2024年高考数学二模试题分类汇编（广东专用）平面向量（三大题型原卷版）

2024年高考数学二模试题分类汇编（广东专用）专题05平面向量（三

大题型原卷版）

专题05平面向量

3萍31

亚

B-+而

----44-

4

-石

11

瓦

4石

4-.-

2.（2024•广东河源.模拟顺测）如图，在平行四边形一"8中，"为5c的靠近点C的三等分点，.4C

与A/D相交于点尸，若4P=x43+jJD,则邛'=（）

34

C'4D'9

16

3.（2024.广东肇庆模拟预测）已知等边三角形.45。的边长为2,尸为的中心，PE±AC,

垂足为E,贝”苑=（）

1—2——1—1——)UUD1UUEI

A.一一AB^-ACB.丁百萍D.-±AB^-AC

333633

4.（2024广东梅州模拟预测）在一山C中,而+2①=6贝I（)

—2—1——1—4—

A..4D=-AB+-ACB.AD=-AB+-AC

3355

—1—2—

C..4D=-AB^-ACD.AD=AB——AC

333

题型02平面向量僦遑积运算

1.（2024广东佛山.二模）已知£与否为两个不共线的单位向量，则（)

A.a+“laB.a±(a-b)

若（瓦

c.若,处=不则收。㈤弋D.4+4%贝U1㈤=3

2.（2024.广东.模拟顺测）已知.4Q0）,3（0-1）,P是曲线丁=小孑上一个动点，则丽.丽的最

大值是（）

A.2B.2&C.0+2D.72+1

3.（2024广东深圳模拟预测）在“5。中，|•明=4,国|=3,陛+刀卜瓯则就.前=（）

A.-16B.16C.-9D.9

4.（2024.广东深圳二模）已知是夹角为12y的两个单位向量，若向量£+2%在向量々上的投影

向量为工，则2=（）

A.-2B.2C.-殛D.毡

33

5.（2024.广东东莞模拟预测）已知非零向量瓦5满足同=1万若2>0,〃>0,贝卜父+422"

是“曲・固+5）=1"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.（2024•广东东莞•二模）在-L5C中，AB=XC=2,BC=24,点尸在线段BC上•当画.丽取得

最小值时，PA=（）

A.®B.包C.1D.2

2244

7.（2024广东清远.二模）已知向量满足|石［21=（2,0）,且|£+否卜2,则GJ〉=（）

兀兀2兀5兀

A—R—C—D——

6336

8.（2024•广东江门•二模）在d4BC中,乙4cB=90。，NC=a,BC="，尸是“5C内一点,PA=PC,

目zLPBC的面积是△R4C的面积的2倍，则可.而=（）

",

常

至-£

-4_-4

2

B.16至

16京

AJ.42

-D.4

十-+-

164164

9.（2024•广东珠海模拟预测）已知向量同=2同=24£3=2,则8S<Z,H>=（）

A.—B.需C.叵D.姮

113T3311

10.（2024.广东韶关.二模）已知平面向量五£不均为单位向量，且S+5|=1,则向量不与g的夹角

为,W+外,一口的最小值为.

11.（2024.广东深圳.模拟预测）若西客是两个夹角为120°的单位向量，则向量%-3»在向量3+'

方向上的投影向量为.

题型03平面向量的坐标表示及运算

1.（2024广东珠海.二模〉已知3=（1$，*=（-2,2）,则8so-丽=<）

A.立B_C.-J-D.-1

2222

2.（2024•广东惠州模拟预测）已知向量方与6的夹角为60。，且］=&不），恸=1，则卜-34=（）

A.小D.26

3.（2024.广东中山.二模）已知向量lie在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的

边长为1,则（）

4.（2024.广东河源.模拟预测）已知菱形-458的边长为2,N4BC=60,动点尸在5c边上（包括端

点），则石.刀的取值范围是（）

A.[0,1]B.[-1,2]C.[-2,2]D.[<1]

5.（2024.广东模拟预测）（多选）如图所示，在边长为3的等边三角形X5C中，AD=jAC,且点

P在以AD的中点。为圆心，。4为半径的半圆上，若丽=xBA+yBC,则下列说法正确的有（）

BC

一1-2—.............13

A.BD=-BA+-BCB.BDB0=—

332

C.而庆存在最大值D.x+丁的最小值为浮+1

6.(2024•广东湛江•二模)若向量1=(-3,-1),b=(x,x-6),£〃"则》=,.

7.(2024广东.模拟顺测)已知。为"5C的外接圆圆心，且割友=1,阿卜1.设实数Z〃满足

22

AO=AAB+^AC)则丁的取值范围为______-

Z/Z-1

8.(2024广东深圳•模拟预测)在平面直角坐标系中，已知点4(1.2)、3(-2T),E、尸是直线丁=X+3

上的两个动点，且声外=3啦，则工作而的最小值为.

9.(2024•广东东莞模拟预测)已知而=(久办方=(2,-1)/=(-3,4),若

(m+n)ll(n+p),(2m-n)J.(ii-2p),则"=.

10.(2024.广东清远模拟预测)已知向量1=b=(8S*,3),若日底,则锐角，的值

是•

11.(2024•广东江门模拟预测)设向量£=(1,町5=(31),且区“同何，贝%=.

专题06数列

amoi等差数例厘本量运算

1.（2024•广东•二模）设等差数列｛兄｝的前”项和为其，若q=1,邑=3S,+£,则4=（）

A.-5B.-7C.5D.7

2.（2024.广东偏山模拟预测〉设等差数列｛兄｝,也｝的前”项和分别为5.，J若对任意正整数”

4-5-2w-3,a.4

都有7rg，则初工+会=（）

351919必,日

A，7B-21C-41D-40E.均不JE

3.（2024.广东中山.模拟预测）在等差数列｛吗中，4+4=24必=15,则4=（）

A.4B.5C.6D.8

4.（2024.广东清远.二模）已知数列｛4｝为等差数列，q+&+&=9,&+q=10,则q=（）

A.5B.6C.7D.8

5.（2024・广东肇庆•二模）记等差数歹i]｛6｝的前〃项和为邑,4+生=4M,=22,贝屿「邑=（）

A.14B.72C.36D.60

6.（2024.广东.模拟预测）已知数列｛4｝满足：q=4=40,且数列｛曰凡｝为等差数列，贝必m=（）

A.10B.40C.100D.103

7.（2024.广东河源•模拟预测）若等差数列｛4｝的前”项和为S,且满足S*>0,Sg<0,对任意

正整数〃，都有切惮上|，则洲的值为（）

A.21B.22C.23D.24

S13S

8.（2024广东深圳.模拟顺测〉设S*是等差数列｛公｝的前”项和，若£=五，则京=.

9.（2024•广东深圳•模拟预测）设包｝是等比数列，目4+勾+4=1,6+4+4=2,则

&+4+a,=.

10.（2024.广东河源模拟预测）设等差数列｛?｝的前"项和为Sm«=-8,2g=3&+6,则

ax=・

题型02等比数多厘本量运算

1.（2024.广东.模拟预测）已知等比数列包｝的前"项和为S”，旦q+4=1,&+&=4,则工=（）

A.9B.16C.21D.25

2.（2024广东东莞.模拟预测）设正项等比数列｛2｝的前"项和为工，4=1,目Y,,4,4成等

差数列，则S.与41M的关系是（）

A-$皿31B.SjO23=勿2tB4+1C.silx=^2a>4—D.•52024=^2CB4+

3.（2024.广东梅州.二模）（多选）已知数列｛4｝的通项公式为4=3%"€N.，在｛4｝中依次选取

若干项（至少3项）气,气，气,…，%…，使｛%,｝成为一个等比数列，则下列说法正确的

是（）

A.若取用=1,总=3,则占=9

B.满足题意的｛匕｝也必是一个等比数列

C.在｛6｝的前100项中，｛%｝的可能项数最多是6

D.如果把｛2｝中满足等比的项一直取下去，｛限｝总是无穷数列

4.（2024•广东肇庆•二模）等差数列｛2｝中，4=1,。,=为一

⑴求｛。“｝的通项公式；

（2）设4=35记5.为数列也｝前〃项的和，若<=39,求刑.

5.（2024.广东肇庆.二模）记等差数列｛《｝的前”项和为S,，｛〃｝是正项等比数列，目

q=〃=2,，o=1应力=4.

⑴求｛2｝和｛,｝的通项公式；

⑵证明:白|是等比数列.

题型03数例悚和

1.（2024•广东深圳.模拟预测）已知数列｛4｝的前〃项和为S.，且5“+3〃，若首项为I的数列出｝

满足工=4,则数列｛2｝的前2024项和为（）

1012202520232024

A，2023B.^24&2024D-2025

a,+a<2

2.（2024.广东中山.模拟预测）等比数列｛2｝的公比为4,其通项为4,如果1a+a］（i+g»）=『,

则”；数列｛（T）"+1。即力的前5项和为.

3.（2024.广东东莞.模拟预测》已知首项为1的等差数列｛6｝满足：成等比数列.

⑴求数列｛?｝的通项公式；

（2）若数列也｝满足：*+4如+…+3=3"-1,求数列也通前”项和&

4.（2024.广东梅州•二模）已知等差数列｛4｝的前”项和为'，目q=-l,S,=-16.

⑴求｛t｝的通项公式；

（2）记数列1」一］的前”项和为证明：J；.

5.（2024广东惠州•模拟于页测）设等比数列｛兄｝的前〃项和为其，已知名《勾=勾％52=6-1.

⑴求数列｛凡｝的通项公式.

（2）求数列｛"《｝的前”项和卫.

6.（2024.广东深圳.模拟预测）已知等差数列｛4｝的前〃项和为工，目｛瓦+^｝也是等差数列.

⑴求数列｛4｝的公差3

f4n2

（2惜4=7,求数列——的前”项和E.

13

7.（2024.广东东莞模拟预测）已知工为正项数列｛七｝的前〃项和，q=3目5.+5-=]。=-].

⑴求数列｛/｝的通项公式；

（2济2=（-1厂岛p求出｝的前10项和Q

8.（2024,广东惠州，模拟预测）已知数列｛氏｝满足q=Lq+,+为“=3"-5,”eN：

（1股0=4一”+2,证明:也｝是等比数列;

（2）求数列｛4｝的前〃项和

S73

9.（2024.广东珠海.模拟预测）在①邑-31=0,（2）5,=14,③父=百■这三个条件中任选一个,

补充在下面的问题中，并解答.

设｛6｝是递增的等比数列，其前“项和为邑，且4=4,.

⑴求｛6｝的通项公式；

（2席数列也｝满足2=产：鬻数,求数列也｝的前2〃项和心.

（注：若选择多个解答，按第一个解答计分）

题型04数歹踪合应用

1.（2024.广东佛山二模）设数列｛6｝的前"项之积为满足4+27>1则生M=（）

.1011c1011八4047G4048

A----B____C____D____

,1012•1013-4049•4049

%e=2厢iteN*）,

2.（2024•广东珠海•模拟预测）已知数列｛《｝满足%,=“[则（）

—（n=2i-l,ieN"）,

A.当q<0时，｛6｝为递增数列，且存在常数河>0,使得4VM恒成立

B.当q>l时，｛q｝为递减数列，且存在常数M>0,使得4>“恒成立

C.当0<q<l时，存在正整数或，当〃>或时，卜一；|〈焉

D.当0<q<l时，对于任意正整数乂，存在">或，使得卜-?>/

L1vvV

3.（2024•广东.模拟预测）（多选）设有正数列｛4｝,其前刘页和为，.则下列哪一个""）2。能使对

任意的"6川都有"2-工^^二：成立（）

s.仁S1仁4

2

A./（"）=2"B.加）=一

C./l»）=lnMD.=-

n

4.（2024.广东广州.模拟预测）（多选）已知各项都是正数的数列｛?｝的前"项和为冬，目

贝|」下列结论正确的是（）

A.当泄>川洲，"eN'l时，a*>a“B.SII+SII+2<2SII^

C.数列⑻是等差数列D.^-l>ln«

5.（2024.广东梅州.二模）已知数列｛6｝的通项公式2=（一1）"二丁（neN-）,则Rq=qq…4的

LA-i

最小值为.

6.（2024.广东深圳.模拟预测）已知函数/U）的图象关于点（1,0）中心对称，也关于点中心对

称，则刀1）,/（2）,/（3）,…,力20241的中位数为.

7.（2024•广东佛山・二模）已知数列｛吗满足4=1,%=需g，目

⑴证明｛〃｝为等比数列，并求数列｛〃｝的通项公式；

⑵设■套言，且数列£｝的前”项和为小证明：当*2时，1^-3；<37；-”<ln总-1.

8.（2024.广东模拟预测）已知数列｛兄｝与｛,｝为等差数列，4=4，a、=2b、,｛4｝前"项和为

19〃+〃2

-2--

⑴求出｛《｝与也｝的通项公式；

（2）是否存在每一项都是整数的等差数列在“｝,使得对于任意"6N.,9都能满足

—若存在,求出所有上述的入；若不存在，请说明理由.

题型05数歹情景题和创新题

1.（2024.广东肇庆.二模）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题："三百七十八里关，

初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还"其大意为：

"有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6

天后到达目的地."则该人第三天走的路程为（）

A.12里B.24里C.48里D.96里

2.（2024.广东东莞模拟预测）某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通

过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：⑨占菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分

叉（分叉的角度约为60。），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线

繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形

培养皿的中心。开始，沿直线繁殖到4…然后分叉向与&方向继续繁殖，其中乙%=60。,

且44与4W关于。4所在直线对称，44=4W.…若O4=4cm,为保证黏菌在繁

cm）至少为（）

D.9

3.（2024.广东.模拟预测）分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦-曼德尔布罗特在20世纪70年代创

立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路.下图展示了如何按

照图①的分形规律生长成一个图②的树形图，则在图②中第2023行的黑心圈的个数是（）

4.（2024.广东广州.模拟预测》第24届北京冬奥会开禀式由一朵朵六角雪花贯穿全场，为不少人留

下深刻印象,六角雪花曲线是由正三角形的三边生成的三条1级Koch曲线组成，再将六角雪花曲线

每一边生成一条1级Koch曲线得到2级十八角雪花曲线（如图3）..…・依次得到”级角雪

花曲线.若正三角形边长为1,我们称△为一个开三角（夹角为60。），则”级匕角雪花曲线的开三

角个数为,”级£角雪花曲线的内角和为

〃=0级

/\〃=1级

图1图2图3

5.(2024.广东梅州•二模)已知｛2｝是由正整数组成的无穷数列，该数列前〃项的最大值记为

即M'=max｛q，4,…M｝；前”项的最小值记为此，即也=而成4必,…令

5=123,…)，并将数列｛2｝称为m｝的性成数列”.

(1话％=3",求其生成数列｛2｝的前〃项和；

(2)设数列｛以｝的性成数列”为应｝,求证：p“=g"；

(3席｛2｝是等差数列，证明：存在正整数%,当"N几时，"a一,限,…是等差数列.

6.(2024•广东•二模)已知正项数列｛4｝@“｝,满足%=与上,鼠,=g(其中c>0).

(1话q地，且4+4#%,证明:数列M7｝和4+〃--｝均为等比数列;

(2话q>4，q+2=2c,以见也,c为三角形三边长构造序列(其中

4纥=%纥6=4,4c=4)，记A4纥C“外接圆的面积为邑，证明：s.>gc'

(3庭(2)的条件下证明：数列