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文档简介

江西省九江市2024-2025学年高三4月模拟考试数学试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知曲线的一条对称轴方程为,曲线向左平移个单位长度,得到曲线的一个对称中心的坐标为,则的最小值是()A. B. C. D.2.已知实数,满足,则的最大值等于()A.2 B. C.4 D.83.已知直线y=k(x﹣1)与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,直线y=2k(x﹣2)与抛物线D:y2=8x交于M,N两点,设λ=|AB|﹣2|MN|,则()A.λ<﹣16 B.λ=﹣16 C.﹣12<λ<0 D.λ=﹣124.为了研究国民收入在国民之间的分配,避免贫富过分悬殊,美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线,如图所示.劳伦茨曲线为直线时,表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线时,表示收入完全不平等.记区域为不平等区域,表示其面积,为的面积,将称为基尼系数.对于下列说法:①越小,则国民分配越公平;②设劳伦茨曲线对应的函数为,则对,均有;③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为,则;④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为,则.其中正确的是:A.①④ B.②③ C.①③④ D.①②④5.本次模拟考试结束后,班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表,若化学排在生物前面,数学与物理不相邻且都不排在最后,则不同的排表方法共有()A.72种 B.144种 C.288种 D.360种6.已知集合,则()A. B. C. D.7.已知函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象,则的最小值为()A. B. C. D.8.已知函数,若函数的图象恒在轴的上方,则实数的取值范围为()A. B. C. D.9.已知,,则()A. B. C.3 D.410.在中,,则=()A. B.C. D.11.已知函数的最大值为,若存在实数,使得对任意实数总有成立,则的最小值为()A. B. C. D.12.执行如图所示的程序框图,如果输入,则输出属于()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.某次足球比赛中,,,,四支球队进入了半决赛.半决赛中,对阵,对阵,获胜的两队进入决赛争夺冠军,失利的两队争夺季军.已知他们之间相互获胜的概率如下表所示.获胜概率—0.40.30.8获胜概率0.6—0.70.5获胜概率0.70.3—0.3获胜概率0.20.50.7—则队获得冠军的概率为______.14.边长为2的正方形经裁剪后留下如图所示的实线围成的部分,将所留部分折成一个正四棱锥.当该棱锥的体积取得最大值时,其底面棱长为________.15.若,则=____,=___.16.已知两点,,若直线上存在点满足,则实数满足的取值范围是__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图所示,已知平面,,为等边三角形,为边上的中点,且.(Ⅰ)求证:面;(Ⅱ)求证:平面平面;(Ⅲ)求该几何体的体积.18.(12分)已知椭圆()的半焦距为,原点到经过两点,的直线的距离为.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)如图,是圆的一条直径,若椭圆经过,两点,求椭圆的方程.19.(12分)已知抛物线的焦点为,准线与轴交于点,点在抛物线上,直线与抛物线交于另一点.(1)设直线,的斜率分别为,,求证:常数;(2)①设的内切圆圆心为的半径为,试用表示点的横坐标;②当的内切圆的面积为时,求直线的方程.20.(12分)已知的内角,,的对边分别为,,,.(1)若,证明:.(2)若,,求的面积.21.(12分)某芯片公司为制定下一年的研发投入计划,需了解年研发资金投入量x(单位:亿元)对年销售额y(单位:亿元)的影响.该公司对历史数据进行对比分析,建立了两个函数模型:①y=α+βx2,②y=eλx+t,其中现该公司收集了近12年的年研发资金投入量xi和年销售额yi的数据,i=1,2,⋯,12,并对这些数据作了初步处理,得到了右侧的散点图及一些统计量的值.令xyi=1i=1uv20667702004604.20i=1i=1i=1i=13125000215000.30814(1)设ui和yi的相关系数为r1,xi和(2)(i)根据(1)的选择及表中数据,建立y关于x的回归方程(系数精确到0.01);(ii)若下一年销售额y需达到90亿元,预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元?附:①相关系数r=i=1n(xi-x②参考数据:308=4×77,90≈9.4868,e22.(10分)已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若函数的定义域为,求实数的取值范围.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】

在对称轴处取得最值有,结合,可得,易得曲线的解析式为,结合其对称中心为可得即可得到的最小值.【详解】∵直线是曲线的一条对称轴.,又..∴平移后曲线为.曲线的一个对称中心为..,注意到故的最小值为.故选:C.本题考查余弦型函数性质的应用,涉及到函数的平移、函数的对称性,考查学生数形结合、数学运算的能力,是一道中档题.2.D【解析】

画出可行域,计算出原点到可行域上的点的最大距离,由此求得的最大值.【详解】画出可行域如下图所示,其中,由于,,所以,所以原点到可行域上的点的最大距离为.所以的最大值为.故选:D本小题主要考查根据可行域求非线性目标函数的最值,考查数形结合的数学思想方法,属于基础题.3.D【解析】

分别联立直线与抛物线的方程,利用韦达定理,可得,,然后计算,可得结果.【详解】设,联立则,因为直线经过C的焦点,所以.同理可得,所以故选:D.本题考查的是直线与抛物线的交点问题,运用抛物线的焦点弦求参数,属基础题。4.A【解析】

对于①,根据基尼系数公式,可得基尼系数越小,不平等区域的面积越小,国民分配越公平,所以①正确.对于②,根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线,由图得,均有,可得,所以②错误.对于③,因为,所以,所以③错误.对于④,因为,所以,所以④正确.故选A.5.B【解析】

利用分步计数原理结合排列求解即可【详解】第一步排语文,英语,化学,生物4种,且化学排在生物前面,有种排法;第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个,有种排法,所以不同的排表方法共有种.选.本题考查排列的应用,不相邻采用插空法求解,准确分步是关键,是基础题6.B【解析】

计算,再计算交集得到答案【详解】,表示偶数,故.故选:.本题考查了集合的交集,意在考查学生的计算能力.7.A【解析】

首先求得平移后的函数,再根据求的最小值.【详解】根据题意,的图象向左平移个单位后,所得图象对应的函数,所以,所以.又,所以的最小值为.故选:A本题考查三角函数的图象变换,诱导公式,意在考查平移变换,属于基础题型.8.B【解析】

函数的图象恒在轴的上方,在上恒成立.即,即函数的图象在直线上方,先求出两者相切时的值,然后根据变化时,函数的变化趋势,从而得的范围.【详解】由题在上恒成立.即,的图象永远在的上方,设与的切点,则,解得,易知越小,图象越靠上,所以.故选:B.本题考查函数图象与不等式恒成立的关系,考查转化与化归思想,首先函数图象转化为不等式恒成立,然后不等式恒成立再转化为函数图象,最后由极限位置直线与函数图象相切得出参数的值,然后得出参数范围.9.A【解析】

根据复数相等的特征,求出和,再利用复数的模公式,即可得出结果.【详解】因为,所以,解得则.故选:A.本题考查相等复数的特征和复数的模,属于基础题.10.B【解析】

在上分别取点,使得,可知为平行四边形,从而可得到,即可得到答案.【详解】如下图,,在上分别取点,使得,则为平行四边形,故,故答案为B.本题考查了平面向量的线性运算,考查了学生逻辑推理能力,属于基础题.11.B【解析】

根据三角函数的两角和差公式得到,进而可以得到函数的最值,区间(m,n)长度要大于等于半个周期,最终得到结果.【详解】函数则函数的最大值为2,存在实数,使得对任意实数总有成立,则区间(m,n)长度要大于等于半个周期,即故答案为:B.这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用,以及三角函数的图像的性质的应用,题目比较综合.12.B【解析】

由题意,框图的作用是求分段函数的值域,求解即得解.【详解】由题意可知,框图的作用是求分段函数的值域,当;当综上:.故选:B本题考查了条件分支的程序框图,考查了学生逻辑推理,分类讨论,数学运算的能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.0.18【解析】

根据表中信息,可得胜C的概率;分类讨论B或D进入决赛,再计算A胜B或A胜C的概率即可求解.【详解】由表中信息可知,胜C的概率为;若B进入决赛,B胜D的概率为,则A胜B的概率为;若D进入决赛,D胜B的概率为,则A胜D的概率为;由相应的概率公式知,则A获得冠军的概率为.故答案为:0.18本题考查了独立事件的概率应用,互斥事件的概率求法,属于基础题.14.【解析】

根据题意,建立棱锥体积的函数,利用导数求函数的最大值即可.【详解】设底面边长为,则斜高为,即此四棱锥的高为,所以此四棱锥体积为,令,令,易知函数在时取得最大值.故此时底面棱长.故答案为:.本题考查棱锥体积的求解,涉及利用导数研究体积最大值的问题,属综合中档题.15.12821【解析】

令,求得的值.利用展开式的通项公式,求得的值.【详解】令,得.展开式的通项公式为,当时,为,即.本小题主要考查二项式展开式的通项公式,考查赋值法求解二项式系数有关问题,属于基础题.16.【解析】

问题转化为求直线与圆有公共点时,的取值范围,利用数形结合思想能求出结果.【详解】解:直线,点,,直线上存在点满足,的轨迹方程是.如图,直线与圆有公共点,圆心到直线的距离:,解得.实数的取值范围为.故答案为:.本题主要考查直线方程、圆、点到直线的距离公式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析;(Ⅲ).【解析】

(I)取的中点,连接,通过证明四边形为平行四边形,证得,由此证得平面.(II)利用,证得平面,从而得到平面,由此证得平面平面.(III)作交于点,易得面,利用棱锥的体积公式,计算出棱锥的体积.【详解】(Ⅰ)取的中点,连接,则,,故四边形为平行四边形.故.又面,平面,所以面.(Ⅱ)为等边三角形,为中点,所以.又,所以面.又,故面,所以面平面.(Ⅲ)几何体是四棱锥,作交于点,即面,.本小题主要考查线面平行的证明,考查面面垂直的证明,考查四棱锥体积的求法,考查空间想象能力,所以中档题.18.(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】试题分析:(1)依题意,由点到直线的距离公式可得,又有,联立可求离心率;(2)由(1)设椭圆方程,再设直线方程,与椭圆方程联立,求得,令,可得,即得椭圆方程.试题解析:(Ⅰ)过点的直线方程为,则原点到直线的距离,由,得,解得离心率.(Ⅱ)由(1)知,椭圆的方程为.依题意,圆心是线段的中点,且.易知,不与轴垂直.设其直线方程为,代入(1)得.设,则,.由,得,解得.从而.于是.由,得,解得.故椭圆的方程为.19.(1)证明见解析;(2)①;②.【解析】

(1)设过的直线交抛物线于,,联立,利用直线的斜率公式和韦达定理表示出,化简即可;(2)由(1)知点在轴上,故,设出直线方程,求出交点坐标,因为内心到三角形各边的距离相等且均为内切圆半径,列出方程组求解即可.【详解】(1)设过的直线交抛物线于,,联立方程组,得:.于是,有:,又,;(2)①由(1)知点在轴上,故,联立的直线方程:.,又点在抛物线上,得,又,;②由题得,(解法一)所以直线的方程为(解法二)设内切圆半径为,则.设直线的斜率为,则:直线的方程为:代入直线的直线方程,可得于是有:得,又由(1)可设内切圆的圆心为则,即:,解得:所以,直线的方程为:.本题主要考查了抛物线的性质,直线与抛物线相关的综合问题的求解,考查了学生的运算求解与逻辑推理能力.20.(1)见解析(2)【解析】

(1)由余弦定理及已知等式得出关系,再由正弦定理可得结论;(2)由余弦定理和已知条件解得,然后由面积公式计算.【详解】解:(1)由余弦定理得,由得到,由正弦定理得.因为,,所以.(2)由题意及余弦定理可知,①由得,即,②联立①②解得,.所以.本题考查利用正余弦定理解三角形.考查三角形面积公式,由已知条件本题主要是应用余弦定理求出边.解题时要注意对条件的分析,确定选用的公式.21.(1)模型y=eλx+t的拟合程度更好;(2)(i)v=0.02x+3.84【解析】

(1)由相关系数求出两个系数,比较大小可得;(2)(i)先建立U额R0关于x的线性回归方程,从而得出y(ii)把y=90代入(i)中的回归方程可得x值.【详解】本小题主要考查回归分析等基础

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