2024年中考数学必考考点总结+题型专训矩形（原卷版+解析）

专题26矩形

考点一：矩形的性质

知识回顾

1.矩形的定义：

有一个角是直角的平行四边形是矩形。

2.矩形的性质：

①具有平行四边形的一切性质。

②矩形的四个角都是直角。

③矩形的对角线相等。

④矩形既是一个中心对称图形，也是轴对称图形。对角线交点是对称中心，过一组对边中点的直

线是矩形的对称。

⑤由矩形的对角线的性质可知，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

微专题

1.（2023•无锡）雪花、风车……展示着中心对称的美，利用中心对称，可以探索并证明图形的性质.请思

考在下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的为（）

A.扇形B.平行四边形C.等边三角形D.矩形

2.（2023•安徽）两个矩形的位置如图所示，若Nl=a,则N2=（）

A.a-90°B.a-45°C.180°-aD.270°-a

3.（2023•西宁）矩形ABC。中，AB=8,AZ）=7,点E在AB边上，AE=5.若点尸是矩形ABC。边上一点,

且与点A,E构成以AE为腰的等腰三角形，则等腰三角形AEP的底边长是

4.（2023•青海）如图，矩形ABC。的对角线相交于点。，过点。的直线交AD,BC于点、E,F,若AB=3,

BC=4,则图中阴影部分的面积为

第4题第5题

5.（2023•吉林）如图，在矩形ABC。中，对角线AC,3。相交于点O,点E是边4。的中点，点尸在对角

线AC上，SLAF=-AC,连接EF.若AC=10,则EF=

4

6.（2023•黔东南州）如图，矩形ABC。的对角线AC,20相交于点。，DE//AC,CE//BD.若AC=10,

7.（2023•十堰）“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡AF,

AG分别架在墙体的点3,C处，MAB=AC,侧面四边形BDEC为矩形.若测得/尸8。=55°,则NA

8.（2023•宜昌）如图，在矩形A2CD中，E是边A。上一点，F,G分别是BE,CE的中点，连接ARDG,

FG,若AP=3,Z）G=4,FG=5,矩形A8CD的面积为.

9.（2023•邵阳）己知矩形的一边长为6c〃z,一条对角线的长为10c相，则矩形的面积为cm2.

10.（2023•丽水）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形PQMN.已知①和②能够重合，

③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5.AE=a,DE=b,且。＞6.

（1）若a,6是整数，则尸。的长是；

（2）若代数式a2-2ab-b1的值为零，则$四边形ABC。的值是_____________.

S矩形PQMN

11.（2023•日照）如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E,当水杯

底面与水平面的夹角为27°时，NAE。的大小为（)

D

第12题

C.57°D.63°

12.（2023•包头）如图，在矩形4BCZ）中，AD>AB,点、E,尸分别在AD,BC边上，EF//AB,AE=AB,

AF与BE相交于点O,连接OC.若BF=2CF,则OC与EE之间的数量关系正确的是（）

A.2OC=75EFB.料OC=2EFC.20c=6EFD.OC=EF

13.（2023•泰安）如图，四边形48CD为矩形，AB=3,BC=4,点尸是线段BC上一动点，点M为线段

AP上一点，ZADM=ZBAP,则8M的最小值为（）

C.713--D.V13-2

2

考点二：矩形的判定

知识回顾

1.直接判定:

有三个角（四个角）都是直角的四边形是矩形。

2.利用平行四边形判定：

①定义：有一个角是直角（邻边相互垂直）的平行四边形是矩形。

②对角线的特殊性：对角线相等的平行四边形是矩形。

z---------------------------、

微专题

<_______________>

14.（2023•聊城）要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（）

A.测量两条对角线是否相等

B.度量两个角是否是90°

C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等

D.测量两组对边是否分别相等

15.（2023•恩施州）如图，在四边形ABCD中，ZA=ZB=90°,AD=lQcm,BC=8cm,点P从点。出

发，以Ici/s的速度向点A运动，点"从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到

达端点时，两个动点同时停止运动.设点尸的运动时间为f（单位：s）,下列结论正确的是（）

A.当f=4s时，四边形A8MP为矩形

B.当f=5s时，四边形CDPM为平行四边形

C.当时，t=4s

D.当CD=PM时，f=4s或6s

16.（2023•陕西）在下列条件中，能够判定团ABC。为矩形的是）

A.AB=ADB.AC±BDC.AB=ACD.AC=BD

17.（2023•陕西）在下列条件中，能够判定团ABC。为矩形的是（）

A.AB=ACB.ACLBDC.AB=ADD.AC=BD

18.（2023•怀化）下列说法正确的是（）

A.相等的角是对顶角

B.对角线相等的四边形是矩形

C.三角形的外心是它的三条角平分线的交点

D.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

19.（2023•甘肃）如图，在四边形ABCD中，AB//DC,AD//BC,在不添加任何辅助线的前提下，要想四

边形42C。成为一个矩形，只需添加的一个条件是

20（多选）.（2023•潍坊）利用反例可以判断一个命题是错误的，下列命题错误的是（）

A.若ab—0,则a—0

B.对角线相等的四边形是矩形

2

C.函数y=—的图象是中心对称图形

x

D.六边形的外角和大于五边形的外角和

专题26矩形

考点一：矩形的性质

知识回顾

3.矩形的定义：

有一个角是直角的平行四边形是矩形。

4.矩形的性质：

①具有平行四边形的一切性质。

②矩形的四个角都是直角。

③矩形的对角线相等。

④矩形既是一个中心对称图形，也是轴对称图形。对角线交点是对称中心，过一组

对边中点的直线是矩形的对称。

⑤由矩形的对角线的性质可知，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

微专题

1.（2023•无锡）雪花、风车……展示着中心对称的美，利用中心对称，可以探索并证明图

形的性质.请思考在下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的为（）

A.扇形B.平行四边形C.等边三角形D.矩形

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【解答】解：A.扇形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B.平行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；

C.等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D.矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；

故选：B.

2.（2023•安徽）两个矩形的位置如图所示，若Nl=a,则/2=（）

A.a-90°B.a-45C.180°-aD.270°-a

【分析】根据矩形的性质和三角形外角的性质，可以用含a的式子表示出N2.

【解答】解：由图可得,

Zl=90°+Z3,

*.*Zl=a,

Z3=a-90°，

；/3+N2=90°,

：.Z2=90°-Z3=90°-（a-90°）=90°-a+90°=180°-a,

故选：C.

3.（2023•西宁）矩形ABC。中，AB=8,AZ）=7,点E在A8边上，AE=5.若点P是矩形

ABC。边上一点，且与点A,E构成以AE为腰的等腰三角形，则等腰三角形A"的底边

长是.

【分析】分情况讨论：①当AP=AE=5时，则是等腰直角三角形，得出底边尸E

=&AE=5&即可；

②当P1E=AE=5时，求出BE,由勾股定理求出P1B,再由勾股定理求出底边AP即可.

【解答】解：如图所示，

①当AP=AE=5时，

'：ZBAD=90°,

AAEP是等腰直角三角形，

底边尸E=«AE=5五；

②当P1E=AE=5时，

'：BE=AB-AE=8-5=3,ZB=90°,

•'-P1B=VPE2-BE2=4>

底边AP=VAB2+PB2=475；

综上所述：等腰三角形AEP的底边长为5弧或4泥；

故答案为：5、历或4代.

4.（2023•青海）如图，矩形A8C。的对角线相交于点O,过点0的直线交AD,8C于点E,

F,若AB=3,BC=4,则图中阴影部分的面积为.

BFC

【分析】首先结合矩形的性质证明△AOE0ZkCO凡得△AOE、ACOF的面积相等，从

而将阴影部分的面积转化为△BDC的面积.

【解答】解：：四边形ABC。是矩形，A2=3,

；Q=0C,AB=CD=3,AD//BC,

：.ZAEO=ZCFO；

又：NAOE=NCOF,

在aAOE和中,

AAOE^ACOF,

•'-S^AOE=S^COF,

S阴影=SMOE+SABOF+S&COD=SACOF+SABOF+SACOD=S^BCD>

S^BCD=—BC*CD=—X4X3=6，

22

•'"5阴影=6.

故答案为6.

5.（2023•吉林）如图，在矩形ABC。中，对角线AC,2。相交于点。，点E是边A。的中

点，点/在对角线AC上，且AF=^AC,连接ER若AC=10,则后尸=

4

4

解.

【解答】解：在矩形ABC£＞中，AO=OC=—AC,AC=BD=10,

2

VAF=AAC,

4

：.AF=^AO,

2

...点尸为AO中点，

又：点E为边的中点，

:.EF为AAOD的中位线，

EF=—OD=—BD=—.

242

故答案为：

2

6.（2023•黔东南州）如图，矩形ABC。的对角线AC,8。相交于点O,DE//AC,CE//BD.若

AC=10,则四边形OC即的周长是

【分析】先证四边形OCED是平行四边形，得OC=DE,OD=CE,再由矩形的性质得

OC=OD=5,贝IOC=OZ）=CE=QE,得平行四边形OCE。是菱形，即可得出结论.

【解答】解：,JDE//AC,CE//BD,

二四边形OCED是平行四边形，

AOC=DE,OD=CE,

:矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,

：.OC=^AC=5,OD=LBD,BD=AC,

22

OC=OD=5,

OC=OD=CE=DE,

平行四边形OCE。是菱形，

，菱形OCED的周长=4OC=4X5=20,

故答案为：20.

7.（2023•十堰）“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面

截图，屋坡AF,AG分别架在墙体的点8,C处，且AB=AC,侧面四边形BDEC为矩形.若

测得//8。=55°,则/A=°.

【分析】利用矩形的性质可得NDBC=90°,从而利用平角定义求出/ABC的度数，然

后利用等腰三角形的性质可得NABC=NACB=35°,最后利用三角形内角和定理进行

计算即可解答.

【解答】解：•••四边形BOEC为矩形，

：.ZDBC^90°,

\'ZFBD=55°,

：.ZABC=180°-ZDBC-ZFBD=35°,

'：AB=AC,

：.ZABC=ZACB=35

—180°-ZABC-ZACB=110°,

故答案为：110.

8.（2023•宜昌）如图，在矩形ABC。中，E是边4。上一点，F,G分别是BE,CE的中点,

连接AF,DG,FG,若AF=3,DG=4,FG=5,矩形ABCZ）的面积为.

【分析】由矩形的性质得出/BAE=NC£）E=90°,AD//BC,由直角三角形斜边上中线

的性质及三角形中位线的性质求出BE=6,CE=8,8c=10,由勾股定理的逆定理得出

△BCE是直角三角形，/BEC=90°,进而求出=24,即可求出矩形ABC。的面积.

【解答】解：：四边形ABC。是矩形，

：.ZBAE=ZCDE=90°,AD//BC,

,:F,G分别是BE,CE的中点，AF=3,DG=4,FG=5,

：.BE=2AF=6,CE=2DG=8,BC=2FG=10,

:.B号+CE^=BC2,

.,.△BCE是直角三角形，ZBEC=90°,

=yX6X8=24）

'CAD//BC,

•'•S矩形ABCD=2SZXBCE=2><24=48，

故答案为：48.

9.（2023•邵阳）已知矩形的一边长为6cm,一条对角线的长为10cm,则矩形的面积为

cm2.

【分析】利用勾股定理列式求出另一边长，然后根据矩形的面积公式列式进行计算即可

得解.

【解答】解：•.•长方形的一条对角线的长为10c〃z,一边长为6。加，

...另一边长=-\/102-62=8c%，

它的面积为8X6=485/2.

故答案为：48.

10.（2023•丽水）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形PQWN.已知①和

②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5.AE=a,DE=b,且a>6.

（1）若a,b是整数，则尸。的长是；

（2）若代数式/-2ab-b2的值为零，则$四边形钻8的值是_____________

S矩形PQMN

।__________________ED

①P

Q

③

④

N

M

②

【分析】（1）直接根据线段的差可得结论；

（2）先把b当常数解方程：CT-lab-b2=0,a=b+42b（负值舍），根据四个矩形的面

积都是5表示小矩形的宽，最后计算面积的比，化简后整体代入即可解答.

【解答】解：（1）由图可知：PQ=a-b,

故答案为：a-b；

（2）Va2-2ab-Z>2=0,

.*.6Z2-b2=2ab,（a-b）2=2Z?2,

：.a=b+-/2b（负值舍），

:四个矩形的面积都是5.AE=a,DE=b,

:.EP="EN="

ab

S四边形ABCD_心+b）•誓

a2+2ab+b2_a2_

S矩形POTQ-b）金至）（a-b）•显普a”-2ab+b"b

baab

（&+1）2b2=3+2J2-

b2

故答案为：3+2&.

11.（2023•日照）如图，矩形ABC。为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与C。的交

点为E,当水杯底面8C与水平面的夹角为27°时，的大小为（）

A.27°B.53°C.57°D.63°

【分析】根据题意可知AE//BF,/EAB=NABF,ZABF+270=90°,等量代换求出

ZEAB,再根据平行线的性质求出NAED

【解答】解：如图，

'：AE//BF,

：.ZEAB=ZABF,

:四边形ABC。是矩形，

：.AB//CD,ZABC=90°,

AZABF+270=90°,

AZABF=6V,

AZEAB=63°,

'JAB//CD,

：.ZA£D=Z£AB=63°.

故选：D.

12.（2023•包头）如图，在矩形ABCD中，AD>AB,点、E,F分别在AQ,8C边上，EF//

AB,AE=AB,AP与BE相交于点。，连接。C.若BF=2CF,则。C与EF之间的数量

关系正确的是（）

A.2OC=75EFB.V5OC=2EFC.2OC=73EFD.OC=EF

【分析】过点。作OHLBC于点H,得出四边形ABFE是正方形，再根据线段等量关系

得出CF=EF=2OH,根据勾股定理得出OC=MOH,即可得出结论.

【解答】解：过点。作OHLBC于点

:在矩形ABC。中，EF//AB,AE^AB,

,四边形A8FE是正方形，

...OH=工EF=LBF=BH=HF,

22

,：BF^2CF,

：.CH=EF=2OH,

•，-oc=JoH24cH2=VOH2+(2OH)2=^°H,

即2OC=y/5EF,

故选：A.

13.（2023•泰安）如图，四边形ABC。为矩形，AB=3,BC=4,点P是线段上一动点,

点M为线段AP上一点，ZADM=ZBAP,则8/的最小值为（）

C.V13--D.V13-2

2

【分析】如图，取AD的中点。，连接08,OM.证明/AMZ）=90°,推出。

=2,点M的运动轨迹是以。为圆心，2为半径的OO.利用勾股定理求出。2,可得结

论.

【解答】解：如图，取的中点。，连接。8,OM.

,四边形ABC。是矩形，

：.ZBAD=90°,AD=BC=4,

：.ZBAP+ZDAM^90°,

ZADM=ZBAP,

：.ZADM+ZDAM^9Q0,

AZAMD=90°,

"：AO=OD^2,

：.OM=^-AD=2,

2

.•.点M的运动轨迹是以。为圆心，2为半径的OO.

7OB=VAB2+A02=VS2+22=^^13，

-OM=yJ-13-2,

.♦.BM的最小值为百§-2.

故选：D.

考点二：矩形的判定

知识回顾

3.直接判定：

有三个角（四个角）都是直角的四边形是矩形。

4.利用平行四边形判定：

①定义：有一个角是直角（邻边相互垂直）的平行四边形是矩形。

②对角线的特殊性：对角线相等的平行四边形是矩形。

微专题

♦♦

14.（2023•聊城）要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（）

A.测量两条对角线是否相等

B.度量两个角是否是90°

C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等

D.测量两组对边是否分别相等

【分析】由平行四边形的判定与性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可.

【解答】解：A、测量两条对角线是否相等，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，

故选项A不符合题意；

8、度量两个角是否是90°,不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项B不

符合题意；

C、测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等，可以判定是否为矩形，故选项C符

合题意；

D,测量两组对边是否相等，可以判定为平行四边形，故选项。不符合题意；

故选：C.

15.（2023•恩施州）如图，在四边形A8CD中，ZA=ZB=90a,AD=10cm,BC=8cm,

点P从点。出发，以1aMs的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向

点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动.设点P的运动时间为

t（单位：s）,下列结论正确的是（）

A.当t=4s时，四边形为矩形

B.当f=5s时，四边形CDPM为平行四边形

C.当CD=PM时，r=4s

D.当CD=PM时，r=4s或6s

【分析】根据题意，表示出。尸，BM,AP和CM的长，当四边形尸为矩形时，根据

AP=BM,列方程求解即可；当四边形CDPM为平行四边形，根据。P=CM,列方程求

解即可；当时，分两种情况：①四边形是平行四边形，②四边形CDPM

是等腰梯形，分别列方程求解即可.

【解答】解：根据题意，可得DP=tcm,BM=tcm,

AD=lQcm,BC=Scm,

.'.AP—(10-r)cm,CM—(8-f)cm,

当四边形ABMP为矩形时，AP=8M,

即10-t—t,

解得t=5,

故A选项不符合题意；

当四边形COPM为平行四边形，DP=CM,

即f=8-3

解得f=4,

故B选项不符合题意；

当C£»=PM时，分两种情况：

①四边形CDPM是平行四边形，

此时CM=PD,

即8-/=/,

解得t=4,

②四边形CDPM是等腰梯形，

过点M作于点G,过点C作CHLA。于点H,如图所示：

则NMGP=/Cm)=90°,

"：PM=CD,GM=HC,

：.4MGP沿丛CHD(HL),

：.GP=HD,

"：AG=AP+GP=IO-=t-(8-t),

2

又,：BM=t,

2

解得f=6,

综上，当CD=PM时，f=4s或6s,

故C选项不符合题意，。选项符合题意，

故选：D.

16.（2023•陕西）在下列条件中，能够判定回ABC。为矩形的是（）

A.AB=ADB.ACYBDC.AB=ACD.AC=BD

【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可.

【解答】解：A.：团中，AB=AD,

.•.回ABC。是菱形，故选项A不符合题意；

B.「ElABCr）中，AC±BD,

.•.回ABC。是菱形，故选项8不符合题意；

C.回ABCD中，AB=AC,不能判定回ABC。是矩形，故选项C不符合题意；

D.中，AC=BD,

.•.回ABC。是矩形，故选项。符合题意；

故选：D.

17.（2023•陕西）在下列条件中，能够判定团A8CD为矩形的是（）

A.AB^ACB.