7)的解集为()

A.(—8,3)B.(3,+8)

C.(—8,2)D.(2,+8)

A[因为/(x—l)为偶函数，所以/(x)的图象关于直线x=-1对称.因为/(x)在

[-1,+8)上单调递增，所以/(X)在(-8,—1]上单调递减.因为/(I—2，)</(一

7)=/(5),所以一7<1—2，<5,解得x<3.故选A.]

4.若定义在R上的奇函数/(x)满足/(2—x)=/(x),对Vxi,x2e(0,1),且xi#X2,

都有(方—X2),|/(X1)—/(X2)]>O,则下列说法正确的是()

A.函数/(x)的图象关于点(1,0)成中心对称

B.函数/(x)的图象关于直线x=2成轴对称

C.在区间(2,3)上,/(x)单调递减

c[f(4-x)=/[2-(x-2)]=/(x-2)=-/(2-x)=-/(x),即/(4—x)+/(x)=O,

故/(x)的图象关于点(2,0)成中心对称，A错误；

,-,/(2-x)=/(x),.../(x)的图象关于直线x=1成轴对称，B错误；

根据题意可得，/(x)在(0,1)上单调递增.

•••/(X)的图象关于直线x=l成轴对称，点(2,0)或中心对称，则/(x)在(2,3)内

单调递减，C正确；

又••V(x)=/(2—x)=一/(x—2),

,V(x+2)=-/(x),

/./(x+4)=-/(x+2)=/(x),可知/(x)的周期为4,

则/(—£)=/(；)</(§，D错误.故选C.]

5.(2024•重庆巴蜀中学模拟)已知定义在R上的偶函数/(x),VxER,有/(x+

6)=/(x)+/⑶成立，当0WxW3时，/(x)=2x—6,则/(2023)=()

A.0B.-2

C.-4D.2

C[依题意VxGR,有/(x+6)=/(x)+/(3)成立，

令x=—3,则/(3)=/(—3)+/(3)=2f(3),

所以/(3)=0,故/(x+6)=/(x),

所以/(x)是周期为6的周期函数，

故/(2023)=/(6X337+1)=/(1)=2X1-6=-4.故选C.]

6.(2024•江苏苏州期末)已知定义在R上的函数/(x)的图象连续不间断，有下

列四个命题：

甲：/(x)是奇函数；

乙：/(x)的图象关于点(2,0)对称；

丙：/(22)=0；

丁：/(x+6)=/(x).

如果有且仅有一个假命题，则该命题是()

A.甲B.乙

C.丙D.丁

D[甲正确时，/(x)=-/(-%);乙正确时，/(x)=-/(4-x),

若甲、乙都正确，则/(》)=一/(—x)=/(4+x),则周期T=4,

则由/(2)=—/(—2),/(2)=/(—2),可得/(2)=0,

则/(22)=/(2)=0,故丙正确;

丁正确时，则/(x)的周期为6,这与上面得到的周期7=4互相矛盾.

由四个命题有且仅有一个假命题，则丁错误.故选D.]

7.(2023•广西南宁一模)已知函数/(x),g(x)的定义域均为R,且/(x)+/(2—x)

=4,g(x)=/(x-l)+l,若g(x+l)为偶函数，且/(2)=0,则g(2022)+g(2023)

=()

A.5B.4

C.3D.0

B[V/(x)+/(2-x)=4,

.•./(x)以点(1,2)为对称中心,且/⑴=2.

•••g(x+l)=g(—x+1),即/(x)+1=/(-%)+1,

.../(x)为偶函数，以y轴为对称轴.

•V[-(2-x)]=/(2-x),即/(x—2)=/(2—x),

由/(》)+/(2一》)=4知，/(x+2)+/(x)=4,

•V(x+2)=/(2-x),/(x+2)=/(x-2),

从而/(x+2+2)=/(x+2—2),即/(x+4)=/(x),

・../(x)的周期为4,...ga)的周期为4,故g(2022)+g(2023)=g(2)+g(—l)=/(l)

+1+/(-2)+1=2+1+0+1=4.

故选B.]

8.已知函数/(x)的定义域为R,若/(2—x)=/(x),且/(x+2)+2为奇函数，则

/(1)+/(2)+/(3)+-+/(2023)=()

A.-5085B.-4046

C.985D.2046

B[令g(x)=/(x)+2,

因为/(2—x)=/(x),所以/(x)的图象关于直线x=l对称，所以g(x)的图象关于

直线x=1对称，

所以g(2—x)=g(x),

因为/(x+2)+2为奇函数，所以/(x)的图象关于点(2,—2)对称，且/(2)+2=0,

所以/(2)=-2,

所以函数g(x)的图象关于点(2,0)对称，即函数g(x+2)为奇函数，

所以g(—x+2)=—g(x+2),

所以g(x+2)=—g(x),

所以g(x+4)=—g(x+2)=g(x),

即/(x+4)+2=/(x)+2,所以/(x+4)=/(x),

所以函数/(x)是以4为周期的周期函数，

因为/(x)的图象关于直线x=l对称，所以/(0)=/(2)=-2,

因为/(x)的图象关于点(2,—2)对称，

所以/(1)+/(3)="'(2)=-4,

所以/(0)+/(1)+/(2)+/(3)=-8,

所以/(1)+/(2)+/(3)+…+/(2023)=-8X^—/(0)=-4046,

故选B.]

二、多项选择题

9.已知函数/(x)为R上的奇函数，g(x)=/(x+l)为偶函数，下列说法正确的有

()

A./(x)图象关于直线x=-1对称

B.g(2023)=1

C.g(x)的周期为4

D.对任意xGR,都有/(2—x)=/(x)

ACD[由/(x)的对称中心为点(0,0),对称轴为直线x=l,

得了(x)的图象也关于直线X=-1对称，且/(x)=/(2—x),A,D正确；由A分

析知，/(x)=/(2—x)=—/(—x),故/(2+x)=-/(x),所以/(4+x)=-/(2+x)

=-f(x),所以/(x)的周期为4,则g(x)的周期为4,g(2023)=/(2024)=/(0)=0,

B不正确，C正确.故选ACD.]

10.(2024•江苏连云港期中)已知函数/(x)的定义域是R,函数/(x)是偶函数，/

(2x—1)+1是奇函数，则()

A./(0)=-1

B./⑴=T

C.4是函数/(x)的一个周期

D.函数/(x)的图象关于直线x=9对称

BC[因为/(2x-1)+1是R上的奇函数，所以/(—2x-1)+1=—[/'(2x—1)+1],

整理得，/(-2x-l)+/(2x-l)=-2,

令x=0得，)(一1)=—2,解得/(1)=—1,B正确，

将2x替换为x+1,得/(—x—1—l)+/'(x+l—1)=—2,即/(—x—2)+/(x)=—

2①，

又因为/(X)是偶函数，所以/(—x)=/(x),

将x替换为x+2,得/(—X—2)=/(x+2)②，

由①②得/(x+2)+/(》)=一2③，则/(x+4)+/(x+2)=-2@,

③一④得/(x+4)=/(x),

故4是函数/(x)的一个周期，C正确；

因为/(x+2)+/(x)=—2,

所以/(x+2)+/(—x)=-2,

故/(x)关于点(1,—1)中心对称，

又因为4是函数/(x)的一个周期，

所以/(9)=/(2X4+l)=/(l)=—1,

故/(x)关于点(9,—1)中心对称，D错误，

因为/(x)关于点(1,—1)中心对称，故点(0,7(0))与点(2,/(2))关于点(1,-1)

中心对称，无法得到/(0)=-1,A错误.故选BC.]

三、填空题

11.已知定义在R上的函数/(x)满足/(—x)=-/(x),

/(3-x)=/(x),则“2025)=.

0[用一x替代x,得到/(x+3)=/(—x)=—/(x),所以7=6,所以/(2025)=/

(337X6+3)=/(3).因为/(3—x)=/(x),所以/⑶=/(0)=0.所以/(2025)=0.]

12.若函数/(x)称为“准奇函数”，则必存在常数a,b,使得对定义域内的任

意x值，均有/(x)+/(2a—x)=2b,则。=2,6=2的一个“准奇函数”为

.(填写解析式)

/(乃=3》#2)(答案不唯一)[由/(x)+/(2a—x)=2b,知''准奇函数”/(x)的

图象关于点(a,a)对称，若a=2,b=2,即/(x)图象关于点(2,2)对称，如

向右平移2个单位长度，向上平移2个单位长度，得到/(x)=2+2=皆，故

其图象就关于点(2,2)对称.]

[B组在综合中考查关键能力]

13.(2022•全国乙卷)已