专题09对数（6个知识点6种题型）

专题09对数（6个知识点6种题型）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.对数的定义知识点2.对数与指数的互化知识点3.特殊对数知识点4.对数的性质知识点5.对数的运算性质知识点6.换底公式常用推论【方法二】实例探索法题型1.指数式与对数式的互化题型2.对数恒等式的应用题型3.对数的运算题型4.应用换底公式求值题型5.应用换底公式化简题型6.利用对数式与指数式的互化解题【方法三】成评定法【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.对数的定义ab＝N⇔b＝logaN(a>0且a≠1)知识点2.对数与指数的互化(1)指数式与对数式的互化及有关概念：(2)底数a的范围是a>0，且a≠1.知识点3.特殊对数常用对数与自然对数知识点4.对数的性质(1)负数和零没有对数．(2)loga1＝0(a>0，且a≠1)．(3)logaa＝1(a>0，且a≠1)．知识点5.对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．知识点6.换底公式常用推论若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0，则有logab＝eq\f(logcb,logca).【方法二】实例探索法题型1.指数式与对数式的互化【例1】将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式：(1)2－7＝eq\f(1,128)；(2)logeq\s\up5(\f(1,2))32＝－5；(3)lg1000＝3；(4)lnx＝2.[解](1)由2－7＝eq\f(1,128)，可得log2eq\f(1,128)＝－7.(2)由logeq\s\up5(\f(1,2))32＝－5，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－5＝32.(3)由lg1000＝3，可得103＝1000.(4)由lnx＝2，可得e2＝x.【规律方法】指数式与对数式互化的方法1将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；2将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.【变式1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)3－2＝eq\f(1,9)；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))－2＝16；(3)logeq\s\up5(\f(1,3))27＝－3;(4)logeq\r(x)64＝－6.[解](1)log3eq\f(1,9)＝－2；(2)logeq\s\up5(\f(1,4))16＝－2；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－3＝27；(4)(eq\r(x))－6＝64.【变式2】（2022秋·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期末）已知，，用a及b表示．【答案】【分析】先把转化为，再利用对数的运算性质即可求解．【详解】因为，所以，所以．故答案为：．题型2.对数恒等式的应用【例2】设5log5(2x－1)＝25，则x的值等于()A．10 B．13C．100 D．±100(2)若log3(lgx)＝0，则x的值等于________．[思路点拨](1)利用对数恒等式alogaN＝N求解；(2)利用logaa＝1，loga1＝0求解．(1)B(2)10[(1)由5log5(2x－1)＝25得2x－1＝25，所以x＝13，故选B.(2)由log3(lgx)＝0得lgx＝1，∴x＝10.]【规律方法】1．利用对数性质求解的两类问题的解法(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．2．性质alogaN＝N与logaab＝b的作用(1)alogaN＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式．(2)logaab＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数．题型3.对数的运算【例3】计算下列各式的值：(1)eq\f(1,2)lgeq\f(32,49)－eq\f(4,3)lgeq\r(8)＋lgeq\r(245)；(2)lg52＋eq\f(2,3)lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(3)eq\f(lg\r(2)＋lg3－lg\r(10),lg1.8).[解](1)原式＝eq\f(1,2)(5lg2－2lg7)－eq\f(4,3)·eq\f(3,2)lg2＋eq\f(1,2)(2lg7＋lg5)＝eq\f(5,2)lg2－lg7－2lg2＋lg7＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)lg2＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)(lg2＋lg5)＝eq\f(1,2)lg10＝eq\f(1,2).(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.(3)原式＝eq\f(\f(1,2)lg2＋lg9－lg10,lg1.8)＝eq\f(lg\f(18,10),2lg1.8)＝eq\,2lg1.8)＝eq\f(1,2).【规律方法】1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．2．对于复杂的运算式，可先化简再计算．化简问题的常用方法：(1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；(2)“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．【变式】求下列各式的值：(1)lg25＋lg2·lg50；(2)eq\f(2,3)lg8＋lg25＋lg2·lg50＋lg25.[解](1)原式＝lg25＋(1－lg5)(1＋lg5)＝lg25＋1－lg25＝1.(2)eq\f(2,3)lg8＋lg25＋lg2·lg50＋lg25＝2lg2＋lg25＋lg2(1＋lg5)＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＋lg25＋lg2＋lg2·lg5＝2＋lg5(lg5＋lg2)＋lg2＝2＋lg5＋lg2＝3.题型4.应用换底公式求值【例4】计算：(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)．[解](1)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)＝(log253＋log2252＋log235)·(log5323＋log5222＋log52)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋1＋\f(1,3)))log25·(1＋1＋1)log52＝eq\f(13,3)·3＝13.【规律方法】1．在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式．2．常用的公式有：logab·logba＝1，loganbm＝eq\f(m,n)logab，logab＝eq\f(1,logba)等．【变式】求值：(1)log23·log35·log516；(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．[解](1)原式＝eq\f(lg3,lg2)·eq\f(lg5,lg3)·eq\f(lg16,lg5)＝eq\f(lg16,lg2)＝eq\f(4lg2,lg2)＝4.(2)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,lg9)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,lg4)＋\f(lg3,lg8)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,2lg3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,2lg2)＋\f(lg3,3lg2)))＝eq\f(3lg2,2lg3)·eq\f(5lg3,6lg2)＝eq\f(5,4).题型5.应用换底公式化简【例5】已知log189＝a,18b＝5，求log3645(用a，b表示)．【解析】∵18b＝5，∴b＝log185.又log189＝a，∴log3645＝eq\f(log1845,log1836)＝eq\f(log185＋log189,1＋log182)＝eq\f(a＋b,2－log189)＝eq\f(a＋b,2－a).【变式1】（2022秋·上海静安·高一上海市回民中学校考期中）已知则（用含的式子表示）【答案】【分析】指数式化为对数式，再利用换底公式进行求解.【详解】因为，所以，故故答案为：【变式2】（2022秋·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考阶段练习）已知，，用及表示及．【答案】，【分析】根据换底公式求解即可.【详解】由换底公式，，.即，题型6.利用对数式与指数式的互化解题【例6】已知3a＝5b＝c，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，求c的值．[思路点拨]eq\x(3a＝5b＝c)eq\o(→,\s\up15(指对互化))eq\x(求\f(1,a)，\f(1,b))eq\o(→,\s\up30(\f(1,a)＋\f(1,b)＝2))eq\x(求c的值)[解]∵3a＝5b＝c，∴a＝log3c，b＝log5c，∴eq\f(1,a)＝logc3，eq\f(1,b)＝logc5，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝logc15.由logc15＝2得c2＝15，即c＝eq\r(15).【规律方法】应用换底公式应注意的两个方面1化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.2题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式.【方法三】成果评定法1．（2023春·上海嘉定·高一统考阶段练习）若与互为相反数，则（

）A． B． C． D．以上答案均不对【答案】C【分析】利用对数运算的基本性质可得出结论.【详解】因为与互为相反数，则，因此，.故选：C.2．（2023秋·上海松江·高一校考期末）已知，则.（用表示）【答案】【分析】利用换底公式求解即可.【详解】因为，所以.故答案为：3．（2022秋·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）方程的实数解为.【答案】【分析】分、两种情况化简方程，求出的值，解之即可.【详解】当时，则，由可得，可得（舍）；当时，则，由可得，可得，解得.故答案为：.4．（2023秋·上海徐汇·高一统考期末）已知（a为常数，且，），则．（用a表示）【答案】【分析】先利用指数式和对数式互化得到所以，再利用换底公式得到，然后利用对数运算求解.【详解】因为，所以，则，所以，故答案为：5．（2023春·上海金山·高一统考阶段练习）已知，用m表示为．【答案】/【分析】先根据指对互化可得，再结合对数运算求解.【详解】∵，则，∴.故答案为：.6．（2023春·上海宝山·高一统考期末）若，则（用含的式子表示）.【答案】【分析】利用对数的换底公式，结合对数运算性质求解作答.【详解】由，得，即，所以.故答案为：7．（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）若代数式有意义，则实数的取值范围是.【答案】【分析】由题得，解出即可.【详解】根据真数大于0得，解得，故答案为：.8．（2022秋·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）已知，求出方程组的所有解.【答案】，或，【分析】利用取对数法，结合对数的运算性质、换底公式进行求解即可.【详解】当时，因为，所以由，显然满足，同理当时，得，当且时，由，由，于是有，当时，得，代入中，得，或舍去，所以；当时，得，代入中，得，因为，所以，所以方程无实数根，综上所述：方程组的所有解，或，故答案为：，或，9．（2022秋·上海长宁·高一上海市延安中学校考期末）已知，用表示．【答案】/【分析】根据换底公式，结合对数的运算性质进行求解即可.【详解】，故答案为：10．（2023秋·上海松江·高一上海市松江二中校考期末）已知，，则的值为【答案】/【分析】利用对数运算和指对数互换可化简，，即可求得答案【详解】由可得，由可得，所以故答案为：11．（2023秋·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考期末）已知，则（用m表示）．【答案】【分析】由对数的换底公式及运算法则求解．【详解】由题意．故答案为：．12．（2023秋·上海闵行·高一统考期末）已知，且，则实数m的值为．【答案】45【分析】根据已知结合换底公式可得，，代入整理可得，即可得出结果.【详解】由可知，，显然.则，，所以，，则由可得，，所以.故答案为：45.13．（2022秋·上海宝山·高一校考期末）已知，试用表示为.【答案】【分析】指对互化可得，由换底公式可得，由可得答案.【详解】因为，所以，可得，.故答案为：.14．（2023秋·上海徐汇·高一上海市西南位育中学校考期末）已知，则的值为．【答案】【分析】由对数的运算法则可得，进而可得.【详解】解：因为，所以，所以.故答案为：15．（2022秋·上海徐汇·高一校考期末）已知，则的值等于（用表示）.【答案】【分析】由指数式与对数式的互化，结合对数的运算求解即可.【详解】因为，所以，所以.故答案为：16．（2023秋·上海徐汇·高一位育中学校考期末）若，则（用a、b表示）【答案】/【分析】根据指数式与对数式的互化公式，结合对数的运算性质进行求解即可.【详解】，，故答案为：17．（2023秋·上海松江·高一校考期末）若，则（用字母表示）.【答案】【分析】根据指对数互化可得，进而结合对数的运算求解.【详解】因为，可得，所以.故答案为：.18．（2022秋·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）已知，，则.【答案】【分析】由题知，，再根据换底公式计算即可；【详解】解：因为，，所以，，所以.故答案为：19．（2022秋·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期中）（1）计算：；（2）已知，且，求m的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据指数运算和根式运算法则进行计算；（2）将指数式和对数式互化，结合换底公式和对数运算法则进行计算.【详解】（1）；（2）因为，所以，由换底公式可得：，因为，所以，则，因为，所以.20．（2023·上海·高一专题练习）已知，求的值．【答案】【分析】对原式化简，得，由对数的运算性质求解的值，再代入即可.【详解】由，去分母可得，所以所以.21．（2022秋·上海静安·高一校考期中）已知正数a，b满足，求a，b，c的值.【答案】，，.【分析】利用对数的运算公式和换底公式计算即可.【详解】由得，，，所以，则，.22．（2022秋·上海杨浦·高一校考期中）（1）求的值；（2）已知，求的值.【答案】（1）1；（2）2【分析】（1）直接利用指数幂运算规则计算即可；（2）先将指数式变为对数式，代入，利用换底公式及对数运算性质计算即可.【详解】（1）（2）由得23．（2022秋·上海奉贤·高一校考期中）数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.(1)根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么；(2)请你运用（1）中的对数运算性质计算的值；【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）设，化为指数式，取对数即可得出．（2）利用（1）中的性质计算可得.【详解】（1）证明：因为，且，，设，所以，所以，所以，即．（2）解：.24．（2022秋·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考阶段练习）已知，，用及表示及．【答案】，【分析】根据换底公式求解即可.【详解】由换底公式，，.即，25．（2023·上海·高一专题练习）解答下列问题：(1)用表示；(2)已知，且，求M的值．【答案】(1)；(2).【分析】(1)根据对数的运算公式化简即可；(2)由题意可得，再根据换底公式可得由，可得，代入计算即可.【详解】（1）解：因为；（2）解：因为，所以，所以又因为，即，所以，所以.26．（2022·上海·高一专题练习）已知、是一元二次方程的两个不相等的实数根，且，求实数的值.【答案】【分析】分析可知，，根据判别式结合韦达定理可求得实数的取值范围，再利用韦达定理结合对数运算可得出关于的等式，结合的取值范围可求得的值.【详解】由已知可得，由题意可知，，则，可得，所以，，所以，，即，因为，解得.27．（2021秋·上海静安·高一校考期中）已知，且，且，求的值．【答案】【分析】根据对数的运算性质化简即可求得.【详解】因为，且，且，所以①，②，联立得，所以，所以．故答案为：28．（2022秋·上海普陀·高一曹杨二中校考期中）已知、、均为正实数.(1)若，求的值；(2)若，求的值.【答案】(1)34(2)1【分析】（1）对等式二次平方即可求解；（2）对等式同取，代换出基本关系，将全部代换为，结合对数运算和换底公式化简即可求解.【详解】（1）因为，所以，即，再平方得，故；（2）对同取的底数可得，即，，所以.29．（2022秋·上海虹口·高一上海市复兴高级中学校考期中）（1）不用计算器求