建筑工程制图与识图第1章 投影的基本知识

第1章投影的基本知识1.1投影概念1.3点的投影1.2正投影特性1.4直线的投影1.5平面的投影ScdbBCDAH1.1

投影概念1.1.1投影的形成

形体各轮廓线的影所组成的图形，称为该形体的投影图，简称投影。投影形成的三个要素：投射线（光线）空间形体（物体）投影面（落影面）1.1.2投影的分类1.中心投影所有的投射线都交汇于投射中心S。2.平行投影（斜投影、正投影）斜投影：投射线相互平行且倾斜于投影面正投影：投射线相互平行且垂直于投影面1.1.3常用的投影图1.透视投影图：是用中心投影法绘制的单面投影图,有很强的立体感，但作图方法复杂，度量性差。2.轴测投影图：为单面平行投影图,同样具有较强的立体感，作图方法较复杂，度量性差。3.正投影图:通常采用多面正投影。直观性差，但作图简单，能很好地反映形体的形状和大小，度量性好，是工程图的主要图示方法。4.标高投影图:是一种带有高程数字标记的水平正投影图，为单面投影图。主要用于表达地面的形状，绘制地形图。1.2正投影特性1.2.1点、直线、平面的正投影特性1.类似性点的正投影仍然是点，直线的正投影一般仍然是直线，平面的正投影仍然保留其空间几何形状，这种性质称为正投影的类似性。HHH（b）ABCDd（c）ABAbcb2．全等性空间直线、平面平行于投影面，其正投影分别反映实长和实形，这种性质称为正投影的全等性。HHABCD（b）ABbdcbab//ABab=ABabcd//ABCDabcd=ABCD3.积聚性空间直线、平面垂直于投影面时，在该投影面上的正投影分别成为一个点和一条直线，这种性质称为正投影的积聚性。（b）HAHB(b)BCDA(b)d(c)4.重合性两个或两个以上的点、线、面具有同一投影时，称为重影，这种投影性质称为正投影的重合性。（b）（c）HBAHHC(b,c)ABCDPp(q)d(c)(b)WYWVHYH1.2.2三面正投影图

WZYXOH

1.三面正投影图的形成

1)建立三个投影面：

V面——正立投影面（简称正面）

H面——水平投影面（简称水平面）

W面——侧立投影面（简称侧面）

H、V、W三个投影面互相垂直相交，其交线0X、0Y、0Z

称为投影轴，分别代表长、宽、高方向。

2)把形体放在三投影面体系中，分别向V面、H面、W面进行投射，可得到形体的三面正投影图。2.三面正投影图的展开

展开的三面正投影图

YWZWVHYHXO侧面投影图正面投影图水平投影图投影连线45°辅助线去掉投影面边框和投影轴后的三面正投影图VXWZYOH3.三面正投影图的投影规律（对应关系）前上左后右下前后上下右左上下前后右左

（1）三面正投影图中的方位关系：

V投影反映左右和上下；

H投影反映左右和前后；

W投影反映前后和上下。3.三面正投影图的投影规律(续)上上下左右前后下前后左右

3.三面正投影图的投影规律（续）长高宽宽投影关系(三等关系)：V、H投影长对正；V、W投影高平齐；H、W投影宽相等。长宽高物体的长、宽、高：长—左右距离（X方向）宽—前后距离（Y方向）高—上下距离（Z方向）（2）三面正投影图的三等关系V投影方向H投影方向W投影方向例1（教材例1.1）用投影关系，画出形体的三面正投影图画图步骤：1.分析形体、布置图面，确定投影方向2.用H铅笔画底稿线（细线），按1:1从立体图上沿轴向量取尺寸3.整理、加深加粗（用B或2B），检查验证

1.3点的投影1.3.1点的投影1.点的单面投影如图所示，H面为一水平投影面。过空间点A向H面引一条垂线，该垂线与H面产生交点a，a点称为空间点A在H面上的正投影。如果已知A点的空间位置，则其正投影a唯一可求；反过来，已知A点的正投影a，却不能唯一确定A点在空间的位置。

2.a

az=aayH

=Aa

=x=A→W

aax

=

a

az=Aa

=y=A→V

a

ax=a

ayW

=Aa=z

=A→H1.3.2点的三面投影规律

1.a

a

oX，a

a

oZ点的投影规律

一点的两投影之间的连线垂直于投影轴；点的一个投影到某投影轴的距离等于空间点到与该投影轴相邻的另一投影面之间的距离。

因此在求作点A的V面投影a′时，应保证做到:点的V面投影与H面投影之间的连线垂直于0X轴，即a′a⊥0X

；点的V面投影与W面投影之间的连线垂直0Z轴，即a′a″⊥0Z；点的H面投影到0X轴的距离，与点的W面投影到0Z

轴的距离两者相等，都反映点到V面的距离,即a

aX=

a″

aZ

。点的投影与直角坐标的关系

若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影轴当作直角坐标轴，则点的空间位置可用其（X、Y、Z）三个坐标来确定，点的投影就反映了点的坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。

点的每一个投影反映了点的两个坐标（H投影反映了x和y，V投影反映了x和z，w投影反映了y和z）。已知点的两个投影，则点的X、Y、Z三个坐标就可确定，即空间点是唯一确定的。因此已知一个点的任意两个投影即可求出其第三投影。ZXYHaOb'a'YWb"a"b例2（图1-15）已知A、B两点的两面投影图，求作其第三投影。XHVZYWOCc

ca

bb″特殊点的投影A属于H投影面B属于V投影面C属于OX投影轴a″c″AaBb

HVWOZYWYHbb″a

a″Cc

cc″A属于H投影面B属于V投影面C属于OX投影轴特殊点的投影（续）AaBb

XHVZYWOCc

ca

bb″a″c″AaBb

XOZY1.3.3两点的相对位置两点中X值大的点在左两点中Y值大的点在前

两点中Z值大的点在上a

a

ab

b

bXZYWYHOa

a

ab

bb

BAA点在B点之右A点在B点之前A点在B点之上

重影点及投影的可见性

如果空间两点的某两个坐标相同，两点就位于某一投影面的同一条投射线上，两点在该投影面上的投影重合为一点，这两点就称为该投影面的重影点。重影点中不可见点的符号应加括号表示。(a)H面的重影点(b)V面的重影点(c)W面的重影点例3已知A、B、C三点的各一个投影a、b′、c〞，且：Aa=10，B点距V面20，C点在A点的右方15，完成三个点的三面投影。aXZYHYWb′c〞10a〞20bb〞15c′ca′例4已知A点在B点之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，C点在A点的正后方5毫米,求A、C点的投影。a

a

aXZYWYHOb

bb

985cc

(c′)利用点的相对位置求点的投影

1.4直线的投影

1.4.1直线的投影特性投影特性：直线倾斜投影面，投影为缩短的直线(类似性)。直线垂直投影面，投影积聚为一点(积聚性)。直线平行投影面，投影反映实长（全等性）。HabDCc(d)AB直线的投影可以由属于直线的任意两点的同面投影来确定。1.一般位置直线的三面投影一般位置直线AB与三个投影面都倾斜，直线的三面投影ab、a′b′、a″b″相对于各投影轴而言，均为斜线，直线的投影长度均小于直线实长，且没有积聚性，直线的投影不反映直线对投影面倾角的真实大小。2.投影面垂直线的三面投影3.投影面平行线的三面投影例5（图1-19）

如图1-19a，已知铅垂线AB的一个端点A的两面投影a、a′，直线实长为AB（长度如图），并知B点在A点的正上方，求作AB的三面投影图。例6（图1-20）已知正平线AB的端点A的投影a、a′a″，直线实长为AB（长度如图），AB与H面的倾角α=30°，B点在A点的右上方。求作AB的三面投影图。1.4.2直线上的点1.直线上点的投影规律：点C在直线AB上，点C的三面投影在直线AB的各同面投影上并符合点的投影规律。2.定比性：若点C在直线AB上，则有AC∶CB=ac∶cb=a′c′∶c′b′=a″c″∶c″b″c例7已知线段AB的投影图，试将AB分成1：2两段，求分点C的投影。b′Xa′abOc

例8

已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。b′Xa′bacOc′

1.4.3两直线的相对位置在空间，两条直线的相对位置有以下三种情况：1）两直线平行2）两直线相交3）两直线交叉（既不平行，也不相交）两直线平行和两直线相交称为共面直线，两直线交叉称为异面直线。1.两直线平行（1）投影特性：如果两直线在空间平行，则各同面投影除了积聚和重影外，仍然平行。如果AB∥CD，则有：ab∥cd、a′b′∥c′d′、a″b″∥c″d″。（2）两直线平行的判断：1)若两直线的三组同面投影都平行，则两直线在空间为平行关系；2)若两直线为一般线，只要有两组同面投影互相平行，即可判定两直线在空间是平行关系；3）若两直线是某一投影面的平行线，同时，两直线在该投影面上的投影仍为平行关系，则两直线在空间是平行关系。2.两直线相交（1）投影特性：两直线在空间相交，则各同面投影除了积聚和重影外必相交，且交点符合点的投影规律。如果AB与CD相交，交点为K，则有ab与cd相交于k，a′b′与c′d′相交于k′，且kk′⊥OX。（2）两直线相交的判断：1)若两直线的各同面投影都相交，且交点符合点的投影规律，则两直线相交；2)对一般线而言，只要有两组同面投影相交，且交点符合点的投影规律，则两直线相交；3)两直线中有某一投影面的平行线时，必须验证两直线在该投影面上的投影是否满足相交的条件，才能判定两直线是否相交，或者在二面投影中用定比性作图来判断交点是否符合点的投影规律，判定两直线是否相交。3.两直线交叉（1）投影特性：两直线在空间既不平行，也不相交，叫做交叉。其投影特性是，同面投影可能有平行的，但不会全都平行，其同面投影可能有相交的，但交点不符合点的投影规律。（2）交叉直线上重影点可见性的判别：交叉直线同面投影的交点是该投影面上重影点的投影，应根据投影图中的投影关系可以判别出重影点的可见性。如前图Ⅰ、Ⅱ两点是H面的重影点，从V面投影图中可看出Ⅰ点在上为可见点，Ⅱ点在下为不可见点，Ⅲ、Ⅳ两点为V面的重影点，从H面投影图中可看出Ⅲ点在前为可见点，Ⅳ点在后为不可见点。不可见点得投影符号加括号表示。例9（图1-27）判别两直线是否平行。解：因为AB、CD是侧平线，方法一，可以补出AB、CD的W投影来判定两直线是否平行。方法二，由于AB、CD两侧平线端点的顺序V投影同向，而H面投影反向，故可直接判断两直线不平行。两直线交叉例10（图1-28）直线AB与CD相交，求作c′d′。例11（图1-29）已知AB、CD的两面投影，判断两直线是否相交。用定比性作图，作图知，因kk1不平行dd1，故ck∶kd≠c′k′∶k′d′，说明交点不符合点的投影规律，两直线不相交，为交叉直线。补画W投影，作图知，因投影图中的交点不符合点的投影规律，故两直线不相交。为交叉直线。1.5平面的投影1.5.1平面的表示方法

图a用不在同一直线上的三个点表示一个平面。

图b用一条直线和直线外一点来表示一个平面。

图c用两条相交直线表示一个平面。

图d用两条平行直线表示一个平面。

图e用平面图形（如三角形）表示一个平面。1.用几何元素表示平面2.用迹线表示平面空间平面P与H、V、W三个投影面相交，交线分别是PH、PV、PW，PH称为平面P的水平迹线，PV称为平面P的正面迹线，PW称为平面P的侧面迹线。平面P可用其三条迹线来表示。1.5.2各种位置平面的投影平面对投影面的相对位置可分为一般位置平面、投影面平行面和投影面垂直面三种。1.一般位置平面一般位置平面与三个投影面都倾斜，三面投影都不反映平面的实