海南省农垦实验中学2024-2025学年高三上学期8月摸底考试数学试题（解析版）

海南省农垦实验中学2025届高三8月摸底考试数学试卷满分：150一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）1.集合子集个数为（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】D【解析】【分析】先求出集合，再求出子集个数即可.【详解】由题意，得,故集合A子集个数为个.故选：D.2.不等式“”成立，是不等式“”成立的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据充分、必要条件的定义判断.【详解】由，但，所以由“”不能推出“”；又，但，所以由“”不能推出“”，即不等式“”成立，是不等式“”成立的既不充分也不必要条件.故选：D3.设函数，则等于（）A B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题中分段函数解析式运算求解.【详解】因为，所以.故选：C.4.下列命题中正确的是（）A.当时， B.当时，C.当时， D.当时，【答案】B【解析】【分析】结合基本不等式“一正，二定，三相等”求解即可.【详解】解:选项A.，，等号成立的条件是，等号取不到，所以，故A错误；选项B.当时，，，当且仅当时等号成立，故B正确；选项C.，，等号成立的条件是，等号取不到，即，故C错误；选项D.当时，，等号成立的条件是，即时，但条件，所以等号取不到，故，故D错误.故选：B5.已知定义在上的奇函数满足，则的值为（）A.－l B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】根据为奇函数，得到，根据，得到的周期为4，进而运用周期求解.【详解】由为定义在上的奇函数，得，得，由得，所以的周期为4，所以故选：B.6.设函数在区间上单调递减，则实数取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复合函数的单调性，结合二次函数的单调性列式求解即可.【详解】因为函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以实数的取值范围是.故选：D.7.若命题“”为假命题，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意可得命题“”是真命题，则在上恒成立，结合二次函数的性质即可求解.【详解】由题意知命题“”是真命题．因为，所以．当时，函数的最大值为6，则的最小值为，所以，即的最大值为．故选：A.8.已知奇函数在上为增函数，且，则关于的不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】结合函数的单调性及奇偶性，解不等式和，由，分和进行讨论，把函数值不等式转化为自变量不等式，求得结果．【详解】奇函数在上为增函数，且，则在上为增函数，且，，解得或；，解得或.不等式，等价于或，解得或.故选：A二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）9.下列说法不正确的是（）A.函数与是同一个函数B.若函数的定义域为，则函数的定义域为0,1C.不等式的解集为D.当x∈R时，不等式恒成立，则的取值范围是0,4【答案】ACD【解析】【分析】根据函数的定义可判断A；根据抽象函数的定义域求法判断B；解一元二次不等式判断C；根据不等式恒成立，讨论k的取值，结合一元二次不等式恒成立，判断D.【详解】对于A，函数的定义域为R，的定义域为，故函数与不是同一个函数，A不正确；对于B，函数的定义域为，即，则对于函数有，故其定义域为0,1，B正确；对于C，不等式即，则或，其解集，C不正确；对于D，当x∈R时，不等式恒成立，当时，恒成立，当时，则需满足，综合可得的取值范围是，D不正确，故选：ACD10.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（）A. B.在定义域上为增函数.C.当时， D.不等式的解集为【答案】CD【解析】【分析】对于A，利用的奇偶性直接求得；对于BC，利用的奇偶性求得的解析式，结合二次函数的性质即可判断；对于D，利用的单调性与奇偶性解不等式即可得解.【详解】对于A：因为是定义域为上的偶函数，所以，又当x∈0,+∞时，，所以，故A对于B：由二次函数可知，在0,+∞上单调递增，又因为函数是定义在上的偶函数，即的图象关于轴对称，所以在上单调递减，故B错误；对于C：当时，，则，故C正确；对于D：由的奇偶性与单调性可知，可化为，所以，解得，故D正确.故选：CD.11.已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（）A. B.为奇函数C.在R上单调递减 D.当时，【答案】ABD【解析】【分析】A选项，赋值法得到，，；B选项，先赋值得到，令得，故B正确；C选项，令，且，当时，，故，从而在R上单调递增；D选项，先变形得到，又，故，由函数单调性得到D正确.【详解】A选项，中，令得，，又，故，令中，令得，令得，即，A正确；B选项，中，令得，解得，中，令得，故为奇函数，B正确；C选项，中，令，且，故，即，当时，，故，即，故在R上单调递增，C错误；D选项，，，又，故，又在R上单调递增，所以，D正确.故选：ABD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知是等比数列，且公比为，为其前项和，若是、的等差中项，，则___________，___________.【答案】①.②.【解析】【分析】利用已知条件可得出，化简可得的值，再利用等比数列的求和公式可求得的值.【详解】由题意可得，，则，，解得.故答案为：；.13.函数的最小值为________．【答案】##【解析】【分析】运用函数单调性求最值即可.【详解】的定义域满足，即.则函数定义域为.在内单调递减，在也是单调递减，则在定义域内单调递减，则.故答案为：．14.已知函数，若，则实数a的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】先根据对数函数和一次函数的单调性判断分段函数的单调性，然后根据函数单调性解不等式即可求解.【详解】因为当x∈0,2时，是单调递增函数，此时f当x∈2,+∞时，f

所以fx=log所以若fa+1-则a+1≥2a-故答案为：四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知内角的对边分别为，设.（1）求；（2）若的面积为，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化进行化简，结合余弦定理即可得到结果；（2）根据题意，由三角形的面积公式可得，结合余弦定理即可得到结果.【小问1详解】原式化简可得：，整理得：，由正弦定理可得：，因此三角形的内角；【小问2详解】，，，.16.（1）已知，求函数的解析式；（2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；（3）已知，求的解析式.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）利用换元法求解即可，注意定义域的变化；（2）利用待定系数法求解即可；（3）利用方程组法求解即可.【详解】（1）设，则，，即，所以，所以．（2）因为是二次函数，所以设.由，得．由，得，整理得，所以，所以，所以．（3）用替换中的x，得，由，解得.17.小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了元，然后发给朋友，如果猜中，将获得红包里的所有金额；如果未猜中，将当前的红包转发给朋友，如果猜中，、平分红包里的金额；如果未猜中，将当前的红包转发给朋友，如果猜中，、和平分红包里的金额；如果未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设、、猜中的概率分别为，，，且、、是否猜中互不影响．（1）求恰好获得元的概率；（2）设获得的金额为元，求的分布列及的数学期望．【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算即可；（2）由题意，的可能取值为，，，，计算对应的概率值，写出的分布列与数学期望值．【小问1详解】若恰好获得8元红包，则结果为未猜中，未猜中，猜中，故A恰好获得元的概率为；【小问2详解】的可能取值为，，，，则，，，，所以的分布列为：数学期望为．18.如图，棱柱的所有棱长都为2，，侧棱与底面的所成角为平面为的中点．（1）证明：；（2）求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）证明平面，可得证；（2）根据题意，利用垂线法找出求二面角求解即可.【小问1详解】棱柱的所有棱长都为2，所以底面为菱形，故,平面平面，，且，平面，平面，且平面，.【小问2详解】因为平面，所以侧棱与底面的所成角为，即，如图，作，由（1）知，，且，平面，平面，且平面，，故即二面角的平面角，由（1）知，平面，且平面，，，且，，，，所以平面与平面夹角的余弦值为.19.已知焦点在轴上的椭圆：，短轴长为，椭圆左顶点到左焦点的距离为．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，已知点，点是椭圆的右顶点，直线与椭圆交于不同的两点，两点都在轴上方，且．证明直线过定点，并求出该定点坐标．【答案】（1）；（2）证明见解析，.【解析】【分析】（