高考物理二轮总复习：万有引力与航天

第4讲万有引力与航天

识规律回和ZHISIHGUIIVIlliKOL—

一、明晰一个网络，破解天体运动问题

I万行引力与航天］

I万行引川一画〃是分川

I厅行引力定律I

二、“一种模型、两条思路、三个物体、四个关系”

1.一种模型：无论自然天体（如地球、月亮）还是人造天体（如宇宙飞船、人造卫星）都可

以看作质点，围绕中心天体（视为静止）做匀速圆周运动.

2.两条思路：

（1）万有引力提供向心力，即G与M詈m=相。向.

（2）天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即芳="g,公式gR2=GM应用

广泛，被称为“黄金代换”.

3.三个物体：求解卫星运行问题时，一定要认清三个物体（赤道上的物体、近地卫星、

同步卫星）的特点.

4.四个关系：“四个关系”是指人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期与轨道半

径的关系.

高频春后突破

高频考点1开普勒定律与万有引力定律

题组突破

6.、

1T.（多选）（2017•全国卷II）如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，尸为近日点，。为远

日点，M.N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为To.若只考虑海王星和太阳之间的相互

作用，则海王星在从P经/、。到N的运动过程中（）

占阳一…:………大

一一一，

N

A.从P到M所用的时间等于T0/4

B.从。到N阶段，机械能逐渐变大

C.从产到。阶段，速率逐渐变小

D.从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功

解析：本题考查天体的运行规律.海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，由开普勒第二定律可

知，从PfQ速度逐渐减小，故从尸到M所用时间小于To/4.选项A错误，C正确；从。到

N阶段，只受太阳的引力，故机械能守恒，选项B错误；从〃到N阶段经过。点时速度最

小，故万有引力对它先做负功后做正功，选项D正确.

答案：CD

1—2.（2017•湖北省重点中学高三测试）如图所示，由中山大学发起的空间引力波探测工

程“天琴计划”于2015年启动，拟采用三颗全同的卫星（SCI、SC2、SC3）构成一个边长约

为地球半径27倍的等边三角形阵列，地球恰好处于三角形中心，卫星将在以地球为中心、

高度约10万公里的轨道上运行，对一个周期仅有5.4分钟的超紧凑双白矮星系统RXJ0806.3

+1527产生的引力波进行探测.若地球近地卫星的运行周期为7b，则三颗全同卫星的运行

周期最接近（）

A.407bB.507b

C.607bD.707b

]x27R_

解析：由几何知识可知，每颗卫星的运转半径为：根据开普勒行星

r=sin6()o=9V37?,

R3//」

运动第三定律可知：飞=亍,则T=\/#7b=61.5To,故选C.

答案：C

1—3.(2017•辽宁省高三月考)由中国科学院、中国工程院两院士评出的2012年

中国十大科技进展新闻，于2013年1月19日揭晓，“神九”载人飞船与“天宫一号”成功

对接和“蛟龙”号下潜突破7000米分别排在第一、第二.若地球半径为R,把地球看作质

量分布均匀的球体.“蛟龙”下潜深度为d,天宫一号轨道距离地面高度为/?,“蛟龙”号

所在处与“天官一号”所在处的加速度之比为()

R—d(R一42

A。R+hB・(氏+田2

(R-d)(R+h)(R—d)(R+h)2

JR2R3

解析：令地球的密度为p,则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g=^^，

4

4CMGp至K4

由于地球的质量为：M=p^K,所以重力加速度的表达式可写成：g=-^T=—F—=^nGpR.

根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的地球内部，受到

4

地球的万有引力即为半径等于(R—J)的球体在其表面产生的万有引力，故重力加速度屋=^

TiGp(R—d).

Q'R—dMin

所以有一.根据万有引力提供向心力G温"=ma,“天宫一号”的加速度a

=谭齐，所以£=焉了，所以宜岑a”[故D正确，ABC错误•

答案：D

1—4.假设地球可视为质量均匀分布的球体.已知地球表面重力加速度在两极的大小为

go,在赤道的大小为g;地球自转的周期为T,引力常量为G.地球的密度为()

.37t(go—g)3欢o

AB.

-GT2goG^(go-g)

AD

JCG户-GT-g

解析：物体在地球的两极时，物体在赤道上时，mg+m(^)27?=,以

3砍o

上两式联立解得地球的密度p=•.故选项B正确，选项A、C、D错误.

G^go-g)

答案：B

有

万

两

分

种

力

引

析

类

重

和

求

型

解

力

一

一

高频考点2天体质量和密度的估算

知识归纳

1.利用天体表面的重力加速度g和天体半径凡

Mm十人…上MM3g

由于G祟=加g,故天体质量/=这天体伤度右产加无

G，=4GR

2.通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径八

(1)由万有引力等于向心力，即聋=庠/，得出中心天体质量M=寝;

(2)若已知天体半径R,则天体的平均密度2=号=券-

*3

(3)若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R,

3几.

则天体密度〃=品.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T,就可估算出中心天体

的密度.

题组突破

2—1.(2017•北京卷)利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是()

A.地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)

B.人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期

C.月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离

D.地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离

解析：根据6^耨=mg可知,已知地球的半径及重力加速度可计算出地球的质量.根据

Mm根。22TT/?

-及。=亍可知，已知人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期可计

算出地球的质量.根据6^^=/77笔7可知，已知月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地

球间的距离，可计算出地球的质量.已知地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距

离只能求出太阳的质量，不能求出地球的质量.

答案：D

2-2.（2017・保定市期末调研）两颗互不影响的行星尸1、Pz，各有一颗近地卫星N、S2

绕其做匀速圆周运动.图中纵轴表示行星周围空间某位置的引力加速度横轴表示某位置

到行星中心距离厂平方的倒数，a-玄关系如图所示，卫星N、S2的引力加速度大小均为如

则（）

A.&的质量比S2的大B.P的质量比尸2的大

C.P1的第一宇宙速度比P2的小D.P1的平均密度比尸2的大

MmI

解析：万有引力充当向心力，故有G-p-=ma,解得〃=GAf故图象的斜率k=G”,

因为G是恒量，M表示行星的质量，所以斜率越大，行星的质量越大，故Pi的质量比尸2

的大，由于计算过程中，卫星的质量可以约去，所以无法判断卫星质量关系，A错误，B正

确；因为两个卫星是近地卫星，所以其运行轨道半径可认为等于行星半径，根据第一宇宙速

皮公式v=y［无可得v=血示,从图中可以看出，当两者加速度都为的时，尸2半径要比Pi

Q0解

小，故Pi的第一宇宙速度比2的大，C错误；星球的密度/=的=产=4=白鼠故

V邱4^ci4位y3471CrA

星球的半径越大，密度越小，所以P1的平均密度比尸2的小，D错误.

答案：B

2—3.（多选）（2017•湖南省师大附中等四校联考深行星外围有一圈厚度为d的发光带（发

光的物质），简化为如图甲所示模型，R为该行星除发光带以外的半径.

现不知发光带是该行星的组成部分还是环绕该行星的卫星群，某科学家做了精确的观

测，发现发光带绕行星中心的运行速度。与到行星中心的距离r的关系如图乙所示（图中所

标为已知），则下列说法正确的是（）

Vo

A.发光带是该行星的组成部分

B.该行星的质量〃=饕

c.行星表面的重力加速度gd

D•该行星的平均密度为L箫片

解析：若发光带是该行星的组成部分，则其角速度与行星自转角速度相同，应有v=cor,

。与厂应成正比，与图象不符，因此发光带不是该行星的组成部分，故A错误；设发光带是

环绕该行星的卫星群，由万有引力提供向心力，则有：G^=my,得该行星的质量为：

加=?；由图乙知，厂=尺时0=0o贝U有：M=^~,故B正确；当r=7?时有机g=优却，

（jr（jrK

得行星表面的重力加速度g=置，故C正确；该行星的平均密度为。=了"=4；募2,故D

错误.

答案：BC

高频考点3人造卫星的运行参量分析

题组突破

3—1.（2017•莆田市质检）卫星A和8均绕地球做匀速圆周运动，其角速度之比:COB

=1：8,则两颗卫星的（）

A.轨道半径之比rA:0=64：1

B.轨道半径之比rA-re-14

C.运行速度之比vA:vB=\y[2

D.运行速度之比vAOB=1：2

解析：根据公式G呼^=加。2/可得。=故轨道半径之比为A、B错

误；根据公式6^^=布;可得o=故可得需=3，C错误，D正确.

答案：D

3—2.（2017・泰安一模）据报道：天文学家发现一颗新的系外类地行星，名为“HD85512b”，

它的质量是地球的3.6倍，半径约是地球的1.6倍，它环绕一颗名叫“HD85512”的恒星运转,

运行一周只需54天.根据以上信息可以确定（）

A.恒星HD85512的质量比太阳大

B.行星HD85512b自转的周期小于24h

C.行星HD85512b的第一宇宙速度大于7.9km/s

D.行星HD85512b表面的重力加速度小于9.8m/s2

解析：设地球的质量为mo,半径为r0,该类地行星的质量则为16加，半径为3.6%,

该类地行星绕HD85512恒星运转，由万有引力定律^爷7可知，在地球和该类地行

星公转半径都不知道的情况下，无法比较恒星HD85512与太阳的质量大小，A错误；由于

题目条件是类地行星的公转周期，所以无法判断其自转周期，B错误；由万有引力定律G蟹

=〃/，可得地球的第一宇宙速度户丽心7.9km/s,同理可得类地行星的第一宇宙速

■o\lro

度v'=yJG黑二^\J^^=全0=1L85km/s,所以C正确；由得地球表面重

力加速度g=G^,同理可得类地行星表面重力加速度为g'=G（；黑2=看g,所以D错

、口

沃.

答案：C

3-3.国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”.1970年4月24

日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高

度约为440km,远地点高度约为2060km；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运

行在赤道上空35786km的地球同步轨道上.设东方红一号在远地点的加速度为对，东方红

二号的加速度为。2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为俏，则处、。2、痣的

大小关系为（）

A.B.

C.D.。1>〃2〉的

解析二卫星围绕地球运行时，万有引力提供向心力，对于东方红一号，在远地点时有

Mm\

0(R+h^=miai'即对于东方红二号，有EL2a2,即改=而后，

由于后＞小，故。1＞。2,东方红二号卫星与地球自转的角速度相等，由于东方红二号做圆周

运动的轨道半径大于地球赤道上物体做圆周运动的半径，根据a=co2r,故〃2＞〃3,所以

>a2>a3,选项D正确，选项A、B、C错误.

答案：D

3-4.（多选）如图所示，两质量相等的卫星A、8绕地球做匀速圆周运动，用R、T、

心、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积.下列

关系式正确的有（）

C.SA=SBD.弦=彩

D3D3

解析：根据开普勒第三定律，滤=滞，叉RA>RB,所以图>4选项A、D正确；由

■得，v=所以。则&选项B错误；由<7/鬻=成聿■得，

7=2兀卫星与地心的连线在单位时间内扫过的面积可知SA>SB,

选项C错误.

答案：AD

名师点拨

用好二级结论，速解运行参量比较问题

天体做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力.

基本关系式为：ma=my=mrco2=mr^.

二级结论有：（1）向心加速度r越大，。越小;

（2）线速度「越大，。越小；

（3）角速度。8、川厂越大，。越小；（4）周期T8M/，厂越大，T越大.

高频考点4卫星的变轨问题分析

题组突破

,..................、

4—1.（2017•全国卷III）2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间

实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道（可视为圆轨道）运

行.与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的（）

A.周期变大B.速率变大

C.动能变大D.向心加速度变大

解析：天宫二号单独运行时的轨道半径与组合体运行的轨道半径相同.由运动周期T=

2兀可知周期不变，A项错误.由速率。=可知速率不变，B项错误.因

02

为（"21+机2）＞%1,质量增大，故动能增大，C项正确.向心加速度。=：不变，D项错误.

答案：c

4—2.（2017•江西省九校高三联考）我国的“神舟H^一号”载人航天飞船于2016年10月

17日发射升空，入轨两天后，与“天宫二号”进行对接，假定对接前，“天宫二号”在图

所示的轨道3上绕地球做匀速圆周运动，而“神舟十一号”在图中轨道1上的P点瞬间改

变其速度大小，使其运行的轨道变为椭圆轨道2,并在椭圆轨道2与轨道3的切点与“天宫

二号”进行对接，图中P、。、K三点位于同一直线上，贝）

A.“神舟十一号”在尸点轨道1的加速度大于轨道2的加速度

B.如果“天宫二号”位于K点时“神舟十一号”在尸点处变速，则两者第一次到达。

点即可对接

C.“神舟十一号”沿椭圆轨道2从P点飞向。点过程中机械能不断增大

D.为了使对接时两者的速度相同，“神舟十一号”到达。点时应稍微加速

解析：根据。=饕可知，“神舟十一号”在P点轨道1的加速度等于轨道2的加速度，

选项A错误；由图示可知，在轨道3上运行时的周期大于在轨道2上运行时的周期，如果

“天宫二号”位于K点时“神舟十一号”在尸点处变速，“神舟十一号”要比“天宫二号”

早到达。点，则两者第一次到达。点时不能对接，故B错误；“神舟十一号”沿椭圆轨道

2从尸点飞向。点过程中只有万有引力做功，其机械能守恒，故C错误；为了使对接时两

者的速度相同，“神舟十一号”到达。点时应稍微加速，使两者速度相等，然后实现对接.故

D正确.

答案：D

4—3.假设在赤道平面内有一颗侦察卫星绕地球做匀速圆周运动，某一时刻恰好处在另

一颗同步卫星的正下方，已知侦察卫星的轨道半径为同步卫星的四分之一，则有（)

A.同步卫星和侦察卫星的线速度之比为2：1

B.同步卫星和侦察卫星的角速度之比为8：1

C.再经过芋h两颗卫星距离最远

D.再经过与h两颗卫星距离最远

解析：两颗卫星都是由万有引力提供向心力，则"玄=〃正爷"="求02,可得线速

度。=所以同步卫星和侦察卫星的线速度之比为1：2,选项A错误；角速度。=

同步卫星和侦察卫星的角速度之比为1：8,选项B错误；周期丁二个需,可得

侦察卫星的周期为3h.若再经过时间，两颗卫星距离最远，则有/管一和=(2〃+1)%("=

0,1,2,3,•••),即g一劫="}(“=0,1,2,3,­•­),可得时间t=¥(2"+l)h(〃=0,l,2,3,…)，

选项C正确，D错误.

答案：C

总结提升

从引力和向心力的关系分析变轨问题

卫星在发射或运行过程中有时要经过多次变轨，过程简图如下.

较低圆轨道|懿慧|椭圆轨道|懿聂|较高圆轨道

当卫星以某一速度。沿圆轨道运动时，万有引力提供向心力，牛=加「如果卫星突

然加速(通过发动机瞬间喷气实现，喷气时间不计)，则万有引力不足以提供向心力，G™Mm

o'2

<m—~,卫星将做离心运动，变轨到更高的轨道.反之，当卫星突然减速时，卫星所需向

心力减小，万有引力大于向心力，卫星变轨到较低的轨道.

高频考点5双星、多星模型

,知识归纳....、

模型一双星系统之“二人转”模型

双星系统由两颗相距较近的星体组成，由于彼此的万有引力作用而绕连线上的某点做匀

速圆周运动(简称“二人转”模型).双星系统中两星体绕同一个圆心做圆周运动，周期、角

速度相等；向心力由彼此的万有引力提供，大小相等.

模型二三星系统之“二绕一”和“三角形”模型

三星系统由三颗相距较近的星体组成，其运动模型有两种：一种是三颗星体在一条直线

上，两颗星体围绕中间的星体做圆周运动；另一种是三颗星体组成一个三角形，三星体以等

边三角形的几何中心为圆心做匀速转动（简称“三角形”模型）.

最常见的“三角形”模型中，三星结构稳定，角速度相同，半径相同，任一颗星的向心

力均由另两颗星对它的万有引力的合力提供.另外，也有三星不在同一个圆周上运动的“三

星”系统.

模型三四星系统之“三绕一”和“正方形”模型

四星系统由四颗相距较近的星体组成，与三星系统类似，通常有两种运动模式：一种是

三颗星体相对稳定地位于三角形的三个顶点上，环绕另一颗位于中心的星体做圆周运动（简

称“三绕一”模型）；另一种是四颗星体相对稳定地分布在正方形的四个顶点上，围绕正方

形的中心做圆周运动（简称“正方形”模型）.

,....题组突破、

5—1.（多选）（2016・三门峡市院州中学专训）某国际研究小组观测到了一组双星系统，它们

绕二者连线上的某点做匀速圆周运动，双星系统中质量较小的星体能“吸食”质量较大的星

体的表面物质，达到质量转移的目的.根据大爆炸宇宙学可知，双星间的距离在缓慢增大，

假设星体的轨道近似为圆，则在该过程中（）

A.双星做圆周运动的角速度不断减小

B.双星做圆周运动的角速度不断增大

C.质量较大的星体做圆周运动的轨道半径减小

D.质量较大的星体做圆周运动的轨道半径增大

解析：设质量较小的星体质量为mi,轨道半径为n,质量较大的星体质量为机2,轨道

半径为n.

双星间的距离为L转移的质量为\m.

根据万有引力提供向心力

公

,,G（mi+A/M）（m2-A777）2

对’mi：------------亨-----------=（mi+A/n）co-n①

升.」加1+公加）（侬一&九）八、2分

对加2：G£2—（m2-r2②

由①②得：总质量如+佗不变，两者距离L增大，则角速度。变

小.故A正确、B错误.

由②式可得厂2=一（心*把。的值代入得：

G(mi+Am)根i+A相

也)

G(