人教版高中数学选择性必修第一册1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题精讲精练同步训练

人教版高中数学选择性必修第一册1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题精讲精练同步训练【考点梳理】考点一：空间向量中的距离问题1.点P到直线l的距离已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量为eq\o(AQ,\s\up6(→))＝a，则点P到直线l的距离为eq\r(a2－a·u2)2.点P到平面α的距离设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)．考点二：空间向量中的夹角问题角的分类向量求法范围两条异面直线所成的角设两异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))直线与平面所成的角设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\f(|u·n|,|u||n|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))两个平面的夹角设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))【题型归纳】题型一：点到平面的距离的向量求法1．如下图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，CA＝2，D是CC1的中点，试问在A1B上是否存在一点E，使得点A1到平面AED的距离为？2．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点．（1）求点M到直线AC1的距离；（2）求点N到平面MA1C1的距离．题型二：平行平面的距离的向量求法3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，点M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，（1）证明：平面AMN∥平面EFBD；（2）求平面AMN与平面EFBD间的距离．4．在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC为正三角形，且侧棱AA1⊥底面ABC，且底面边长与侧棱长都等于2，O，O1分别为AC，A1C1的中点，求平面AB1O1与平面BC1O间的距离.题型三：异面直线夹角的向量求法5．如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）中，，，棱，为的中点.（1）求的长；（2）求与所成角的余弦值.6．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，BD的中点，点G在CD上，且CG＝CD.（1）求证：EF⊥B1C；（2）求EF与C1G所成角的余弦值.题型四：线面角的向量求法7．如图，在多面体中，平面，点到平面的距离为，是正三角形，，．

（1）证明：．（2）求直线与平面所成角的正弦值.8．如图，在四棱锥中，平面平面，底面四边形为直角梯形，，，，，为线段的中点，过的平面与线段，分别交于点，.（1）求证：；（2）若为棱上靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的正弦值.题型五：面面角的向量9．如图1，在平面四边形ABCD中，BC⊥AC，CD⊥AD，∠DAC=∠CAB=，AB=4，点E为AB的中点，M为线段AC上的一点，且ME⊥AB.沿着AC将△ACD折起来，使得平面ACD⊥平面ABC，如图2.（1）求证∶BC⊥AD；（2）求二面角A-DM-E的余弦值.10．如图，在四棱柱中，平面，，，，，若与交于点，点在上，且．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值．【双基达标】11．在正四棱柱中，AB=2，过、、B三点的平面截去正四棱柱的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为，点P，Q分别是和AC的中点.（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求直线C1D与平面所成角的大小.（用反三角函数表示）12．如图，在矩形中，，E为边上的点，，以为折痕把折起，使点C到达点P的位置，且使二面角为直二面角，三棱锥的体积为.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.13．直角梯形绕直角边旋转一周的旋转的上底面面积为，下底面面积为，侧面积为，且二面角为，，分别在线段，上．（Ⅰ）若，分别为，中点，求与所成角的余弦值；（Ⅱ）若为上的动点、为的中点，求与平面所成最大角的正切值，并求此时二面角的余弦值．14．如图，在三棱锥中，平面平面，是等边三角形，已知，.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.15．已知四棱锥，底面为平行四边形，，，，，．（Ⅰ）若平面平面，证明：；（Ⅱ）求二面角的余弦值．16．如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面平面，点为的中点，.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）求点到直线的距离；（4）设为线段上的点，且，求直线和平面所成角的正弦值.【高分突破】17．如图，四边形ABCD是矩形，，E是AD的中点，BE与AC交于点F，GF⊥平面ABCD；（1）求证：AF⊥平面BEG；（2）若，求直线EG与平面ABG所成的角的正弦值.18．如图，四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，E是CD的中点，D1E⊥CD，AB＝2BC＝2．（1）求证：平面CC1D1D⊥底面ABCD；（2）若平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为，求线段ED1的长度．19．如图，在中，．O为的外心，平面，且．（1）求证：平面；（2）设平面平面；若点M在线段上运动，且，当直线l与平面所成角取最大值时，求的值20．如图，在三棱台中，，、分别为、中点.（1）求证：平面；（2）若，且平面，令二面角的平面角为，求.21．在四棱锥中，底面为梯形，，，侧棱底面，E为侧棱上一点，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值．22．如图，正三棱柱的所有棱长都为2，为的中点．（1）求与所成角的余弦值．（2）求证：平面．（3）求平面与平面的夹角的正弦值．23．如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；24．如图，在三棱锥中，平面平面，，，．（1）证明：．（2）若为的中点，为上一点，，求直线与平面所成角的正弦值．25．如图，已知为圆锥底面的直径，点在圆锥底面的圆周上，，，平分，是上一点，且平面平面.（1）求证：；（2）求二面角的平面角的余弦值.26．如图，在三棱柱中，平面，，.（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的大小；（3）点在线段上，且，试问在线段上是否存在一点，满足平面，若存在，求的值，若不存在，请说明理由？【答案详解】1．解：如图以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴和z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，A1(2，0，2)，D(0，0，1)，B(0，2，0)，设＝λ，λ∈[0，1)，则E(2λ，2(1－λ)，2λ)．又＝(－2，0，1)，＝(2(λ－1)，2(1－λ)，2λ)，设为平面AED的法向量，则⇒取x＝1，则y＝，z＝2，即，由于d＝＝，∴＝，又λ∈(0，1)，解得λ＝，所以，存在点E且当点E为A1B的中点时，A1到平面AED的距离为.2．由题意，分别以为x、y、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，M(2，0，1)，C1(0，2，2)，（1）直线AC1的一个单位方向向量为，，故点M到直线AC1的距离.（2）设平面MA1C1的法向量为，则,即不妨取x＝1，得z＝2，故为平面MA1C1的一个法向量，因为N(1，1，0)，所以,故N到平面MA1C1的距离.3．（1）证明：如图所示，建立空间直角坐标系，则A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4)．从而＝(2，2，0)，＝(2，2，0)，＝(－2，0，4)，＝(－2，0，4)，所以，，所以EF∥MN，AM∥BF．又平面EFBD，平面EFBD，所以MN∥平面EFBD，平面EFBD，平面EFBD，所以AM∥平面EFBD，因为MN∩AM＝M，所以平面AMN∥平面EFBD；（2）解：因为平面AMN∥平面EFBD，所以点B到平面AMN的距离即为平面AMN与平面EFBD间的距离．设是平面AMN的法向量，则有即，可取，由于＝(0，4，0)，所以点B到平面AMN的距离为，所以平面AMN与平面EFBD间的距离为．4．.如图，连接OO1，则，且所以四边形为平行四边形，所以AO1OC1，平面BC1O，平面BC1O，所以平面BC1O，又OBO1B1，平面BC1O，平面BC1O，所以平面BC1O，又AO1O1B1＝O1，所以平面AB1O1平面BC1O.∴平面AB1O1与平面BC1O间的距离即为点O1到平面BC1O的距离.根据题意，OO1⊥底面ABC，，两两垂直.则以O为原点，分别以OB，OC，OO1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.∵O(0,0,0)，，C1(0,1,2)，O1(0,0,2)，设为平面BC1O的法向量，则即取可得点O1到平面BC1O的距离记为d，则d＝＝＝.∴平面AB1O1与平面BC1O间的距离为.5．如图，以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.（1）依题意得、，因此，，因此，线段的长为；（2）依题意得、、、，，，所以，，故与所成角的余弦值为.6．以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz.则E（），，（1）∵，，∵，（2）由（1）知，∴，，，设EF与C1G所成角为，则故EF与C1G所成角的余弦值为7．（1）证明：如图，取的中点，连接，．

，，且，就是点到平面的距离，即平面平面，，又，四边形是平行四边形，是正三角形，，．（2）解：由（1）得平面，以为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，设平面的法向量为，，，，则由得，令，得．设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值．8．（1）∵，，为的中点，∴且，∴四边形为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面，∵平面，平面平面，∴.（2）∵，∴，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，分别以，，所在的直线为，，轴，建立直角坐标系，如图所示，则，，，，，∴，，，设平面的法向量为，则，，即，令，则，∴直线与平面所成角的正弦值.9．（1）∵平面ACD⊥平面ABC.平面ACD∩平面ABC=AC，BC⊥AC，∴BC⊥平面ACD，∵AD平面ACD，∴BC⊥AD.（2）根据题意，以C为原点，CA，CB所在直线分别为x，y轴建立如图的空间直角坐标系，∵BC⊥AC，CD⊥AD，∠DAC=∠CAB=，AB=4，∴BC=2，AC=，CD=，CM=AC-AM=.∴，∴，，设平面MDE的法向量为，则，即，令，得y=3，z=-1，∴，由（1）知，平面MAD的一个法向量为=（0，2，0），∴.∴二面角A-DM-E的余弦值为.10（1）由可得，，又，即，，又平面，平面，平面.（2）如图，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．则，，，，，则，，，设平面的法向量为，由，可得，取，可得，设平面的法向量为，由，可得，取，可得，由图可知两平面所成的角为锐角，余弦值为.11．（1）设正四棱柱的高为，因为几何体的体积为，所以，解得，即，所以正四棱柱为正方体.所以连接与，则交点为，连接与，则交点为，在正方体中，，所以为异面直线与所成的角或所成角的补角.因为,所以面,又因为面,所以，在中，，所以，因为，所以，即异面直线与所成角为.（2）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，,设面的法向量为，则，即，取，所以，设直线C1D与平面所成角为，则，所以，即直线C1D与平面所成角为.12．（1）由，设的中点为O，连接，则，又二面角为直二面角，故平面，设，则，又，得三棱锥的体积，即，得，于是由，所以，所以，又平面平面，得平面，则，又，且，所以平面，又平面，故平面平面.（2）以的中点O为坐标原点，以的方向为z轴正方向，过点O分别作和的平行线，分别为x轴和y轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，设为平面的法向量，则有，即，可取，设为平面的法向量，则有，即，可取，所以，由图形知二面角为钝角，其余弦值为.13．（Ⅰ）设圆台上、下底面半径分别为，．∵，∴；∵，∴．∵，∴．过点作于点，则，，∴圆台的高为．∵二面角是直二面角，∴建立空间直角坐标系如图所示，点，，，，，∴，∴与所成角的余弦值为．（Ⅱ）取的中点，连接，，，∴，则．∵平面，∴平面，∴为直线与平面所成角，，当时，最小，最大．在中，，，，，，即与平面所成最大角的正切值为．又点，，，，设点，平面的法向量，，，即，∴，则，，，即，解得，．即令得．易知平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，则．由图易得二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为．14．（1）在中，因为，，，所以，故.又平面平面，平面平面，面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）以所在直线为轴，所在直线为y轴，过点垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，设平面的法向量，由可得，令，则，，所以，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.15．（Ⅰ）证明：因为底面为平行四边形，所以．又平面，平面，所以平面．又因为平面平面，根据线面平行的性质定理，，所以．（Ⅱ）由题意得，，，所以，，．又，所以平面．因为，所以平面．又，所以，，两两垂直．以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则点，，，，，所以，，．设平面的法向量为，则令，则，，则一个法向量．设平面的法向量为，则令，则，，则一个法向量，则．由图易得二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为．16．（1）证明：取的中点，连接，，因为四边形为矩形，则且，因为，分别是，的中点，则且，又是正方形的中心，则，所以且，则四边形是平行四边形，故，又平面，平面，故平面；（2）解：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，所以，，设平面的法向量为，则，即，不妨令，则，因为平面，则平面的一个法向量为，所以，则二面角的正弦值为；（3）解：因为，，，则，，所以，所以点到直线的距离为；（4）解：因为，则，设，则，解得，故，所以，故直线和平面所成角的正弦值为.17．（1）因为且，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，又因为平面，平面，所以，又，所以平面；（2）据题意，建立空间直角坐标系如下图所示：因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，设平面的一个法向量为，，由可得，取，所以，设直线与平面所成角大小为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.18．（1）证明：因为底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，所以AD⊥CD，AD⊥DD1，又CD∩DD1＝D，CD，DD1⊂平面CDD1C1，所以AD⊥平面CDD1C1，又D1E⊂平面CDD1C1，所以AD⊥D1E，又CD⊥D1E，且CD∩AD＝D，CD，AD⊂平面ABCD，故D1E⊥平面ABCD，又D1E⊂平面CC1D1D，则平面CC1D1D⊥平面ABCD；（2）解：取AB得中点F，连结EF，则四边形EFBC为正方形，所以EF⊥CD，故以E为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设D1E＝a，则E（0，0，0），F（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），C1（0，2，a），所以，设平面BCC1B1的法向量为，则有，即，令z＝1，则，因为FC⊥BE，又FC⊥D1E，BE∩D1E＝E，BE，D1E⊂平面BED1，所以FC⊥平面BED1，故为平面BD1E的一个法向量，所以，因为平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为，，解得a＝1，所以D1E＝1．19．（1）如图，连接，交于点D，O为的外心，，所以，所以故和都为等边三角形，即四边形为菱形，所以又平面，平面，所以平面．（2）由（1）同理可知因为平面，平面，平面平面，所以．如图所示：以点D为原点，和垂直平面的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则．设所以设平面的法向量为．，得，令得．所以直线l与平面所成角的正弦值为：，即当即点M是线段的中点时，直线l与平面所成角取最大值．20．（1）连接，设，连接，由三棱台知，，，，，且.为的中点，故且，故四边形为平行四边形，因为，则为的中点，又因为为的中点，故，因为平面，平面，故平面；（2）因为平面，平面，故，因为，，平面，因为，故平面，，为的中点，故，以点为坐标原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，设是平面的一个法向量，则，令，则，，则，，，设是平面的一个法向量，则，令，则，，，所以，所以，.21．解：（Ⅰ）证明：连结相交于点O，连结．在梯形中，∵，可得，∴，又已知，则在中，，∴．又底面，∴底面，则平面平面；（Ⅱ）由题知，底面，，四边形为等腰梯形，以点A为坐标原点，为y轴，为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，设平面的法向量为，由可得，取，则，又．∴，即直线与平面所成角的正弦值