2024年高考数学二轮复习训练：数列求通项（教师版）（新高考专用）

专题6-2数列求通项

题型一：S"法

【典例分析】

例题1.(2024•陕西宝鸡•模拟预料(理))已知等比数列｛%｝的前几项和为果，且

%=2S“+1(”CN*).

(1)求数列｛4｝的通项公式；

【答案】⑴。"=3"，

【详解】(1)用=2S,+l(〃eN*),

・•・当〃22时，。〃=2sl+1,

a

n+i=3%，

故等比数列｛%｝的公比＜7=3,

令n=1,得。2=2%+1,

**.q=1,

例题2.(2024•陕西•安康市高新中学三模(理))已知等比数列｛风｝的前几项和为

n+

Sn=4'-k.

(D求实数上的值，并求出数列｛%｝的通项公式；

【答案】⑴%=4,%=34

(1)

解：当〃=1时，al=S1=16-k；

当“22时，an=Sn-Si=4用一％-（4"—9=3-4"；

因为｛%｝是等比数列，

所以%=3x4=12,即16-%=12,解得％=4.

综上，"的值为4,数列｛〃“｝的通项公式为为=3-4".

例题3.（2024•山东烟台•三模）已知数列｛叫的前”项和为S“，当时，

—。凡—an.

⑴求S/

【答案】⑴5"二々

⑴当"22时，Sl=anSn-an,所以，S；=（S“-S”一）S”-⑸一邑一），整理得:

S.S“T=S.T-S.,即=1.所以数列是以J=，=2为首项，1为公差的等差数

S〃S”_|电JS]%

1I

列.所以丁="+1，BPS„=^-.

S"«+i

例题4（2024•宁夏•银川一中一模（理））已知数列⑷满意及+,++墨=全

（1）求数列｛4｝的通项公式；

【答案】⑴氏=2-〃/eN*

幺+"+为=上

（1）解：由题可知，2222"-2〃①，

所以尹生+什9n>2®,

①-②得亲=筝，所以q=2-〃（*）,

又因为3=；，所以q=1，符合（*）式，

所以4〃=2_2〃£N,；

【提分秘籍】

对于数列{q},前几项和记为S”；

a；②a）

①Sn=%+4+%+n-l+%S“T=+。2+%+,„-l（九22

①-②：S"—S“_i=a.（nN2）

S”法归类

角度1：已知S,与％的关

系；或S“与〃的关系

用S“一S”1，得到4例子：已知4s“=（%+1「求4

角度2：已知4与S,_£的S"-S"_】替换题目中例子:已知2%=S“S,T（心2）；

关系；或％与的4

已知=an+l~Js〃+1

H+卮的关系

角度3：已知等式中左侧含作差法（类似例子：已知％+2〃2+3/+…+=2〃求。〃

nSn~Sn-l）

有：Z她

i=l

【变式演练】

1.（2024•全国•模拟预料）已知数列｛q｝的前〃项和为5“，弓=4,«2=8,且

Sn+2-2Sn+l+Sn=4.

⑴求证：数列｛4｝是等差数列；

【答案】（1）证明见解析

⑴因为S”+2-2S“+I+S"=4,

所以S,+「5„+1-S向+S.=4，BP（5„+2-S„+1）-（Sn+1-5n）=4,

则%+2一°“+1=4.

又％=4,%=8,满意。2-4=4,

所以｛%｝是公差为4的等差数列.

2.（2024•湖南•邵阳市其次中学模拟预料）已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且4%=35”+2.

⑴求数列｛《,｝的通项公式；

【答案】⑴%=2X4”T

【详解】（1）•••4%=3S.+2,①

当〃=1时，44=3%+2,即％=2

当时，4%T=3ST+2.②

由①一②得4a,-44_]=3a“，即氏=4aAi

•••数列｛。“｝是以2为首项，4为公比的等比数列.

=2X4”T

3.（2024•湖北•黄冈中学三模）已知等差数列｛%｝的前”项和为S“，且%=1，1=7；

+l

数列也,｝满意伪+&++bn=T-2.

（1）求数列｛%｝和｛%｝的通项公式；

【答案】（l）4，=g，2=2"；

「、｛a,+2d=1

【详解】（1）解：设等差数列｛%｝的公差为d,贝41+154=7

11

解得。1=]，d=1.

11ri

所以。〃=g+5_l）x§=§.

因为4+仇++2=2向—2,

所以当〃=1时，4=2；

当〃22时，伪+4++bn_[=2〃-2,

所以a=(2"+i_2)_(2〃_2)=2"

明显A=2符合么=2".

综上可知。=2".

4.(2024•四川•石室中学三模(文))已知数列｛0｝的前〃项和为S”(〃eN*),且

一S,H——S,+••,-)S=3n+5.

2222"

(1)求生,%及数列｛%｝的通项公式；

16,n=l,

【答案】⑴4=16,a2=-4,an=<-4,n=2,.

3X2"_1,/J>3

(1)

+±邑+…+gs“=3〃+5①,

...当上1时，：S[=3+5=8,即gq=8,%=16；

当/T=2时，—Sl+—S2=3x2+5=11,即+电)=11，将4=16代入并整理得

1,“

工％=-],〃2=-4•

当2时,卜+…+=3(〃-1)+5②,

由①一②得，gs,=3,••.S“=3x2"522),

因此,当“22时，a,=S.-S,T=3x2"-3x2"T=3x2'i,

当〃=2时，3*2"7=3X2力=6*为，=3x2'—在〃=2时不成立，

16,n=1,

故见=<-4,〃=2,

3x2^,H>3.

题型二：累加法

【典例分析】

例题1.(2024•福建泉州•高二期末)已知数列&｝满意：％=1,%=3,%=7,｛。角—a“｝为

等差数列.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

2

【答案】(l)a„=n-«+l;

(1)由/一4=2,/一出=4,故｛4+i-%｝的公差为1=2,

an+l-an=(o2-o1)+(n-l)x2=2/i,

a“=一%_])+(4"_]+(/-卬)+4=2(〃-1)+2(〃-2)++2+1

=n2-n+l(n..2),

当”=1时，％=1满意q,="Z一〃+1,

故对weN=q,=n2-n+\■

例题2.(2024•重庆市育才中学模拟预料)已知F+22+…+/=：+1)(2/+1),数列｛叫

满意。=/+2〃+],q=L

(1)求｛4｝的通项公式；

【答案】(1)凡=:""+1)(2"+1)

⑴解：因为%+1一%=":2〃+1,即%+「%=(〃+1)[

2

所以%-%=22,a3-a2=3,…，,

以上各式相加得凡一。1=22+32H----Fn2(n>2),

又％=1,所以%=I2+2?H----FAZ?=—〃(〃+1)(2〃+1).

当”=1时，ax=l=1xlx(l+l)x(2xl+l),

故｛%｝的通项公式为%=!〃(〃+1)(2附+1).

O

【提分秘籍】

累加法(叠加法)

若数列｛为｝满意*+1-即=/(")(nsN*),则称数列｛%｝为“变差数列"，求变差数列｛册｝

的通项时，利用恒等式

aHaa

4=%+(。2-。1)+(3-。2)-1-----(n~n-l)=q+/⑴+/⑵+/(3)H-------bf(n-l)("22)

求通项公式的方法称为累加法。

详细步骤：

。2-=/(I)

a3-a2=/(2)

a4-a3=f(3)

"〃一1=/(〃-1)

将上述“-1个式子相加(左边加左边，右边加右边)得：

(a2-at)+(a3-a2)+(a4-a3)+-+(an-an_^)=/(I)+/(2)+/(3)++/(«—1)

整理得：4-。L〃1)+/(2)+/(3)++/5—1)

【变式演练】

l!1

1.(2024•黑龙江•哈尔滨市第六中学校高二期中)已知数列｛0｝满意4=3,a„-a„_1=2-.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵令a=乌匚，设数列也｝的前〃项和为端证明：

anan+l153

【答案】⑴氏=2〃+1；

⑴an-an-l=2"T,

/.a2-ax=2

〃3—〃2~2

=2〃T

nn

/.an—ax=2—2=>an=2+1.

2.(2024•全国•模拟预料)给出以下两个条件：①%=3q=3,an+2-2an+1=Sn+i-Sn-2an；

+1

②％=1,(1+a„)(1+«„+1)=2"(an+1-)(«eN*).请从这两个条件中任选一个将下面的题

目补充完整，并求解.

已知数列｛q｝的前〃项和为工，且______.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】

(1)解：若选①：

由%+2-2a“+i=Sn+1-Sn-2an,得an+2-2an+1=an+l-2an,

即见+2—。“+1=2(4+］一%)，

所以｛。,,+「。”｝是以。2-《!=2为首项，2为公比的等比数列，

所以％+「a“=2x2i=2"(〃eN*).

当"22时,4=(。“-%)+(%-。“2)+…+(%—％)+4,

=2"T+2"-2++21+1=2,,-1,

而弓=1也满意上式，故4=2"-l(〃eN*).

若选②：

由(1+%)。+*)=2鹏-%乂〃eN*),

«_%一g_=_L

信(1+%)(1+%厂2•…

所“。+%+1)-。+%)=J_

所以(1+«„+1)(1+«„)-2-1

11_1

即尸

.(11)(11)(11)

贝nI]-----------+------------++--------------,

11+%1+6?2J(1+?1+〃3)11+%T1+1

111±22[L⑴aTlJ=l_±

=?+?++=12

22F—1n-2"'

~2

1111

+~l+an~2~2"'

解得%=2"-1.

3.(2024•河南洛阳•高二阶段练习(理))在数列｛%｝中，%=O,a„-a„_1=2«-l(«>2).

(1)求｛4｝的通项公式.

【答案】⑴air

(1)解：因为为一%7=2"1伽》2),

所以4=(%—/)+(/-/)+(。4-4)+•••+(4-4—1)+/，

=3+5+7+...+21fl—1+0,

_(w-l)(3+2n-l)

—,

2

=n2-l,

又4=。适合上式，

所以%=«2-1；

题型三：累乘法

【典例分析】

例题1.(2024•浙江省淳安中学高三开学考试)已知数列｛%｝的前〃项和为

S“，4=L(〃+3)S„=nSn+1eN*).

(1)求数列｛4｝的通项公式；

【答案】(1)为=岑»；

S,+i/+3

(1)因为(〃+3电=2-1,所以Sn”，由累乘法得

SSSS〃_45^67几+2(孔〉鼠_几(〃+1)(〃+2)

W2瓦3石4心二丁531.石\贝|」了二6,

又％=l,所以―△——L,当〃=1时，%=1,时，⑸=s“—§“_]=△―L,

62

”=1时也符合，所以a“=当W；

例题2.(2024•全国•高三专题练习)已知数列｛氏｝满意卬=；,2("-1”“-〃1=0.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

【答案】(1)«„=-;

(1)当“22时，2GLl)/一7叼T=0,

/、a1n

则2(〃T)a“,即厂=5,工T[，

aa,a.(1丫〃n-1321n

•a=———•—-.——.——.n=\—---------------------X—X—=

n

an_xan_2a2ax\2)n-1n-22122"

rj

〃二1也满忌上式，故a,=三；

【提分秘籍】

累乘法(叠乘法)

若数列｛许｝满意如=/5)(〃eN*),则称数列｛%｝为“变比数列"，求变比数列｛为｝的

an

通项时，利用an=ai------=4•/⑴•/⑵•/(3)…一1)(几>2)求通项

“1。2an-l

公式的方法称为累乘法。

详细步骤:

”=/(I)

%="2)

。2

幺=/(3)

。3

4=1)

a,i

将上述“-1个式子相乘(左边乘左边，右边乘右边)得:

幺％=/⑴/⑵/⑶-/(n-1)

Q]。2。31

整理得:组=")"(2)。3>-f(n-l)

a1

【变式演练】

1.(2024•全国•高三专题练习)已知数列｛4｝满意4=1,,=一

⑴求数列｛%｝的通项公式；

【答案】⑴

n+1a.a23na

(1)因为4=1,3=一，所以当〃》2时，二・4••—=Tx-x，x—则」=",

annOja2an_x12n-1%

即4=〃，当月=1时，也成立，所以

2.(2024•全国•高三专题练习)在数列｛a〃｝中，a/=l,a.=(1二］%(62),求数列｛a〃｝

的通项公式.

【答案】a=-

nn

(1an-1

【详解】因为团=1,〃〃=1一一%一1(〃三2),所以---=----，

\nJ〃“一1〃

aa.a

所以氏二工•—・q9"3"2〃〃-1〃-2〃-32111

an-\an-2an-3a2alnn—1n—232n

又因为当〃=1时，符合上式，所以次7二L

n

3.（2024•全国•高三专题练习）已知数列｛4｝的首项为《，且满意

（n+l）a〃=（九一1）q_1（〃之2,〃EN*）.求｛〃〃｝的通项公式.

1

【答案】〃〃二丽包・

【详解】由得厂=R，

U

n-\"十1

又％=；，所以当〃22时，

aaa

.nn-ln-2〃3〃2「九一1"一2〃—3211_1

61=------------------------------%=--------------------------------——-------,

naaan

an_xan_2n_32\〃+l〃—1432+

1

又〃=1也满意上式，所以4=(1、;

n\n+Y\

题型四：构造法

【典例分析】

例题1.(2024•江苏苏州•高三阶段练习)已知数列｛凡｝的前〃项和为S",且3数

歹U｛2｝满意b"=3b,1+2(〃wN*,〃22),且4=q+1.

(1)求数列｛4｝和他」的通项公式；

【答案】(l)a„=2n-l,%=37；

【详解】(1)解：当"=1时，4=$=1,

当"22时，an=Sn-S,i=-(凡一I)?=2w-1,

因为生符合。,所以

因为2=36i+25eN*,"22),

所以a+l=3Si+l)("eN*,〃N2),

又仇=4+1=2,

所以如+14,

b+1.

所以,",=3(〃eN*,〃22),

所以数列电+1)是首项为3,公比为3的等比数列.

所以2+1=331=3".

所以2=3"-1；

例题2.(2024•海南华侨中学高三阶段练习)数列｛%｝中，已知。“=34_+20(〃eN*,

“22),其中q是非零的常数.

⑴若4=5,。产25,求证:数列｛%-5角｝是等比数列;

【答案】(1)证明见解析

(1)由4=5得，=3a+2.5〃，(nGN\n>2),

_s〃+i

所以凡一5"+1=+25'—5"+I=3%_1—3・5"=3-5"),即,--=3,

an-\

因为qw25,所以q-52=q-25w0,

所以数列｛4-5"、是公比为3的等比数列.

例题3.(2024•广东•模拟预料)已知数列｛4｝中，％=5且。“=2%一+2"-1(九.2,〃€

b=9

"n+1

⑴求证：数列也｝是等比数列；

注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)证明见解析

(2)选①：7；=y+|+2n+,-2；选②：7；=(«-1)2,,+1+2

⑴因为％=5且4=2©+2"-1(几.2”用)，

所以当近2时，4—1=2(%—1)+2",

所以色^=即2二，"T「二l

2"2"T2"2"T

所以［之二］是以胃=2为首项，1为公差的等差数列，

［2"J2

所以^7^=2+(〃-1)><1="+1，

所以%=(”+1)2"+1,H=3=("+1)2"+1T=2"

M+1n+1

因为止?J=2,“22时，｝=条=2

1+1%2

所以数列也“｝是以2为首项，2为公比的等比数歹!J.

【提分秘籍】

构造法

类型1：用“待定系数法”构造等比数列

形如。“+1=股”+〃(太0为常数，切片。)的数列，可用“待定系数法”将原等式变

形为。"+1+%=k(即+"。(其中：7〃=—),由此构造出新的等比数列｛即+"?｝,先求出

k-l

｛即+〃”的通项，从而求出数列｛。,｝的通项公式.

标准模型：册+1=+P(太。为常数，烟片。)或4=比!"t+。(匕P为常数，切片。)

类型2：用“同除法”构造等差数列

⑴形如。"+1=眄+/>/+1(〃€"*),可通过两边同除4日，将它转化为寝-2+P,从

qQ

而构造数列］》I为等差数列，先求出］券］的通项，便可求得｛见｝的通项公式.

(2)形如a“+i=hZ"+q""(〃eN*),可通过两边同除4向，将它转化为宅=工今+1,

qqq

换元令："，=*,则原式化为：b,l+l=-bu+1,先利用构造法类型1求出4，再求出｛a,,｝

qq

的通项公式.

(3)形如册-。〃+1=3+1即(左。0)的数列，可通过两边同除以%+i即，变形为------=-k

。〃+1册

的形式，从而构造出新的等差数列［十］,先求出［十］的通项，便可求得｛《,｝的通项公式.

【变式演练】

1.(2024•陕西•绥德中学高一阶段练习)已知数列｛%｝满意4=1,a„+l=2a„+l(neN*).

(1)写出该数列的前5项；

(2)求数列｛%｝的通项公式;

【答案】4=3,a3=7,&=15,ct5=31

⑵%=2〃-1

(]),4=1「.%=2q+1=3〃3=2%+1=7。4=2。3+1=15a5=2a4+1=31

⑵由%+1=2%+1得：。“+1+1=2(%+1),又％+1=2,

二数列｛。,+1｝是以2为首项，2为公比的等比数列，.•.。"+1=2",

.­.«„=2"-1.

2.(2024•全国•模拟预料)已知数列｛4｝的前"项的和为S,且满意S“=2%-2",数列也｝

是两个等差数列L4,7,10,…与4,9,14,19,…的公共项组成的新数列.

⑴求出数列｛%｝,也,｝的通项公式；

【答案】⑴a“=5+l)-2"T,£=15〃一11

(])当"=]时，/=S[=2a]-2,;.%=2；

当心2时,S,T=2%-2i,.”“=S"-S,T=20“-2"-2%+2修=2%-即

an=2a.i+2"1,

・•・*=卷+/，；•数列是以B=1为首项，J为公差的等差数列，

n

=l+=，,-,an=(n+l)-2~'；

数列｛2｝是两个等差数列L4,7,10,…与4,9,14,19,…的公共项组成的新数列，

；・数列也｝是以4为首项，15为公差的等差数列，.也=4+15(〃-1)=15〃-H.

+1

3.(2024•全国•高二单元测试)在①纵“+1=3("+1)。“，②％+1=3%-2,(3)an+1-3an=3"

这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.

已知数列｛q｝中，4=3,,求数列｛。〃｝的前〃项和

【答案】答案见解析

【详解】选①，因为叫^1=35+1)%,所以&言=3•”，

又q=3,所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，

所以?=3x3"—=3",所以%=止3",则S“=1x31+2x3?+…+〃守(1),

3S„=lx32+2x33+---+n-3n+1(2),(1)-(2)得

12,!+121x3，，+

-2S„=3+3+---+3"-n.-3,整理得S=(»-)'+1,

"44

选②，由“用=3。“-2,得%十1-1=3(a"一1),又%-1=2,

所以数列｛氏-1｝是以2为首项，3为公比的等比数列，

所以4-1=2x37,所以4=2x31+1,

=2x(3°+31+---+3^1)+??=3,,+w-l.

选③，由%-3%=3向，得翁一拿=1,又，=1,

所以数列］会｝是以1为首项，1为公差的等差数列，

所以墨=l+(l)xl=〃，所以a,=〃.3".

故S“=1x31+2x3?+…+山3”(1),3S„=lx32+2x33+---+n-3,,+1(2),

(1)一(2)得一2s“=3+3?+…+3"-小3角，整理得S=(2九T)x3"'+」.

44

题型五：倒数法

【典例分析】

例题1.(2024•陕西西安•高二期中(文))若用＞0吗片1,。7=鲁-(〃=1,2,).

(1)求证:an+ian;

（2）令％=：,写出。2，%，4，%的值,视察并归纳出这个数列的通项公式凡；

【答案】（1）证明见解析；

（2）结论见解析；

_2a,2an_

a=a

_n+l-~n_n_[

（1）假设"用=%，因“eN*,1+4,则1+凡，解得%=。或％=】,

于是得％=。或%=1,与题设冲突，即假设是错的，

所以“〃+1成立.

12%4816

anl2

a=一+

(2)因2,及eN'1+4，则%。9,17,

2°212223242〃-1

明显有％=一—Q，,则

2°+12'+1~22+T23+124+12"-'+1

2%11111,1,1,、1,,

=—。I一--，即----彳(----，又---，

由«„+i得:―1=1)1=1

1+。〃anl22aaa2a-

+nn+„i+ln

因此数列｛工-1｝是首项为1,公比为§的等比数列，--1=4）^,则氏==;，

,,-1

a.2an2"2+1

所以a“=（F^，〃eN*.

例题2.（2024•全国•高三专题练习）已知数列｛%｝中，的=，an=an+l+2anan+l.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

【答案】（1）。“=’；（2）-3向+3.

2〃一1

【详解】（1）因为=。“+1+2。/用，令〃=1,则%=的+2%%，又%=g，

所以4=1,

aa

对n=n+i+2%。用两边同时除以anan+1,得/——；=2,

an+\an

又因为'=1,所以是首项为1,公差为2的等差数列,

所以工=1+2（〃-1）=2力-1,故见二^^；

a

n2n-l

【提分秘籍】

倒数法

用“倒数变换法”构造等差数列

类型1：形如阳+i="L（。应为常数，pqwO）的数列，通过两边取“倒”，变形

pan+q

为」一=,+'，即：—从而构造出新的等差数列1-4,先求出P4的通项,

即可求得册.

ka„

类型2：形如/+1=———（。应为常数，p/0,q/0,左W0）的数列，通过两

Pan+q

1（71P,1av

边取“倒”，变形为——=/一+十，可通过换元：用=一，化简为：^„+i=-&„+-（此

4+ika”kankk

类型符构造法类型1：用“待定系数法”构造等比数列：形如an+i=kan+p（匕2为常数,

切片。）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为许+1+机=以许+㈤（其中：加=上），

由此构造出新的等比数列｛%+机｝,先求出｛为+*的通项，从而求出数列｛见｝的通项公式.）

【变式演练】

1.（2024•全国•高三专题练习）已知数列｛%｝中，a2=1,an=an+l+2anan+l.

（1）求数列｛。“｝的通项公式；

【答案】⑴a=

n2/7-1

【详解】（1）因为%=/+1+2aM,+i,令”=1,则q=g+2%。2，又%=；,所以q=l.

对an=4用+2a„a„i两边同时除以a„a„+i,得------=2,

+an+\an

又因为'=1,所以是首项为1,公差为2的等差数列，

%[a„]

所以'=1+2（九一1）=2〃一1,故见

2n-l

2.（2024•全国•高三专题练习）已知数列｛%｝,满意4=2,%+1=/右.

（1）证明：数列为等差数列.

⑵求知.

2

【答案】（1）证明见解析；（2）册=—.

n

【详解】（1）证明：

2〃”1凡+211

：%=2,%=七7，一=U—=[+—，

4,+2an+12an2an

•1____1__1

"a「2’

即[工]是首项为'=；,公差为d的等差数列.

山422

1]V）

⑵由上述可知一=一+（〃T）d=5，

'-a=~-

nn

3.（2024•广东梅县东山中学高三期中）已知数列｛4｝中，4=1,a“+i=，^（"eN*）.

4+J

⑴求证：数列，,是等比数列;

【答案】（1）证明见解析

⑴解:

11(11)

---+—=3

an+l2"2,

所以数歹<是以3为公比,以=1为首项的等比数列.

U2J（42）2

双逡景新模考敦殂秣

1.（2024•新疆和静高级中学高二阶段练习）（1）已知等差数列｛。“｝满意%+%=12,

q+4=20,数列抄/满意仇=1,4-2=3".求｛叫，他,｝的通项公式;

（2）在数列｛%｝中，4=6,an=4a„_1-6（n>2,/ieN*）,

①求证：｛4-2｝是等比数列；

【详解】解：（1）设等差数列｛%｝的公差为d,因为4+%=12,&+%=20,

f2〃]+8d=12\d=2（、

则1解得｛则q,=q+（w-l）d=-2+（〃-l）x2=2〃-4；

又数列抄“｝满意仇=1,勿―

23

所以瓦一瓦=31么一瓦=3,b4-b3=3,，W3"一,

231qi—13

累加得：bn-bx=31+3+3++3"-=^^=-x3"--

"11-322

故6“=—1x3"3-3+4=—1x31"——

"22122

w

综上：an=2n-4,&„=1x3-1；

(2)①在数列｛%｝中，4=6,an=4an_1-6(n>2,MeN,),

%2_46]-6-2_4a“]8

所以=4,

%_2an_x-2%-2

则数列｛%-2｝是以4-2=4为首项，4为公比的等比数歹（J；

2.（2024•云南•昆明市官渡区艺卓中学高三阶段练习）己知数列｛4｝的前〃项和S“，q=4,

S“=a“+i+2"-4.

⑴证明数列｛%-2｝为等比数列，并求出与的通项公式;

【答案】⑴证明见解析，勺=2"+2

【详解】（1）因为S“=%+2〃-4①

当"22时，=4+2(〃-1)一4②

①一②可得=”"+1-+2,即得an+l=2a„-2

4+1-2(2%「2)-2…：2

因为

a”一2%—24一2

4Z—24

又因为9

q-zz

所以｛%-2｝是以％-2=2为首项，以2为公比的等比数列

所以%-2=2x2"一=2",即a„=2"+2

3.（2024•福建省福州延安中学高三阶段练习）已知数列｛%｝中,

a

2=3%=3,an+2—2an+l=Sn+l—Sn—2an；

（1）求数列｛%｝的通项公式；

【答案】⑴。"=2"-1

【详解】（1）因为%=3q=3,所以q=1,由。,+2-2°用=5用一5“一24,

aa

可得Q〃+2_2q+1=n+\-2a”,即有4+2~n+l=2(%-%),

所以数列｛。用-%｝是以g-弓=2为首项，2为公比的等比数列，

所以%「%=2X2"T=2"("WN*),

当时，—a”-i)+(a4-i—。”-2)++(%—q)+q=2"।+2"~++2+1=2"—1,

当〃=1时,满意％=1,故。“=2"-1；

4.(2024•福建省永泰县其次中学高三期中)己知正项数列｛0｝的前〃项和为工，且凡和S.

满意:4s.=(%+1)2(〃=1,2,3...).

(1)求｛〃“｝的通项公式；

【答案】⑴氏=2〃-1

【详解】⑴解：•••4S,=(%+1)2,①

当”=1时4Sj=(q+l)2,解得q=l,

.—%+1)2(心),②

①一②得40—%)=4+1)2—(%+1)2,

4a,=(%+1)2-(%+1)2，化简(4+«„-1),(«„-an-\-2)=0.

：4>0,%,-舶=2(”22).

，｛%｝是以1为首项，2为公差的等差数列.

:.a“=1+｛n—1),2=2”—1.

5.(2024•上海市第三女子中学高一期末)已知数列｛%｝的前〃项和为S,，S.=2q「3w.

⑴求数列｛4｝的通项公式％;

【答案】⑴氏=32-3

【详解】（1）由S“=2a,-3〃，当〃=1时，S[=4=2q-3,解得q=3,

当2时，Si=2q”i-3(w-l),两式作差得4,=2<7“-2°"_1-3,

即%=2%T+3,%+3=2(a„_1+3),

所以数列｛4+3｝为等比数列，公比为2,所以a“+3=（4+3）・2"T=3-2",

所以数列｛4｝的通项公式4=3-2"-3.

6.（2024•江苏•苏州中学高三阶段练习）在数列｛%｝中，％=1,其前〃项和S“满意

2Sn+

（1）求数列｛巩｝的通项公式％;

【答案】（1）«„=«

【详解】(1)2S„=(n+1)=>2a„=2Sn-=(n+1)-nan_r(n>2)

n(“一l)cza=na.ln-l(〃22)=^-=--

an-l«-1

aa,ann-12