2024年桂林市高考三模（第三次联合模拟考试）数学试卷（含答案解析）

2024年高考第三次联合模拟考试

数学2024.5

（才试川时120分仲，得分150分）

注意事项:

1.冬卷前.考生务必将自己的姓名、准考证号等埴写在茶超卡上.

2.回冬选择题时.选出珏小题答案后,川铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动.用撑皮擦干净后,再逸於其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在冬题卡上.

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

1.若集合人=（-2•一］，3,5）,3=6|标＜4万,则八05=

AJ-1}B.⑶

C.{-2,-1}D.{-2,-1,3}

2.已知l+zi=3i.则z=

A3+iB.3—i

C.-3+iD.l-3i

3,若（工一1）'+Cr—1）6=。（＞+。1工+«12、-1---卜0,d,则at=

A.18B.-18

C.12D.-12

4.具有线性相关关系的变量工2有一组观测数据5，y）（箱=23—1,：=】，2-、5）,其经验回

归方程为5=1.2H2,则言y=

A.40B.32

C.8D.12.8

5.某校组织社会实践活动，将参加活动的3名老师与6名同学分成三组，每组1名老师与2名

同学，不一样的分法共吊j

A.45种B.90种

C180种D.270种

6.在《九章算术》中，将四个前都是直角三珀形的四而体称为蟹忧，花费懦P-A3C中,PBJL平

面人/SC,〃C_L&b且/"3=〃C=C八=2.M为PA的中点，则异而直线HM与AC所成加的

余弦仪为

数学试卷笫1页（共4页）

7.已知椭圆C：亨+专=1的右焦点为尸・过F的直线与C交于A、B两点,其中点A在工轴上

方且届^=2港，则B点的横坐标为

A.-yB.|

乙乙

8.已知函数/（.r）=cos5一2sin2（u.rs\n"b（3>0）在（0,2万）上有极小值没有最大值，则GJ的取

值范围是

A.（十号］

。•［居）口（得,彳1

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要

求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得。分。

9.在ZXABC中,sinJ=4,BC=1,AC=5冽

乙乙

A.cosC=4-B.AB=5/21

乙

c.AABC的面积为擀D.AABC外接圆的直径是2/7

10.小明计划高考结束后，从广西自然生态类的3处景点、历史文化类的4处珏点中随机选择一

处开始旅游，要求所有景点全部游玩且不重复，记“第k站游玩自然生态类的景点”为事件

Ak/=1,2g…97g则

A.P（A6）=-1B.P（A2|A1）=4

C.P（A］+4）若D.P（A2瓦）=普

11.如图，已知圆锥PO的底面半径为点，高为痣,AB为底面圆的直径，点C为底面圆周上的动

点，则

A当C为弧AR的三等分点时,△PAC的面积等于乎或工誓

B.该圆锥可以放入表面积为14K的球内/\\

C.边长为A的正方体可以放入到该圆锥内二”.…、

D.该圆锥可以放入边长为2四的正方体中上

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分。

12.抛物线。：寸=-2"。>0）经过点。（一1,2）,则点P到。的焦点的距离为.

13.在中国传统文化中，“九”被视为至尊之数，象征长寿、福气和完美，若直线I与圆C相切，直

线/在两坐标轴上的截距均为9,圆C的半径为9,点C到才轴的距离为9•则圆C的一个方

程为.

M.若勺£>2ainz-i）S>0）对任意的工6（0,十8）恒成立，则人的取值范围是.

船舟川•上NQ1^1*fII-I而\

四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

15.(本小题满分13分)

年菜一词指旧俗过年时所备的菜籽，也就姑俗称的“年夜饭”，为了了解消费者对年菜开支的接

受区间，某媒体统计了1000名消明者对年菜开支接受怕况，经统计这1000名消费者对年菜

开支接受区间都在[0,]们内(内位J百元)，按照[0,2),[2"),[4,6),[6,8),[8,]。),口0,12),

口2,14]分组,蛆到如下频率分布立力图(同一组中的数据以该组区间的中点色为代表).

(D根据频率分布直方图求出这100。名消我#对年菜开支接爻价格的75%分位数(精确到

0.])»

(2)根据频率分布直方图可认为消费者对年菜开支接受价格X近似服从正态分布N(〃,

3.24。),其中〃近似为样本平均数.用样本估计总体,求所有消费者对年菜开支接受价格

大于972元的概率.

参考数据:若X〜则P("—68,P(〃-2(<X&〃+20)=O.95,

16.(本小题满分15分)

已知数列｛an｝的前n项和为S”,且4al—3s.=a.

(1)求数列(4)的通项公式；

⑵设”网,且数列的)的前〃项和为了”,若V〃6N•都有不等式。4竽+3&恒成立,

求久的取值范围.

数学试发第3页(北4币)

17.(本小题满分15分)

如图，在直三棱柱ABC-AiBG中,AB_LAC,AB=AC=1,三棱锥Ai-ABC的体积为

率，点Q为BBi的中点.

(1)求证:平而ACD_L平而AiBCi

(2)求宜线CD与平面人13c所成角的正弦值.

18.(本小题满分17分)

双曲线C：Y-£=1S>O)的左、右焦点分别为6r2,过6且倾斜角为60°的直线为6,

过F2且倾斜角为60°的直线为储已知l\M之间的距离为473.

(D求C的方程；

(2)若过点F2的直线I与C的左、右两支分别交于M、N两点(点M、N不在n轴上)，判断

是否存在实数k使得IIMF?I-INF?11=A|MFz11NF,I.若存在，求出k的值;若不存

在,请说明理由.

19.(本小题满分17分)

已知/(x)=(x—1—a*—x+(l+a)ln(x+l).

(D讨论/(N)的单调性；

(2)若a>0且fCr)有2个极值点力，劭(ziVr?),求证J5)+/5)•<21n3—45+不).

数学试卷第4页(共4页)

2024年高考第三次联合模拟考试・数学

参考答案、提示及评分细则

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

题号12345678

答案BACABCDD

二、选择题;本题共3小题,每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的

得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分。

题号91011

答案ABDABABD

1.B因为A={—2,—1,3,5},B={x|x2<4x}={x|0<j：<4}，所以AAB={3}，故选B.

2.A因为l+zi=3i,所以z=~~1J3i=3+i,故选A

3.C。2=0(—D+Q(―1”=12,故选C.

4.Ax=1+3+:+7+9=5,由点(五»在回归直线上得5=L2X5+2=8,所以$父=5歹=40.

D1=1

「2「2A3

5.B。6：卢=90.

A3

6.C取PC的中点N,连接MN、BN,如图所示:

•••M、N分别为PA、PC的中点，则MN〃CA且MN=3CA=1,

二异面直线BM与AC所成的角为NBMN或其补角.

,.,PB,平面ABCBCU平面ABC,：.PB±BC,PC=7PB2+BC2=272,

：.BN=^PC=V2,同理可得PA=73,ABN2+MN2=BNP,

则cosNBMN=第=与.故选C.

7.D由题意得F(l,0),设4q，例)，夙亚，北)，由而=2蓬得，1=—2”，1—为=2(亚一1)，为=3—272,所

j(3—2论)」|(—2)2)2=

4'37Qfc

以<22，由点A在兄轴上方小=一22>0,即2<0,解得B(+，一竿)，故选D.

1号+”

8.D/(I)=COS(23;—3%)—2sin2axzsin3*=cos(2aAz+tor)=cos3OAZ,当zG(0,2冗)时，3爪：6(0,6g7t),若

/⑺在(0,2小上有最小值没有最大值，则欠〈6s<2k,所以•，故选D.

00

「11

9.ABD对于A,cosC=l-2sin2券=1-2乂十=合,故A正确；

乙4乙

对于B,由A选项知cosC=J■，由余弦定理得AB2=BC2+AC2—2BC•ACcosC=l+25—2X5xJ=2L

乙乙

故AB=/K,故B正确；

对于C,由于在aABC中,CG(0,7t),故sinC>0,所以sinC=/1一府0=Jl—4=岑,S*=yBC-

ACsinC=4X5X§=乎，故C错误;对于D,设AABC外接圆半径为R,2R="=窄=2疗，故D

NN4smCy3

T

数学参考答案第1页(共5页)

正确.故选ABD.

10.AB由题意可得P(Ae)=誓=^,A正确;P(AQ=等=3，P(A2AQ=/冬=J,P(A2|A])=

1

与赞?=!=等，故B正确;由于P(Ai+A2)=P(Ai)+P(A2)—P(AmA2)=^+9—3=3，M

T

误;P(A?瓦)=墨&=第=率所以D错误.故选AB.

11.ABD对于A,取AC的中点D,连接OD,PD,OC,则OD±AC,PD,AC,如图1,当C为弧AB的三等分点

B^t，ZAOC=120°或ZAOC=60°,当/AOC=120°时，OD=4OC=织PD=vW+QD2=

乙乙

J函>+(乌)=苧,DC=§OC=等,AC=2DC=3,所以aPAC的面积为看AC・PD="|X3X唱

=唾，当NAOC=60°时,OD=哮OC=^,PD=VP&+OD2=A/(V6)2+(4)2=^P,AC=OC=73,

4乙乙V乙乙

所以△PAC的面积为^AC•「。=3*乃*号=号亘,故A正确；

对于B,因为圆锥的底面半径为点，高为乃,所以圆锥的外接球球心在圆锥内部，设圆锥外接球的半径为R,

过点A的轴截面如图2Q为外接球球心，则(痣-R)2+(e/=R2,解得火=乎，外接球的表面积为

4TTR2=与",予7t<147r,故B正确；

对于C,设放入圆锥内最大的正方体边长为a,沿着正方体对角面的轴截面如图3,因为圆锥的底面半径为

42a

点,高为四，所以黑磊，所以PH=a,所以2a=痣,a=亨，因为好杏羽>与，所以C不正确；

对于D,过正方体一边的中点作与体对角线垂直的平面，如图4,此平面到顶点P的距离为体对角线的一

半，即为得，(2回?+(2夜)?+(2虑)2=低平面截正方体得到边长为2的正六边形，该正六边形的内切

圆的半径为盗，以该圆作为圆锥的底面，点P为顶点即可得到圆锥.故D正确.故选ABD.

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分。

12.2把P(—1,2)代入L工得力=2,C的焦点为F(—l,0),|PF\=2.

13.(z—9「)2+(y—9尸=81(答案不唯一)由题意可得直线I的方程为彳+?—9=0,设C(a,±9),由直线I

与圆C相切，得星浮2=9,所以。=士9女或a=18±9北■，所以圆C的一个方程可以为(了一❷/)？+

V2

3—9)2=81.

_kQ.r1yJtk#

14.(0,e]由；—>2(Ain力一得-7—l>21n丁，即二一21n—7—1>0,设％=—7,则L21n1》0,设

eeeeee

/(Z)=Z-21nT,则/⑴=1—看='4所以f(Z)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，且/(I)

数学参考答案第2页(共5页)

=0,y(2)=l—2In2<0,又1r-*+8时方=，-►(),所以0<方41,即，丁)/Inz,设〃(x)=

x—^lnx,则/i/(x)=l——,h(x')^h(k')=k—々In人>O,ln1<l,OVA〈e.

JC

四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

15.解：(1)根据频率分布直方图，可得(0.04+0.08+0.12+0.10)X2=0.68<0.75,

(0.04+0.08+0.12+0.10+0.08)X2=0.84>0,75,

所以这1000名消费者对年菜开支接受价格的75%分位数是8+吟奈8.9...........................6分

U.Uo

(2)由〃=0.08X1+0.16X3+0.24X5+0.20X7+0.16X9+0.10X11+0.06X13=6.48,..............9分

所以X〜N(6.48,3.242),

所以P(X>9.72)=匕£仁哆运&应=I-j68=0.16,

故所有消费者对年菜开支接受价格大于972元的概率为0.16...............................................................13分

16.解：(1)因为4幻一3s“=表，

当??=1时可得4al—3al=1,即=1得0,3S”=4一.L①，..............................................................2分

当时,3S,i=4一/②，.................................................................................................................3分

由①一②得3a“=^^一住7，。”=/y,又a1=1也满足，......................................5分

所以a„=(-y)..........................................................................................................................................6分

111—1

(2)因为6"="a”=〃(十)，.....................................................................................................................7分

1011]21H-1,

所以]?=1X(W)+2><(彳)+3X(­)+---+?7X(―)9..............................................................9分

111121IIn

-7-T=lX(-T-)+2X(丁)+•••+(72-1)X(丁)+nX(-7"),......................................................10分

4n4444

9[0]][21n—11n

两式相减得,"^^=(彳)+(W)+(-T)-----^(7)—〃X(1),

In

R]1--(k--4-)7In,2441〃

即7T〃=-------------n(-J-)，则-(7z+-y)(]),

1-T

故Z尸号—■­...............................................................12分

由著+3/a〃，得¥——一!-(%+g)(J)&著+3/(,)，即义》^-—得，.................13分

yI/Oo^x«7Tcy乙/

依题意，V7?GN*不等式人》一■^一言恒成立，

y乙/

因为卷一《随着"增大而减小，.......................................................14分

所以义》一千，即久的取值范围为［一£,十8)......................................................................................15分

17.⑴证明:在直三棱柱ABC—A出G中,ACLAAi,

因为AC±AB,ABpAA1=A,

所以4：_1平面43为4,

因为ABU平面ABB】A,所以AC,A】B,.................................................................................................2分

由咻_田=£*2"・AC・AA1=《,得"】=伍........................................3分

1OZ0

数学参考答案第3页(共5页)

在矩形ABB!A.中，tan/ABAi=第=畲，tanZADB=^=/,

/1£）1DU

所以NASA】=NAD3,

因为NADB+NBAD=90°,所以NASA】+/BAD=90°,

所以AD_[_AB,.............................................................................5分

因为ADnAC=A，所以A]平面ACD.

因为ABU平面ABC,

所以平面ACDJ_平面ABC.................................................................7分

⑵解：因为AB,AC,AA1两两垂直，以点A为坐标原点，以AB,AC,AA1所在

直线分别为z轴,？轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则A(0,0,0),B(l,0,0),C(0,l,0),Ai(0,0,y^),D(l,0,g),

所以病=(-1,1,0),祸=(-1,0,"),无=(1,一1，¥)...........9分

(n,BC=0

设平面A]BC的法向量为〃=(N,;y,N),则有一＞,

In•BAy=0

次/-x+j/=0

I—T+42Z=Q

取z=l,得"=(畲，作，1),..................................................................12分

设直线CD与平面AiBC所成角为心

同.一回_9+(-DX〃+gxi|J

则se逐甫一/⑴二F

在+(一1)2+(华)y(V2)2+(72)2+l2

所以直线CD与平面ABC所成角的正弦值为卷..............................................15分

18.解：（1）设c="F^,

因为Z1,22之间的距离为4痣,所以2csin60°=4痣述=4,......................................2分

则

&2=C2-4=12,

所以C的方程为与一名=1.................................................................4分

4XLt

（2）由（1）知尸2（4,0）,设直线Z：J?=7HJ/+4（772#0）,3/1）,N（J:2»J^2）»

（之一丈=1

联立方程组4412—\消去1,得（37/-1*2+2痴^+36=0,

Vx=my+^

飞/一170

△=144（7/+1）＞0

所以《I24/727分

以+"一诟=T

36

[加北=石£=1

因为IMF?|2=(^1—4)2+j/i=(7?22+l)j/i,

所以|乂尸2]=/^阡1|以|,同理|7\^2|=/^干1|2|.…9分

因为直线I过点F2且与c的左、右两支分别交于M,N两点,

所以M,N两点在了轴同侧，.•.例2>0，此时3/一1>0,即4>春

O

IMF?1—|NFz|2_11____________2

所以（IMF2I[NF?]）_IMF/十WK/|MF,I­|NF2|

数学参考答案第4页(共5页)

=1,]____________2

(?7?2+1)J/](m2+l)j/2(m2+1)13/13/2I

=1./1I121.()】+62――41/

222

m+lylyly\y2m+l(3^13^2)

1?722+1_1

14分

7刀2+199'

^n\\MF2\~\NF2\\=1

叨以IMF2IINF2I—3，

所以存在归=[,使得IIMFZI—INFZI|=a|MF2||NFz|...................................................................17分

o

19.解：(1)/(2)的定义域为(一1,十8),

由题可得f'(J?)=(X—a)e*—1+：：；=(z—a)(er-工；1),

1分

设g(工)=^.一岩，则g(z)在(-1,+8)上单调递增，且g(0)=0,......................................................2分

若a<—1,则x—a〉0,zG(—1,0)时,f'(z)<0,/(z)单调递减,zG(0,+8)时,/(z)>0,/(工)单调递