2024年中考数学复习：圆的相关计算与证明专项练习

圆的相关计算与证明专项练习

类型1圆与锐角三角函数的综合

我们知道，三角函数问题一定要在直角三角形中求解.在圆中，若没有现成的直角三角形，则需合理构造直角三角形，

或把角转化到直角三角形中解答.

一般有两个策略：①利用圆的有关性质构造直角三角形；②用圆周角的性质把角转化到直角三角形中.

1.（2022河北）如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O,其中水面截线MN〃AB.嘉琪在A处测得垂直站立于

B处的爸爸头顶C的仰角为14。,点M的俯角为7。.已知爸爸的身高为1.7m.

⑴求/C的大小及AB的长

⑵请在图中画出线段DH,用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）.

（参考数据：（tan76。取4,g取4.1）

2.（2022四川成都）如图，在RtAABC^,AACB=90。,,以肥为直径作OO,交AB边于点D在加上取一点E,使

BE=前，连接DE,作射线CE交AB边于点F.

⑴求证：ZX=^ACF;

类型2圆基本性质的证明与计算

3.（2022浙江杭州）如图，以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在OO上,将该圆形纸片沿直线CO对折，点B

落在OO上的点D处（不与点A重合），连接CB,CD,AD设CD与直径AB交于点E.若.AD=ED,则ZB=度；瞿

的值等于.

4.（2022福建）如图.AABC内接于。O,AD〃BC交。O于点D,DF〃AB交BC于点E,交0O于点F,连接AF,CF.

⑴求证:AC=AF;

⑵若。O的半径为3,NCAF=30。,求近的长（结果保留兀）.

5.（2022湖北武汉）如图，以AB为直径的。O经过AABC的顶点C,AE,BE分别平分/BAC和NABC,AE的延长线交

OO于点D,连接BD.

⑴判断ABDE的形状，并证明你的结论；

（2）若.AB=10,BE=2同,求BC的长.

D

6.(2022浙江宁波)如图1,©0为锐角扫码观看三角形ABC的外接圆，点D在船上,AD交BC于点E,点F在

AE上，满足/AFB--/BFD=NACB,FG〃AC交BC于点G,BE=FG,连接BD,DG.设NACB=a.

⑴用含a的代数式表示/BFD;

⑵求证:ABDE&ZkFDG;

(3)如图2,AD为。O的直径.

①当油的长为2时，求前1的长；

②当OF:OE=4:11时，求cosa的值.

图1图2

类型3与圆的切线有关的证明与计算

⑴角平分线+等腰得平行：如图①，点C在以AB为直径的圆O上若AH±CH且AC平分NHAB,则可证明OC

〃AH得/OCH=90。,则CH为圆O的切线.

⑵证明和已知直角相等如图②，点C在以AB为直径的圆O上，若PA为切线,PA=PC,则可证得APCOg△P40得

出APCO=^PAO=90。,厕PC是圆O的切线.

⑶利用弦切角定理如图③，若/BAC=NADC厕可证明N04B=Z.ECA=90。,，则AB是圆O的切线.

7.(2022安徽)已知AB为。O的直径,C为。O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD.

⑴如图1,若CO1AB,^D=30°,OA=1,求AD的长;

⑵如图2,若DC与。0相切,E为0A上一点，且^ACD=N2CE,求证:(CE1AB.

8.(1)在。。中,/AOB是说所对的圆心角，/C是油所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要

根据圆心O与NC的位置关系进行分类.图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其他两种情况的图形，

并从三种位置关系中任选一种情况证明ZC=jzXOB;

⑵如图4,若。O的半径为2,PA,PB分别与。O相切于点A,B,NC=60。,,求PA的长.

9.（2022江苏苏州）如图,AB是。O的直径,AC是弦,D是油的中点,CD与AB交于点E.F是AB延长线上的一点，

S.CF=EF.

（1）求证:CF为。O的切线；

⑵连接BD,取BD的中点G,连接AG.g（CF=4,BF=2,求AG的长.

10.（2022山东潍坊）如图1,筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹筒，旋转时低则舀水，高则泻水.

如图2,水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿射线AD方向泻至水渠DE,水渠DE所在

直线与水面PQ平行.设筒车为。0,。0与PQ交于P,Q两点，与直线DE交于B,C两点，恰有AD2=BD-CD,^

接AB.AC.

图2

⑴求证:AD为。O的切线;

(2)筒车的半径为3m,AC=BC,NC=30。.当水面上升A,O,Q三点恰好共线时求筒车在水面下的最大深度(精确到0.1m,

参考值：V2«1.4,V3«1.7).

11.(2022辽宁盘锦)如图,四边形ABCD是正方形，点A,点B在。O上，边DA的延长线交。O于点E,对角线DB的

延长线交。O于点F,连接EF并延长至点G，使乙FBG=^FAB.

(1)求证:BG与OO相切;

⑵若。。的半径为1,求AF的长.

'0

C

G

12.(2022四川乐山)如图线段AC为0O的直