2025届高考数学一轮复习单元双优测评卷-第二单元一元二次函数方程和不等式A卷含解析

PAGEPAGE16其次单元一元二次函数、方程和不等式A卷基础过关必刷卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设(其中0<x<y)，则M，N，P的大小依次是（）A．P<N<M B．N<P<MC．P<M<N D．M<N<P2．已知某几何体的一条棱的长为，该棱在正视图中的投影长为，在侧视图与俯视图中的投影长为与，且，则的最小值为（）A． B． C． D．23．若正数，，满意，则的最小值为（）A． B． C． D．4．在上的定义运算，则满意的解集为（）A． B． C． D．5．已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．6．对随意，函数的值恒大于零，则的取值范围是（）A． B．或 C． D．或7．设，，给出下列不等式不恒成立的是（）A． B．C． D．8．某商店有方形、圆形两种巧克力，小明假如购买3块方形和5块圆形巧克力，他带的钱会差8元，假如购买5块方形和3块圆形巧克力，他带的钱会剩下8元．若他只购买8块方形巧克力，则他会剩下多少钱（）A．8元 B．16元 C．24元 D．32元二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若，，，则对一切满意条件的恒成立的有（）A． B．C． D．10．某辆汽车以的速度在高速马路上匀速行驶（考虑到高速马路行车平安，要求）时，每小时的油耗（所须要的汽油量）为，其中为常数．若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为，欲使每小时的油耗不超过，则速度x的值可为（）A．60 B．80 C．100 D．12011．若关于x的一元二次方程有实数根，且，则下列结论中正确的说法是（）A．当时，， B．C．当时， D．当时，12．下列函数中最大值为的是（）A． B．C． D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2．14．若或是的必要不充分条件，则实数的取值范围是________.15．“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式”有如下解法:由，得，令，则，即:，所以不等式的解集为.参考上述解法，已知关于x的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为________.16．设函数，若关于的不等式的解集为，则______四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知关于的一元二次方程，当为何值时，该方程：（1）有两个不同的正根；（2）有不同的两根且两根在内.18．（1）已知，求证：>．（2）已知，求证：．19．已知不等式的解为或.（1）求，的值；（2）解关于的不等式：，其中是实数．20．设命题p：关于a的不等式∀x∈R，x2﹣4x+a2＞0；命题q：关于x的一元二次方程x2+（a+1）x+a﹣1＝0的一根大于零，另一根小于零；命题r：a2﹣2a+1﹣m2≥0（m＞0）的解集．（1）若p∨q为假命题，求实数a的取值范围；（2）若￢r是￢p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．21．某厂家拟定在2024年实行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满意x＝3－(k为常数)．假如不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2024年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品须要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．（1）将2024年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？22．某天数学课上，你突然惊醒，发觉黑板上有如下内容：例：求的最小值.解：利用基本不等式，得到，于是，当且仅当时，取到最小值.（1）老师请你仿照例题，探讨上的最小值；（提示：）（2）探讨上的最小值；（3）求出当时，的最小值.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设(其中0<x<y)，则M，N，P的大小依次是（）A．P<N<M B．N<P<MC．P<M<N D．M<N<P【答案】A【解析】又，∴.故选：A2．已知某几何体的一条棱的长为，该棱在正视图中的投影长为，在侧视图与俯视图中的投影长为与，且，则的最小值为（）A． B． C． D．2【答案】C【解析】如图：构造长方体设，在长方体中，DE为正视图中投影，BE为侧视图中投影，AC为俯视图的投影，则，，设，则，，所以，即，由于，所以，解得，当且仅当时等号成立，故选：C.3．若正数，，满意，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，取得最小值.所以的最小值为，故选：D4．在上的定义运算，则满意的解集为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】即为，整理得到，故，故选：B．5．已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】解：∵函数的值域为，令，当时，，不合题意；当时，，此时，满意题意；当时，要使函数的值域为，则函数的值域包含，，解得，综上，实数的取值范围是.故选：B6．对随意，函数的值恒大于零，则的取值范围是（）A． B．或 C． D．或【答案】B【解析】对随意，函数的值恒大于零设，即在上恒成立.在上是关于的一次函数或常数函数，其图象为一条线段.则只需线段的两个端点在轴上方，即，解得或故选：B7．设，，给出下列不等式不恒成立的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】解：设，，对于A选项：，故A选项的不等式恒成立；，故B选项不恒成立；，当且仅当即时取等号，故C选项中的不等式恒成立，因为，，，当且仅当，，即时取等号，故D选项中的不等式恒成立，故选：B．8．某商店有方形、圆形两种巧克力，小明假如购买3块方形和5块圆形巧克力，他带的钱会差8元，假如购买5块方形和3块圆形巧克力，他带的钱会剩下8元．若他只购买8块方形巧克力，则他会剩下多少钱（）A．8元 B．16元 C．24元 D．32元【答案】D【解析】设方形巧克力每块x元，圆形巧克力每块y元，小明带了a元钱，则，两式相加得8x＋8y＝2a，∴x＋y＝a，∵5x＋3y＝a－8，∴2x＋(3x＋3y)＝a－8，∴2x＋3×a＝a－8，∴2x＝a－8，∴8x＝a－32，即他只购买8块方形巧克力，则他会剩下32元，故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若，，，则对一切满意条件的恒成立的有（）A． B．C． D．【答案】AC【解析】对于A，由，则，故A正确；对于B，令时，，故不成立，故B错误；对于C，因为，故C正确；对于D，因为，由A知，故，故D错误；故选：AC10．某辆汽车以的速度在高速马路上匀速行驶（考虑到高速马路行车平安，要求）时，每小时的油耗（所须要的汽油量）为，其中为常数．若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为，欲使每小时的油耗不超过，则速度x的值可为（）A．60 B．80 C．100 D．120【答案】ABC【解析】由汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为，，解得：，故每小时油耗为，由题意得，解得：，又，故，所以速度的取值范围为.故选：ABC11．若关于x的一元二次方程有实数根，且，则下列结论中正确的说法是（）A．当时，， B．C．当时， D．当时，【答案】ABD【解析】解：A中，时，方程为，解为：，，所以A正确；B中，方程整理可得：，由不同两根的条件为：，所以，所以B正确.当时，在同一坐标系下，分别作出函数和的图像，如图，可得，所以C不正确，D正确，故选：ABD.12．下列函数中最大值为的是（）A． B．C． D．【答案】BC【解析】解：对A，，当且仅当，即时取等号，故A错误；对B，，当且仅当，又，即时取等号，故B正确；对C，，当且仅当，即时等号成立，故C正确；对D，，当且仅当，又，时取等号，故D错误.故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2．【答案】25【解析】设矩形的一边为xm，面积为ym2，则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，其中0<x<10，∴y＝x(10－x)≤＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25．故答案为：2514．若或是的必要不充分条件，则实数的取值范围是________.【答案】[0，2]【解析】由得或，若或是的必要不充分条件，则或，则或，，故答案为：，15．“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式”有如下解法:由，得，令，则，即:，所以不等式的解集为.参考上述解法，已知关于x的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为________.【答案】【解析】已知关于的不等式的解集为，令，原不等式化为，又因为，所以，解得故答案为：.16．设函数，若关于的不等式的解集为，则______【答案】9【解析】由满意不等式知，即，所以，所以，所以的两根为，而可化为，即，所以方程的两根为6，且，不等式的解集为，可知，解得，所以，所以，故答案为：9四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知关于的一元二次方程，当为何值时，该方程：（1）有两个不同的正根；（2）有不同的两根且两根在内.【答案】（1）；（2）【解析】解：（1）由题意，关于的一元二次方程有两个不同的正根时，满意，得，所以的范围为.（2）令，则当时，即时，方程有不同的两根且两根在内.18．（1）已知，求证：>．（2）已知，求证：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）∵，∴∵，∴，又∵，∴，∴，又，∴>（2）因为所以，同理所以(当且仅当时等号成立)19．已知不等式的解为或.（1）求，的值；（2）解关于的不等式：，其中是实数．【答案】（1），；（2）答案见解析.【解析】解：（1）依题意，（2）原不等式为：，即①当，即时，原不等式的解集为；②当，即时，原不等式的解集为；③当，即时，原不等式的解集为20．设命题p：关于a的不等式∀x∈R，x2﹣4x+a2＞0；命题q：关于x的一元二次方程x2+（a+1）x+a﹣1＝0的一根大于零，另一根小于零；命题r：a2﹣2a+1﹣m2≥0（m＞0）的解集．（1）若p∨q为假命题，求实数a的取值范围；（2）若￢r是￢p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【答案】（1）[1，2]；（2）（3，+∞）．【解析】（1）若∀x∈R，x2﹣4x+a2＞0；则判别式△═16﹣4a2＜0，即a2＞4，得a＞2或a＜﹣2，即p：a＞2或a＜﹣2，若一元二次方程x2+（a+1）x+a﹣1＝0的一根大于零，另一根小于零，设f（x）＝x2+（a+1）x+a﹣1，则满意f（0）＝a﹣1＜0，即a＜1即可，则q：a＜1，若p∨q为假命题，则p，q都是假命题，即，得1≤a≤2，即实数a的取值范围是[1，2]．（2）若￢r是￢p的必要不充分条件，则p是r的必要不充分条件，由a2﹣2a+1﹣m2≥0（m＞0）得[a﹣（1﹣m）][a﹣（1+m）]≥0，得a≥1+m或a≤1﹣m，则满意得，得m＞3，即实数m的取值范围是（3，+∞）．21．某厂家拟定在2024年实行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满意x＝3－(k为常数)．假如不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2024年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品须要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．（1）将2024年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？【答案】（1）y＝－＋29(m≥0)；（2）该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．.【解析】(1)由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)，所以1＝3－k⇒k＝2，所以x＝3－(m≥0)，每件产品的销售价格为1.5×(元)，所以2024年的利润y＝1.5x×－8－16x－m＝－＋29(m≥0)．(2)因为m≥0