吉林省长春某中学2024年中考一模数学试题（含解析）

吉林省长春六中学2024年中考一模数学试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图，两个同心圆（圆心相同半径不同的圆）的半径分别为6cm和3cm,大圆的弦AB与小圆相切，则劣弧AB的长

为（）

A.2元cmB.471cmC.6ncmD.871cm

4

2.如图，是反比例函数y=—（x>0）图象，阴影部分表示它与横纵坐标轴正半轴围成的区域，在该区域内（不包括边

x

界）的整数点个数是k,则抛物线y=-（x-2）2-2向上平移k个单位后形成的图象是（）

3.如图，已知菱形ABCD的对角线AC.BD的长分别为6cm、8cm,AELBC于点E,则AE的长是（）

4.下列性质中菱形不一定具有的性质是()

A.对角线互相平分B.对角线互相垂直

C.对角线相等D.既是轴对称图形又是中心对称图形

5.将直径为60cm的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面(不浪费材料，不计接缝处的材料损耗)，那么每个

圆锥容器的底面半径为()

A.10cmB.30cmC.45cmD.300cm

6.反比例函数y=—的图象如图所示，以下结论：①常数m<-l；②在每个象限内，y随x的增大而增大；③若点

x

A(-1,h),B(2,k)在图象上，则h<k；④若点P(x,y)在上，则点P'(-x,-y)也在图象.其中正确结论的个数是()

7.如图，在△ABC中，ZC=90°,AC=BC=3cm.动点P从点A出发，以0cm/s的速度沿AB方向运动到点B.动

点Q同时从点A出发，以lcm/s的速度沿折线AC^CB方向运动到点B.设小APQ的面积为y(cn?).运动时间为

x(s),则下列图象能反映y与x之间关系的是()

8.如图，点A、B在数轴上表示的数的绝对值相等，且AB=4,那么点A表示的数是（）

4p

A.-3B.-2C.-1D.3

9.下列运算正确的是（）

A.2a+3a=5a2B.（a3）3=a9C.a2»a4=a8D.a6-i-a3=a2

10.如图所示，某公司有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A,

B,C三点共线），已知45=100米，5c=200米.为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，

为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）

|-»400米.|-200米Q|

A区3lxClx

A.点AB.点5C.A,3之间D.B,C之间

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.地球上的海洋面积约为361000000kmi,则科学记数法可表示为km1.

12.直线y=2x+l经过点（0,。），则.

13.在一个不透明的布袋中装有4个白球和n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸

到白球的概率是J,则n=.

6x

14.分式方程一二-1=^一的解是x=______.

X2-93-X

15.若关于x的一元二次方程x?+2x-n?-m=0（m>0）,当m=l、2、3、…、2018时，相应的一元二次方程的两个

111111

根分别记为Otl、Pl,（X2、02,…，</2018、02018,贝!J：—+~+—+万+…+----+~Q—的值为•

%Px%p2%018夕2018

16.在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是

如图所示的四边形，AB〃CD,CDLBC于C,且AB、BC、CD边长分别为2,4,3,则原直角三角形纸片的斜边长

是.

B

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）下表给出A、B、C三种上宽带网的收费方式:

收费方式月使用费/元包时上网时间/h超时费/（元/min）

A30250.05

B50500.05

C120不限时

设上网时间为t小时.

（I）根据题意，填写下表:

月费/元上网时间/h超时费/（元）总费用/（元）

方式A3040

方式B50100

（II）设选择方式A方案的费用为门元，选择方式B方案的费用为y2元，分别写出yi、y2与t的数量关系式;

（III）当75Vt<100时，你认为选用A、B、C哪种计费方式省钱（直接写出结果即可）?

18.（8分）如图，在AABC中，AB=AC,NBAC=120。，EF为AB的垂直平分线，交BC于点F,交AB于点E.求

证：FC=2BF.

19.（8分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-/+治:+。的图象与坐标轴交于A,B,C三点，其中点8的坐

标为（1,0）,点C的坐标为（0,4）；点。的坐标为（0,2）,点P为二次函数图象上的动点.

（1）求二次函数的表达式；

（2）当点尸位于第二象限内二次函数的图象上时，连接AO,AP,以AO,AP为邻边作平行四边形APE。，设平行四

边形APEZ）的面积为S,求S的最大值；

（3）在y轴上是否存在点尸，使/尸。歹与NAO。互余？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由.

1

2-x

-4sin31°+(2115-it)」(-3)2

r2-v2

(2)先化简，再求值：1-2+4孙+4尸其中登丫满足愎一件⑵-丫7/"

x+2yx

22.(10分)已知BD平分NABF,且交AE于点D.

(1)求作：NBAE的平分线AP(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法);

(2)设AP交BD于点O,交BF于点C,连接CD,当ACLBD时，求证：四边形ABCD是菱形.

b—c*

23.(12分)小明遇到这样一个问题：已知：——=1.求证：b2-4ac>0.

a

经过思考，小明的证明过程如下:

b—c

-------=1,Z?-c=a.・・・a-Z;+c=O.接下来，小明想：若把％=—1带入一元二次方程ox?+区+。=0(。=0),

a

恰好得到a—b+c=O.这说明一元二次方程依2+区+。=。有根，且一个根是％=—1.所以，根据一元二次方程根的判

别式的知识易证：b2-4ac>0.

根据上面的解题经验，小明模仿上面的题目自己编了一道类似的题目：

4〃+c

已知：^^=-2.求证：.请你参考上面的方法，写出小明所编题目的证明过程.

b

24.先化简，再求值：(1--)vx2+6x+9,其中x=L

x+1x2-l

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、B

【解析】

首先连接OC,AO,由切线的性质，可得OCLAB,根据已知条件可得：OA=2OC,进而求出NAOC的度数，则圆

心角NAOB可求，根据弧长公式即可求出劣弧AB的长.

【详解】

解：如图，连接OC,AO,

••,大圆的一条弦AB与小圆相切,

.\OC_LAB,

VOA=6,OC=3,

.,.OA=2OC,

.*.ZA=3O0,

/.ZAOC=60°,

.,.ZAOB=120°,

120x〃x6

劣弧AB的长==47t,

180

故选B.

【点睛】

本题考查切线的性质，弧长公式，熟练掌握切线的性质是解题关键.

2、A

【解析】

依据反比例函数的图象与性质，即可得到整数点个数是5个，进而得到抛物线y=-(x-2)2-2向上平移5个单位后

形成的图象.

【详解】

4

解：如图，反比例函数y=—(x>0)图象与坐标轴围成的区域内(不包括边界)的整数点个数是5个，即k=5,

x

,抛物线y=—(x—2)2—2向上平移5个单位后可得：y=—(x—2)2+3,即y=—x?+4x—1,

•••形成的图象是A选项.

故选A.

【点睛】

本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象、二次函数的性质与图象，解答本题的关键是明确题意,

求出相应的k的值，利用二次函数图象的平移规律进行解答.

3、D

【解析】

根据菱形的性质得出BO.CO的长，在RTABOC中求出BC,利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BCxAE,

可得出AE的长度.

【详解】

•..四边形ABCD是菱形，

11

/.CO=-AC=3,BO=-BD=,AO±BO,

22

：•BC=A/C02+B02=V32+42=5•

S菱形ABCD=eBD-AC=-x6x8=24.

又•:S菱形ABCD=BC•AE,

/.BCAE=24,

94

即AE=—(cm).

故选D.

点睛：此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相

垂直且平分.

4、C

【解析】

根据菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并

且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线.

【详解】

解：A、菱形的对角线互相平分，此选项正确；

B、菱形的对角线互相垂直，此选项正确；

C、菱形的对角线不一定相等，此选项错误；

D、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，此选项正确；

故选C.

考点：菱形的性质

5、A

【解析】

根据已知得出直径是60cm的圆形铁皮，被分成三个圆心角为120。半径是30cm的扇形，再根据扇形弧长等于圆锥底

面圆的周长即可得出答案。

【详解】

直径是60cm的圆形铁皮，被分成三个圆心角为120。半径是30cm的扇形

假设每个圆锥容器的地面半径为rem

120°x^-x30c

----------------=27rr

180°

解得r=10（cm）

故答案选A.

【点睛】

本题考查扇形弧长的计算方法和扇形围成的圆锥底面圆的半径的计算方法。

6、B

【解析】

根据反比例函数的图象的位置确定其比例系数的符号，利用反比例函数的性质进行判断即可.

【详解】

解：•.•反比例函数的图象位于一三象限，

故①错误；

当反比例函数的图象位于一三象限时，在每一象限内，y随x的增大而减小，故②错误；

m

将A(-Lh),B(2,k)代入y=—,得到h=-m,2k=m,

x

Vm>0

Z.h<k

故③正确；

将P(x,y)代入y=一得到m=xy,将P，(-x,-y)代入y=一得到m=xy,

XX

故P(x,y)在图象上，贝！|P「x,-y)也在图象上

故④正确，

故选：B.

【点睛】

本题考查了反比例函数的性质，牢记反比例函数的比例系数的符号与其图象的关系是解决本题的关键.

7、D

【解析】

在AABC中，ZC=90°,AC=BC=3cm,可得AB=3亚NA=NB=45。，分当OVx/3(点Q在AC上运动，点P在

AB上运动)和当3Wx4时(点P与点B重合，点Q在CB上运动)两种情况求出y与x的函数关系式，再结合图象

即可解答.

【详解】

在△ABC中，NC=90。，AC=BC=3cm,可得AB=3亚'，NA=NB=45。，当0<xW3时，点Q在AC上运动，点P在

AB上运动(如图1),由题意可得AP=0x,AQ=x,过点Q作QNLAB于点N,在等腰直角三角形AQN中，求

得QN=Y2X,所以y=^APQN=Lx岳(0<X<3),即当0<xW3时，y随x的变化关系是二次函数

22222

关系，且当x=3时,y=4.5；当3<x<6时，点P与点B重合，点Q在CB上运动(如图2),由题意可得PQ=6-x,AP=3&,

过点Q作QNLBC于点N,在等腰直角三角形PQN中，求得QN=Y2(6-x),所以

2

y=-AP-e2V=-x3V2x^l(6-x)=--x+9(3<x<6),即当3WxW6时，y随x的变化关系是一次函数，且当x=6

2222

时，y=0.由此可得，只有选项D符合要求，故选D.

cc

【点睛】

本题考查了动点函数图象，解决本题要正确分析动线运动过程，然后再正确计算其对应的函数解析式，由函数的解析

式对应其图象，由此即可解答.

8、B

【解析】

如果点A,B表示的数的绝对值相等，那么AB的中点即为坐标原点.

【详解】

解：如图，AB的中点即数轴的原点O.

根据数轴可以得到点A表示的数是-2.

故选:B.

【点睛】

此题考查了数轴有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点•确定数轴的原点是解决本

题的关键.

9、B

【解析】

直接利用同底数幕的乘除运算法则以及幕的乘方运算法则、合并同类项法则分别化简得出答案.

【详解】

A、2a+3a=5a,故此选项错误；

B、(a3)3=a9,故此选项正确；

C、a2.a4=a6,故此选项错误；

D、a6^a3=a3,故此选项错误.

故选：B.

【点睛】

此题主要考查了同底数幕的乘除运算以及合并同类项和募的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键.

10、A

【解析】

此题为数学知识的应用，由题意设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，肯定要尽量缩短两地之

间的里程，就用到两点间线段最短定理.

【详解】

解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和=15x100+10x300=1(米)，

②以点8为停靠点，则所有人的路程的和=30x100+10x200=5000(米)，

③以点C为停靠点，则所有人的路程的和=30x300+15x200=12000(米)，

④当在A3之间停靠时，设停靠点到A的距离是机，则(0</«<100),则所有人的路程的和是：30m+15(100-m)

+10(300-=l+5m>l,

⑤当在8C之间停靠时，设停靠点到3的距离为“，则(0<n<200),则总路程为30(100+n)+15/1+10(200-n)=

5000+35n>l.

,该停靠点的位置应设在点4

故选A.

【点睛】

此题为数学知识的应用，考查知识点为两点之间线段最短.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11,3.61x2

【解析】

科学记数法的表示形式为axion的形式，其中lW|a|V10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移

动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负

数.

【详解】

将361000000用科学记数法表示为3.61x2.

故答案为3.61x2.

12、1

【解析】

根据一次函数图象上的点的坐标特征，将点(0,a)代入直线方程，然后解关于a的方程即可.

【详解】

•直线y=2x+l经过点(0,a),

:.a=2x0+l,

/.a=l.

故答案为1.

13、1

【解析】

41

根据白球的概率公式——=彳列出方程求解即可.

【详解】

不透明的布袋中的球除颜色不同外，其余均相同，共有n+4个球，其中白球4个，

41

根据古典型概率公式知：P(白球)=-

〃+43

解得：n=l,

故答案为1.

【点睛】

此题主要考查了概率公式的应用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A

ni

出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=—.

n

14、-5

【解析】

两边同时乘以(x+3)(x-3),得

6-X2+9=-X2-3X,

解得:x=-5,

检验：当x=-5时，(x+3)(x-3)W0,所以x=-5是分式方程的解，

故答案为：5

【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是方程两边同时乘以最简公分母，切记要进行检验.

【解析】

利用根与系数的关系得到ai+Pi=-2,aiPi=-lx2；</2+的=-2,a202=-2x3；…0(2018+的018=-2,a2oi802oi8=-2O18xl.把原式变

形，再代入，即可求出答案.

【详解】

Vx2+2x-m2-m=0,m=l,2,3,…，2018,

...由根与系数的关系得：ai+pi=-2,aiPi=-lx2；

。2+。2=・2,«2p2=-2x3;

«2018+P2018=-2,(X2O1802O18=-2O18X1.

+a?+B?।%+四।%018+四018

；・原式二

a血%月2%分3a2018万2018

2222

=---------1-----------1---------+・・.H-----------------

1x22x33x42018x2019

=2x(l-li-ll-l...^

++++—)

2233420182019

=2x(1-------)-

2019

4036

2019

4036

故答案为

2019

【点睛】

hr

本题考查了根与系数的关系：若XI,X2是一元二次方程ax2+bx+c=0（时0）的两根时，XX2=—,X1X2=-.

1+aa

16、4,丁或1

【解析】

先根据题意画出图形，再根据勾股定理求出斜边上的中线，最后即可求出斜边的长.

【详解】

①如图：因为AC=

点A是斜边EF的中点,

②如图:

因为BD==5.

点D是斜边EF的中点,

所以EF=2BD=1,

综上所述，原直角三角形纸片的斜边长是4y或1,

故答案是：4、尺或1.

V**

【点睛】

此题考查了图形的剪拼，解题的关键是能够根据题意画出图形，在解题时要注意分两种情况画图，不要漏解.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(I)见解析；(II)见解析；(III)见解析.

【解析】

(I)根据两种方式的收费标准分别计算，填表即可；

(II)根据表中给出A,B两种上宽带网的收费方式，分别写出yi、y2与t的数量关系式即可;

(III)计算出三种方式在此取值范围的收费情况，然后比较即可得出答案.

【详解】

(I)当t=40h时,方式A超时费：0.05x60(40-25)=45,总费用：30+45=75,

当t=100h时，方式B超时费：0.05x60(100-50)=150,总费用：50+150=200,

填表如下：

月费阮上网时间/h超时费/(元)总费用/(元)

方式A30404575

方式B50100150200

(II)当0WK25时，yi=30,

当t>25时,yi=30+0.05x60(t-25)=3t-45,

30(0<r<25)

所以yi={

3”45(1>25)

当0WW50时,y2=50,

当t>50时,y2=50+0.05x60(t-50)=3t-100,

50(0<?<50)

所以y2={0“、；

3/-100(r>50)

(III)当75Vt<100时，选用C种计费方式省钱.理由如下：

当75<t<100时，yi=3t-45,y2=3t-100,y3=120,

当t=75时，yi=180,y2=125,y3=120,

所以当75VtV100时，选用C种计费方式省钱.

【点睛】

本题考查了一次函数的应用，解答时理解三种上宽带网的收费标准进而求出函数的解析式是解题的关键.

18、见解析

【解析】

连接AF,结合条件可得到NB=NC=30。，ZAFC=60°,再利用含30。直角三角形的性质可得到AF=BF=^CF,可证得

2

结论.

【详解】

证明：连接AF,

VEF为AB的垂直平分线，

；.AF=BF,

又AB=AC,ZBAC=120°,

ZB=ZC=ZBAF=30°,

ZFAC=90°,

•\AF=—FC,

2

,\FC=2BF.

【点睛】

本题主要考查垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的

关键.

19、(l)j=-x2-3x+4；(2)当/=一二时，S有最大值”；(3)点尸的横坐标为-2或1或+后或一月.

4422

【解析】

(1)将B(1,0)、C(0,4)代入y=——+"+。，列方程组求出从c的值即可;

(2)连接尸。，作PGy轴交AD于点G,求出直线AD的解析式为y=x+2,设

一3/+4)(-4<t<0),则61,万/+2],

[71(7、2区[

22-9

PG=—t—3^+4——Z—2=—t——+2,S=2SAPD=2x—PG-\xD-^A|=—4/—14%+8=—41I+1

7g]

当％=-J时，S有最大值一；

44

(3)过点尸作PH_Ly轴,设/>«,—»—3/+4),则PH=|x|,

HD=|-X2-3X+4-2|=|-X2-3X+2|,

根据PDHS_DAO,列出关于X的方程，解之即可.

【详解】

解：(1)将B(1,0)、C(0,4)代入y=-x2+bx+c,

—\+b+c=0

<

c=4,

.,.b=-3,c=4

二次函数的表达式y=—Y—3x+4；

(2)连接PD,作PG|y轴交AD于点G,如图所示.

令y=0,得xl=-4,x2—l,

.-.A(-4,0).

D(0,2),

二直线AD的解析式为y=x+2.

设P^t,—t2—3t+4)(-4<t<0),则+2],

17

PG=-r9-3t+4一一t-2=-r?—-1+2,

24

•.•S=2S"L2xgpGG-“=-4/—14f+8=-41+j+?.

-4<0,-4<t<0,

781

.•.当/=—时，s有最大值-

44

(3)过点尸作PH_Ly轴,设P«,T2_3/+4),则PH=|X|,HD=|-X2-3X+4-2|=|-X2-3X+2|

4DF+/ADO=90。，^DAO+^ADO=90°,

4DF=EAO,

PDHjDAO,

PHDO21

''DH-AO-4-2?

|x|1

即I2Q「I"

\-x-3x+22

|-X2-3X+2|=2|X|,

当点尸在y轴右侧时，x>0,

—x2—3x+2=2x>或-(一厂-3x+2)=,

-5+V33-5-733(舍去)或\=-2(舍去)，x2=l

22-

当点P在y轴左侧时，x<0,

—x2—3x+2=—2x，或-(-%2—3x+2)=—2x,

X1=-2,x=l(舍去)，或入二2±叵(舍去)，25-733

一22

综上所述，存在点F,使NPDF与/ADO互余点尸的横坐标为-2或1或士返或士晅.

22

【点睛】

本题是二次函数，熟练掌握相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质以及二次函数图象的性质等是解题的关键.

20、x=-l.

【解析】

解：方程两边同乘x-2,得2x=x-2+l

解这个方程，得x=-l

检验：x=-l时，x-2/O

...原方程的解是x=-l

首先去掉分母，观察可得最简公分母是(x-2),方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后

解一元一次方程，最后检验即可求解