构造平行四边形解决问题（解析版） 八年级数学下册专题训练

专题13构造平行四边形解决问题（解析版）类型一构造平行四边形证明线段平行1．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别为OB，OD的中点，过点O作任意一条直线分别交AB，CD于点G，H，连接GF，EH．求证：GF∥EH．【思路引领】连接EG、FH，根据平行四边形的性质得OB＝OD，AB∥CD，再证明△OBG≌△ODH，得OG＝OH，再根据平行四边形的判定得四边形EHFG为平行四边形，进而由平行四边形性质得结论．【解答】证明：连接EG、FH，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，AB∥CD，∴∠OBG＝∠ODH，∵∠BOG＝∠DOH，∴△OBG≌△ODH（ASA），∴OG＝OH，∵OB＝OD，E，F分别为OB，OD的中点，∴OE＝OF，∴四边形EHFG是平行四边形，∴GF∥EH．【总结提升】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，关键是证明三角形全等．类型二构造平行四边形证明线段相等2．（2022春•大荔县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，延长BA到点D，使AD=12AB，点E、F分别为边BC、（1）求证：DF＝BE；（2）过点A作AG∥BC，交DF于点G，求证：AG＝DG．【思路引领】（1）过点F作FH∥BC，交AB于点H，先证明AC是DH的垂直平分线，得出FH＝FD，再证明四边形BEFH是平行四边形，得出BE＝FH，继而得出DF＝BE；（2）先证明四边形DBEF是等腰梯形，得出∠B＝∠D，再由平行线的性质得出∠B＝∠DAG，继而得出∠D＝∠DAG，得出AG＝DG．【解答】证明：（1）如图1，过点F作FH∥BC，交AB于点H，∵FH∥BC，点F是AC的中点，∴AH=BH=1∵AD=1∴AD＝AH，∵CA⊥AB，∴CA是DH的中垂线，∴DF＝FH，∵点E、F分别为边BC、AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB，∵FH∥BC，EF∥AB，∴四边形HFEB是平行四边形，∴FH＝BE，∴BE＝FD；（2）如图2，由（1）知BE＝FD，∵EF∥AD，EF=12∴EF＜BD，∴四边形DBEF是等腰梯形，∴∠B＝∠D，∵AG∥BC，∠B＝∠DAG，∴∠D＝∠DAG，∴AG＝DG．【总结提升】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰梯形的判定，等腰梯形的性质，掌握平行线的性质，垂直平分线的性质，平行四边形的判定与性质，等腰梯形的判定，等腰梯形的性质，等腰三角形的判定等知识是解决问题的关键．3．（2023•和县期末）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，交CD于F，FG∥AB交BC于G．试证明CE＝CF＝GB．【思路引领】根据已知利用角之间的关系得出∠CEF＝∠CFE，由等角对等边可得到CE＝CF，过E作EH⊥AB于H，利用AAS判定Rt△CFG≌Rt△EHB，从而得到CG＝EB即CE＝GB，所以就得到了CE＝CF＝GB．【解答】证明：∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°．∵CD⊥AB，∴∠ACD+∠CAD＝90°．∴∠ACD＝∠ABC．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE．∵∠CEF＝∠BAE+∠ABC，∠CFE＝∠CAE+∠ACD，∴∠CEF＝∠CFE．∴CE＝CF（等角对等边）．如图，过E作EH⊥AB于H，∵AE平分∠BAC，EH⊥AB，EC⊥AC，∴EH＝EC（角平分线上的点到角两边的距离相等）．∴EH＝CF．∵FG∥AB，∴∠CGF＝∠EBH．∵CD⊥AB，EH⊥AB，∴∠CFG＝∠EHB＝90°．在Rt△CFG和Rt△EHB中∵∠CGF=∠EBH∠CFG=∠EHB∴Rt△CFG≌Rt△EHB（AAS）．∴CG＝EB．∴CE＝GB．∴CE＝CF＝GB．【总结提升】此题主要考查学生对角平分线的性质及全等三角形的判定方法的理解及运用．正确作出辅助线是解答本题的关键．4．如图，四边形ACED中，CE∥AD，以DC，DE为边作▱DCFE，EC的延长线交AF于B，求证：AB＝FB．【思路引领】延长FC交AD于点G，可证明四边形CEDG为平行四边形，可得FC＝DE＝CG，可知BC为△FAG的中位线，可证明AB＝FB．【解答】证明：如图，延长FC交AD于点G，∵四边形CDEF为平行四边形，∴CF∥DE，CF＝DE，又∵CE∥AD，∴四边形CEDG为平行四边形，∴CG＝DE，∴CF＝CG，且BC∥AG，∴BC是△FAG的中位线，∴B为AF的中点，即AB＝FB．【总结提升】本题主要考查平行四边形的性质和判定，掌握平行四边形的性质和判定是解题的关键，即①两组对边分别平行的四边形⇔平行四边形，②两组对边分别相等的四边形⇔平行四边形，③一组对边分别平行且相等的四边形⇔平行四边形，④两组对角分别相等的四边形⇔平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形⇔平行四边形．类型三构造平行四边形证明两条线段互相平分5．如图所示，平面上三个正三角形ACE，△ABD，△BCF两两共有一个顶点，求证：CD与EF互相平分．【思路引领】首先连接DE、DF，由△CBF和△ABD是等边三角形，易证得△CBA≌△FBD（SAS），继而证得AC＝DF，则可得DF＝EC，同理可得DE＝FC，则可判定四边形DECF是平行四边形，证得CD与EF互相平分．【解答】证明：如图，连接DE、DF，∵△CBF和△ABD是等边三角形，∴CB＝FB，BA＝BD，∠ABD＝∠CBF＝60°，∵∠CBA＝60°﹣∠ABF，∠FBD＝60°﹣∠ABF，∴∠CBA＝∠FBD，在△CBA和△FBD中，CB=FB∠CBA=∠FBD∴△CBA≌△FBD（SAS），∴AC＝DF，又∵EC＝AC，∴DF＝EC，同理可得：DE＝FC，∴四边形DECF是平行四边形，∴CD与EF互相平分．【总结提升】此题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．6．（2023春•海阳市期中）已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是边BC，AD上的点，BE＝DF，∠CEF的平分线交边CD于点G，∠AFE的平分线交边AB于点H，分别连接EF，GH．求证：（1）EG∥HF；（2）EF与GH互相平分．【思路引领】（1）根据平行四边形的性质推出∠AFE＝∠FEC，再结合角平分线的定义得出∠HFE=1（2）由ASA证明△AFH≌△CEG得出HF＝EG，可得出四边形HEGF是平行四边形，再根据平行四边形的对角线互相平分即可得出结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AFE＝∠FEC，∵∠CEF的平分线交边CD于点G，∠AFE的平分线交边AB于点H，∴∠HFE=1∴EG∥HF；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠A＝∠C，又∵DF＝BE，∴AF＝CE，由（1）可知，∠CEG＝∠AFH，在△AFH与△CEG中，∠AFH=∠CEGAF=CE∴△AFH≌△CEG（ASA），∴HF＝EG，又∵HF∥EG，∴四边形HEGF是平行四边形，∴EF与GH互相平分．【总结提升】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明△AFH≌△CEG是证明（2）的关键．7．（2023春•盐城期中）如图，在平行四边形ABCD中点E、F分别在BC，AD上且AF＝CE．连接EF、BD．试说明EF与BD互相平分．【思路引领】证明△FDO≌△EBO（AAS），推出OF＝OE，OD＝OB，可得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠FDO＝∠EBO，∵AF＝CE，∴DF＝BE，在△FDO和△EBO中，∠FOD=∠EOB∠FDO=∠EBO∴△FDO≌△EBO（AAS），∴OF＝OE，OD＝OB，∴EF与BD互相平分．【总结提升】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是正确寻找全等三角形解决问题．类型四构造平行四边形证明线段的和差关系8．如图，△ABC中，E、F为AB上两点，AE＝BF，ED∥AC，FG∥AC分别交BC于点D，G．求证：ED+FG＝AC．【思路引领】过E作EH∥BC，证明△AEH≌△FBG，可证得AH＝FG，再证明四边形EHCD为平行四边形，得到ED＝HC，可得出结论．【解答】证明：如图，过E点作EH∥BC交AC于H，则∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C，∵FG∥AC，∴∠BGF＝∠C，∴∠AHE＝∠BGF，在△AEH和△FBG中，∠AEH=∠B∠AHE=∠BGF∴△AEH≌△FBG（AAS），∴AH＝FG，∵EH∥BC，ED∥AC，∴四边形EHCD是平行四边形，∴ED＝HC，∵HC+AH＝AC，∴ED+FG＝AC．【总结提升】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①两组对边分别平行的四边形⇔平行四边形，②两组对边分别相等的四边形⇔平行四边形，③一组对边平行且相等的四边形⇔平行四边形，④两组对角分别相等的四边形⇔平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形⇔平行四边形．类型五构造平行四边形证明线段之间的不等关系9．（2022春•南靖县校级月考）已知：△ABC中，AD是BC边上的中线．求证：AD+BD＞12（AB+【思路引领】根据三角形三边关系分别得出BD+AD＞AB、CD+AD＞AC，再根据中线的性质即可得出AD+BD＞12（AB+【解答】证明：∵BD+AD＞AB，CD+AD＞AC，∴BD+AD+CD+AD＞AB+AC．∵AD是BC边上的中线，BD＝CD，∴AD+BD＞12（AB+【总结提升】本题是对三角形三边关系和三角形中线性质的综合考查．三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．10．（2021秋•铁东区校级月考）如图，AD为△ABC中BC边上的中线（AB＞AC）（1）求证：AB﹣AC＜2AD＜AB+AC；（2）若AB＝8cm，AC＝5cm，求AD的取值范围．【思路引领】（1）延长AD至E，使AD＝DE，连接BE，然后再证明△ACD≌△EBD，根据全等三角形的性质可得AC＝BE，再根据三角形的三边关系可得AB﹣AC＜AE＜AB+BE，利用等量代换可得AB﹣AC＜2AD＜AB+AC；（2）把AB＝8cm，AC＝5cm代入（1）的结论里，再解不等式即可．【解答】（1）证明：如图延长AD至E，使AD＝DE，连接BE．在△ACD和△EBD中：DC=BD∠ADC=BDE∴△ACD≌△EBD（SAS），∴AC＝BE（全等三角形的对应边相等），在△ABE中，由三角形的三边关系可得AB﹣AC＜AE＜AB+BE，即AB﹣AC＜2AD＜AB+AC；（2）解：∵AB＝8cm，AC＝5cm，∴8﹣5＜2AD＜8+5，∴32＜AD【总结提升】此题主要考查了三角形的三边关系，以及全等三角形的判定与性质，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．类型六构造平行四边形进行巧妙计算（一）求角的度数11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为BC、AC上一点，BD＝AC，DC＝AE，BE与AD交于点P，则∠ADC+∠BEC＝135度．【思路引领】如图，过点B作BF⊥BC，且BF＝AE＝CD，连接AF，则AFBE为平行四边形．就有∠BFA＝∠AEB，证明△BDF≌△CAD，∠BFD＝∠ADC，DF＝DA，得△ADF为等腰直角三角形，则∠AFD＝45°，由∠AEB+∠BEC＝180°，就有∠AFB+∠BEC＝180°，得出∠BFD+∠DFA+∠BEC＝180°，就可以得出∠ADC+∠AFD+∠BEC＝180°，进而得出∠ADC+∠BEC＝135°．【解答】解：如图，过点B作BF⊥BC，且BF＝AE＝CD，连接AF，∠FBC＝90°∵∠C＝90°，∴AC⊥BC，∠FBC＝∠DCA．∴BF∥AC，∴四边形AFBE为平行四边形．∴∠BFA＝∠AEB．在△BDF和△CAD中，BF=CD∠FBC=∠DCA∴△BDF≌△CAD（SAS）．∴∠BFD＝∠ADC，∠BDF＝∠DAC，DF＝DA．∵∠ADC+∠DAC＝90°，∴∠ADC+∠BDF＝90°，∴∠ADF＝90°，∴∠DFA＝∠DAF＝45°．∵∠AEB+∠BEC＝180°，∴∠AFB+∠BEC＝180°，∴∠BFD+∠DFA+∠BEC＝180°，∴∠ADC+∠AFD+∠BEC＝180°，∠ADC+∠BEC＝135°．故答案为：135．【总结提升】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，平角的性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．12．（2021•开江县模拟）如图所示，在等腰△ABC中，延长边AB到点D，延长边CA到点E，连接DE，恰有AD＝BC＝CE＝DE．求证：∠BAC＝100°．【思路引领】过D作DF∥BC，且使DF＝BC，连CF、EF，则四边形BDFC是平行四边形，根据平行四边形的性质可得到BD＝CF，DA∥FC，再利用SAS判定△ADE≌△CEF，根据全等三角形的性质可得到ED＝EF，从而可推出△DEF为等边三角形，∠BAC＝x，则∠ADF＝∠ABC=180°−x2，根据三角形内角和定理可分别表示出∠ADE，∠ADF，根据等边三角形的性质不难证明∠【解答】解：∵AD＝BC，说明AB不等于BC，BC＝CE，说明BC不等于AC∴在等腰△ABC中，AB＝AC，过D作DF∥BC，且使DF＝BC，连CF、EF，则四边形BDFC是平行四边形，∴BD＝CF，DA∥FC，∴∠EAD＝∠ECF，∵AD＝CE，由题意知AB＝AC，∴AE＝BD＝CF，在△ADE和△CEF中AD=CE∠EAD=∠ECF∴△ADE≌△CEF（SAS）∴ED＝EF，∵ED＝BC，BC＝DF，∴ED＝EF＝DF∴△DEF为等边三角形设∠BAC＝x，则∠ADF＝∠ABC=180°−x∴∠DAE＝180°﹣x，∴∠ADE＝180°﹣2∠DAE＝180°﹣2（180°﹣x）＝2x﹣180°，∵∠ADF+∠ADE＝∠EDF＝60°∴180°−x2+（2∴x＝100°．∴∠BAC＝100°．【总结提升】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行四边形的判定与性质及全等三角形的判定与性质的综合运用．（二）求线段的长或图形的周长13．（2023春•自贡期末）如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG＝10．【思路引领】连接对角线BD，交AC于点O，证四边形BDEG是平行四边形，得EG＝BD，利用勾股定理求出OD的长，BD＝2OD，即可求出EG．【解答】解：连接BD，交AC于点O，如图：∵菱形ABCD的边长为13，点E、F分别是边CD、BC的中点，∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝DA＝13，EF∥BD，∵AC、BD是菱形的对角线，AC＝24，∴AC⊥BD，AO＝CO＝12，OB＝OD，又∵AB∥CD，EF∥BD，∴DE∥BG，BD∥EG，∴四边形BDEG是平行四边形，∴BD＝EG，在△COD中，∵OC⊥OD，CD＝13，CO＝12，∴OB＝OD=1∴BD＝2OD＝10，∴EG＝BD＝10；故答案为：10．【总结提升】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质及勾股定理等知识；熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．14．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，对角线AC⊥BD，且AC＝52，则梯形ABCD的上下底的和为10．【思路引领】首先求出△ACE是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的直角边的长求得斜边的长，从而求得答案．【解答】解：过C作CE∥BD交AB的延长线于E，∵AB∥CD，CE∥BD，∴四边形DBEC是平行四边形，∴CE＝BD，BE＝CD∵等腰梯形ABCD中，AC＝BD∴CE＝AC∵AC⊥BD，CE∥BD，∴CE⊥AC∴△ACE是等腰直角三角形，∵AC＝52，∴AE＝AB+BE＝AB+CD=2AC故答案为：10．【总结提升】本题考查了梯形的中位线定理，牢记定理是解答本题的重点，难点是题目中的辅助线的做法．15．（2023秋•长春期末）【问题探究】如图，六边形ABCDEF的六个内角均为120°，分别延长CB、FA交于点G，得到△ABG．请判断△ABG的形状，并证明你的结论．【结论应用】若AB＝3，BC＝5，CD＝4，DE＝1，直接写出六边形ABCDEF的周长为22．【思路引领】【问题探究】根据等边三角形的判定得出△ABG是等边三角形即可；【结论应用】延长CD和FE交于点H，证得四边形CGFH是平行四边形，求出周长即可．【解答】解：【问题探究】△ABG是等边三角形．∵六边形ABCDEF的六个内角均为120°，∴∠CBA＝∠BAF＝120°，∴∠GBA＝∠BAG＝60°，∴∠G＝60°，∴△ABG是等边三角形；【结论应用】延长CD和FE交于点H，由【问题探究】可得△DEH是等边三角形，∴DE＝DH＝HE＝1，∴CH＝CD+DE＝5，∵△ABG是等边三角形，∴BG＝AB＝AG＝3，∴CG＝BC+AB＝8，∵六边形ABCDEF的六个内角均为120°，∴∠C＝∠F＝120°，∵∠G＝60°，∴∠C+∠G＝180°，∠F+∠G＝180°，∴CH∥GF，CG∥HF，∴四边形CGFH是平行四边形，∴GF＝CH＝5，CG＝HF＝8，∴六边形ABCDEF的周长为：（5+8）×2﹣3﹣1＝22．故答案为：22．【总结提升】本题考查了等边三角形的判定和性质以及平行四边形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造平行四边形．（三）求三角形的面积16．（2023春•姜堰区期中）如图，在△ABC中，已知∠BDC＝∠EFD，∠AED＝∠ACB．（1）试判断∠DEF与∠B的大小关系，并说明理由；（2）若D、E、F分别是AB、AC、CD边上的中点，S△DEF＝4，求S△ABC．【思