2025高考数学一轮复习-第八章-微专题2-概率与统计的综合应用【课件】

微专题2概率与统计的综合应用

第八章

成对数据的统计分析一、统计图表与正态分布例1

从某技术公司开发的某种产品中随机抽取200件，测量这些产品的一项质量指标(记为Z)，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)公司规定：当Z≥95时，产品为正品；当Z<95时，产品为次品.公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元.记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和均值；解由频率估计概率，产品为正品的概率为(0.033＋0.024＋0.008＋0.002)×10＝0.67，所以随机变量ξ的分布列为ξ90－30P0.670.33所以E(ξ)＝90×0.67＋(－30)×0.33＝50.4.(2)由频率分布直方图可以认为，Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2(同一组中的数据用该区间的中点值作代表).①利用该正态分布，求P(87.8≤Z≤112.2)；附：

≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545.解由频率分布直方图知，抽取产品的该项质量指标值的样本平均数μ和样本方差σ2分别为μ＝70×0.02＋80×0.09＋90×0.22＋100×0.33＋110×0.24＋120×0.08＋130×0.02＝100，σ2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋02×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.因为Z～N(100,150)，从而P(87.8≤Z≤112.2)＝P(100－12.2≤Z≤100＋12.2)≈0.6827.②某客户从该公司购买了500件这种产品，记X表示这500件产品中该项质量指标值位于区间[87.8,112.2]内的产品件数，利用①的结果，求E(X).附：

≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545.解由①知，一件产品中该项质量指标值位于区间[87.8，112.2]内的概率约为0.6827，依题意知X～B(500，0.6827)，所以E(X)＝500×0.6827＝341.35.二、统计图表与统计分析例2

一家大型超市委托某机构调查该超市的顾客使用移动支付的情况.调查人员从年龄在20岁至60岁的顾客中，随机抽取了200人，调查结果如图：(1)为推广移动支付，超市准备对使用移动支付的每位顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有10000人购物，试根据上述数据估计，该超市当天应准备多少个环保购物袋？解根据图中数据，由频率估计概率，根据已知可预计该超市顾客使用移动支付的概率为：∴超市当天应准备的环保购物袋个数为移动支付年龄合计年龄<40年龄≥40使用

不使用

合计

200(2)填写下面列联表，并根据列联表判断在小概率值α＝0.001的独立性检验下，能否推断使用移动支付与年龄有关？解补充列联表为移动支付年龄合计年龄<40年龄≥40使用8540125不使用106575合计95105200零假设H0：移动支付与年龄无关，∵56.17>10.828，∴在小概率值α＝0.001的独立性检验下，可以认为使用移动支付与年龄有关.(3)现从该超市这200位顾客年龄在[55,60]的人中，随机抽取2人，记这两人中使用移动支付的顾客为X人，求X的分布列.α0.1000.0500.0100.001xα2.7063.8416.63510.828解X的可能取值为0,1,2，∴X的分布列为三、概率统计中的决策问题例3某企业打算处理一批产品，这些产品每箱100件，以箱为单位销售.已知这批产品中每箱出现的废品率只有两种：可能10%或者20%，两种可能对应的概率均为0.5.假设该产品正品每件市场价格为100元，废品不值钱.现处理价格为每箱8400元，遇到废品不予更换.以一箱产品中正品的价格均值作为决策依据.(1)在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买；解在不开箱检验的情况下，一箱产品中正品的价格均值为：E(ξ)＝100×(1－0.2)×100×0.5＋100×(1－0.1)×100×0.5＝8500>8400，∴在不开箱检验的情况下，可以购买.(2)现允许开箱，有放回地随机从一箱中抽取2件产品进行检验.①若此箱出现的废品率为20%，记抽到的废品数为X，求X的分布列和均值；解X的可能取值为0,1,2，∴X的分布列为X012P0.640.320.04E(X)＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4.②若已发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，判断是否可以购买.解设事件A：发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，一箱产品中，设正品的价格的均值为η，则η＝8000,9000，事件B1：抽取的废品率为20%的一箱，事件B2：抽取的废品率为10%的一箱，∴E(η)＝8000×0.64＋9000×0.36＝8360<8400，∴已发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，不可以购买.四、概率统计中的最值问题例4

某超市计划按月订购一种冰激凌，每天进货量相同，进货成本为每桶5元，售价为每桶7元，未售出的冰激凌以每桶3元的价格当天全部处理完毕，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关，如果最高气温不低于25℃，需求量为600桶，如果最高气温(单位：℃)位于区间[20,25)，需求量为400桶，如果最高气温低于20℃，需求量为200桶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温(℃)[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40]天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种冰激凌一天的需求量X(单位：桶)的分布列；最高气温(℃)[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40]天数216362574解由已知得，X的所有可能取值为200,400,600，记六月份最高气温低于20℃为事件A1，最高气温(单位：℃)位于区间[20,25)为事件A2，最高气温不低于25℃为事件A3，根据题意，结合频数分布表，用频率估计概率，可知故六月份这种冰激凌一天的需求量X(单位：桶)的分布列为(2)设