2025届惠州市惠东县高三数学上学期8月第一次质量检测卷附答案解析

届惠州市惠东县高三数学上学期8月第一次质量检测卷2024.08试卷共4页，卷面满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合，，则集合（

）A． B． C． D．2．下列函数是奇函数，且在定义域内单调递增是（

）A． B． C． D．3．集合，若且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．4．已知在R上的奇函数，当时，，则（

）A．2 B． C．1 D．5．命题“对任意”为真命题的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．6．已知，，，则（

）A． B． C． D．7．函数，若有，则（

）A．8 B．5 C．0 D．48．已知函数，且满足时，实数的取值范围（

）A．或B．或C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分．9．下列说法正确的是（

）A．函数的图像恒过定点B．“”的必要不充分条件是“”C．函数的最小正周期为2D．函数的最小值为210．狄利克雷函数是由著名德国数学家狄利克雷创造的，它是定义在实数上、值域不连续的函数，它在数学的发展过程中有很重大的研究意义，例如对研究微积分就有很重要的作用，其函数表达式为（其中为有理数集，为无理数集），则关于狄利克雷函数说法正确的是（

）A． B．它是偶函数C．它是周期函数，但不存在最小正周期 D．它的值域为11．已知定义域为的函数满足，在解析式为，则下列说法正确的是（

）A．函数在上单调递减B．若函数在内恒成立，则C．对任意实数，的图象与直线最多有6个交点D．方程有4个解，分别为，，，，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．若函数定义域为，则实数实数b的取值范围．13．命题“”为假命题，则实数a的范围为．14．已知是定义在，且满足，当时，，若函数在区间上有10个不同零点，则实数的取值范围是．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．若二次函数对任意都满足且最小值为-1，．(1)求的解析式；(2)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．16．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．(1)求的解析式；(2)解关于的不等式．17．已知函数．(1)先判断函数单调性并用定义法证明；(2)是否存在实数a使函数为奇函数，并说明理由．18．疫情过后，惠州市某企业为了激励销售人员的积极性，实现企业高质量发展，其根据员工的销售额发放奖金（奖金和销售额单位都为十万元），奖金发放方案同时具备两个条件：①奖金随销售额的增加而增加；②奖金不低于销售额的5%（即奖金大于等于）．经测算该企业决定采用函数模型作为奖金发放方案．(1)若，此奖金发放方案是否满足条件？并说明理由．(2)若，要使奖金发放方案满足条件，求实数的取值范围．19．定义：给定一个正整数m，把它叫做模．如果用m去除任意的两个整数a与b所得的余数相同，我们就说a，b对模m同余，记作．如果余数不同，我们就说a，b对模m不同余，记作．设集合．(1)求；(2)①将集合A中的元素按从小到大顺序排列后构成数列an，并构造，②将集合B中的元素按从小到大顺序排列后构成数列bn，并构．请从①②中选择一个，若选择_____．证明：数列单调递增，且有界（即存在实数M，使得数列中所有的项都不超过M）．注：若①②都作答，按第一个计分．1．C【分析】利用集合的补集、并集运算法则进行混合运算即可求得结果.【详解】根据题意由补集运算可知，又，所以.故选：C2．D【分析】利用函数的奇偶性和单调性逐项判断即可.【详解】对于A，为偶函数，故A错误；对于B，设，所以故在定义域上不是单调递增，故B错误；对于C，，故函数的单调增区间为和，所以在定义域上不是单调递增，故C错误；对于D，，由幂函数的性质可知，函数为奇函数，且在定义域上单调递增，故D正确.故选：D3．B【分析】根据元素与集合的从属关系列出限制条件可得答案.【详解】因为且，所以且，解得.故选：B.4．D【分析】利用函数奇偶性，由内向外求值即可.【详解】由题意，所以.故选：D5．B【分析】先利用恒成立求出参数范围，然后利用必要不充分性的定义求解即可.【详解】，即，故任意，即，故“对任意”为真命题的一个必要不充分条件是.故选：B6．A【分析】利用函数的单调性，对比出、、三者与特殊值0、1的大小关系，运用中间值法解决问题.【详解】解：因为函数为单调递增函数，所以，即；因为为单调递增函数，所以，即；因为单调递减，所以，即，故，故选：A.7．A【分析】根据题意，利用图象变换求得函数的图象关于对称，进而得到，即可求解.【详解】由函数，可得，所以为奇函数，其图象关于原点对称，根据函数的图象变换，可得函数的图象关于对称，因为，所以且，解得.故选：A.8．D【分析】先判断函数的奇偶性再判断函数的单调性，最后运用函数的奇偶性和单调性进行求解即可.【详解】该函数的定义域为全体实数，因为，所以函数是奇函数，又因为，函数是实数集上的增函数，且，所以函数是实数集上的减函数，所以函数是实数集上的减函数，而函数也是实数集上的减函数，所以由函数单调性的性质可知函数是实数集上的减函数，由，故选：D【点睛】关键点睛：本题的关键是判断函数的奇偶性、复合函数的单调性.9．AB【分析】由指数函数的性质可判断A；由充分条件和必要条件的定义可判断B；求出函数的最小正周期可判C；由双勾函数的性质可判断D.【详解】对于A，令，则，即，所以函数的图像恒过定点，故A正确；对于B，不能推出，而能推出，所以“”的必要不充分条件是“”，故B正确；对于C，因为，令等价于，所以①，令等价于，所以②，由①②可得：，所以函数的最小正周期为4，故C错误；对于D，函数，令，则，由双勾函数的性质知在上单调递增，故，故函数的最小值为2错误，故D错误.故选：AB.10．ABC【分析】根据题意，由狄利克雷函数的性质，逐一判断，即可得到结果.【详解】因为，则，故A正确；若，则，则；若，则，则，所以为偶函数，故B正确；设任意，则，当时，则，当时，或，则，即任意非零有理数均是的周期，任何无理数都不是的周期，故C正确；函数的值域为，故D错误；故选：ABC11．BD【分析】根据定义域为的函数满足可得到函数为奇函数，由在上的解析式，作出函数在上的图象，运用数形结合法求解本题.【详解】解：因为定义域为的函数满足，即，所以函数为奇函数，因为在解析式为，故作出函数的图象，如图所示.选项A：由图可知，当时，函数单调递减，当时，函数单调递减，但当，并不是随着增加而减少，故选项A错误；选项B：因为函数在内恒成立，所以由图象可知，由解得，，所以，故选项B正确；选项C：取时，如图所示，

当时，联立方程组，化简得，设函数，因为且对称轴为，所以方程在上有两个不相等的实数根，设，，因为函数在上单调递增，且，，所以在在只有一个零点，所以直线与函数图象在有1个交点，所以当时，直线与函数图象有3个交点，因为函数与函数均为奇函数，所以当时，直线与函数图象有3个交点，又当时，直线与函数图象有1个交点，所以此时直线与函数图象有7个交点，故选项C错误；选项D：当时，则根据图象可得的4个解所在大致范围为，，，，

因为有4个解，所以，所以，解得，所以，由二次函数的对称性可知，的解、满足，因为函数为奇函数，且当时解析式为，所以当时解析式为，所以，所以有，即，所以，设，，又因为函数在单调递增，所以，所以，所以选项D正确，故选：BD.【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．12．2【分析】利用函数的定义域求解即可.【详解】函数，故，即函数的定义域为，故.故答案为：2；13．【分析】根据题意，转化为在上有解，设，利用函数的单调性求得其最小值，即可求解.【详解】命题“”为假命题，可命题“”为真命题，即不等式在上有解，设函数，可得函数在为单调递增函数，所以，当时，函数取得最小值，最小值为，所以，即实数的取值范围为.故答案为：.14．【分析】由可知函数的周期为4，再数形结合得出结果.【详解】由得，所以函数的周期为4，先作出在区间上图像：

又，，则实数的取值范围为.故答案为：.15．(1)2)【分析】（1）法一：可设，由得到，结合二次函数的最小值和，求出，求出答案；法二：可设，由得到图象的对称轴，求出，结合二次函数的最小值和，求出，求出答案；（2）转化为在上恒成立，求出的最小值大于即可，求出的单调性，进而求出的最小值，从而得到实数的取值范围.【详解】（1）法一：由为二次函数，可设，∵，则代入得，化简：，因为其对任意都成立，所以，即．又因为最小值为-1，且，∴，解得，∴；法二：由为二次函数，可设，∵函数满足，∴图象的对称轴为，即，最小值为-1，且，∴，∴∴；（2）∵，即在上恒成立，即满足函数的最小值大于．又∵当时，对称轴为，故在单调递减，单调递增．∴在的最小值在取得，即∴，故的取值范围是.16．(1)(2)【分析】（1）当时，，设，则，借助奇函数性质可求得解析式；（2）根据函数的解析式，分，，三种情况讨论，解出.【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，当时，，设，则，∴，∵，∴，则.（2）当时，，，，，，即，当时，，满足不等式．当时，，恒成立，满足不等式，即，综上所述，不等式的解集为：．17．(1)函数在上单调递增；证明见解析(2)；理由见解析【分析】（1）根据题意，结合函数单调性的定义和判定方法，即可求解；（2）假设函数为奇函数，可得f−x=−fx，列出方程求得【详解】（1）解：函数在上单调递增；证明如下：因为函数的定义域为，任取，且，则，因为函数在上为单调递增函数，且，所以，且，所以，所以，函数在上单调递增.（2）解：假设函数为奇函数，可得f−x=−fx，即即，所以，经验证：当时，，其定义域为，其满足，所以，存在时，函数是奇函数.18．(1)不满足条件；理由见解析(2)【分析】（1）首先代入分析出在上单调递增，再得到，解出范围即可判断；（2）代入分析出满足条件①，再由条件②得在时恒成立，再利用分离参数法即可得到答案.【详解】（1），因为在上单调递增．在上单调递增，则在上单调递增，所以①满足．对于②，，即整理可得，则不满足②的条件．故不满足条件．（2）当时，函数，因为由（1）中知在上单调递增，奖金发放方案满足条件①．由条件②可知，即在时恒成立，所以，在时恒成立．，在单调递增．当时，取得最小值∴所以要使奖金发放方案满足条件，的取值范围为．19．(1)(2)证明见解析【分析】（1）由已知定义求出集合，然后结合集合交集运算即可解题；（2）结合所选条件，先求出，在适当放缩后，用等差等比数列，以及求和计算，然后结合单调性以及二项式定理即可判断.【详解】（1）当成立时，则能被整除，得，即，当成立时，则能被整除，得，即，则，显然集合为全体正偶数组成的集合，