人教中学七年级下册数学期末解答题综合复习题及答案

人教中学七年级下册数学期末解答题综合复习题及答案

一、解答题

1.（1）小丽计划在母亲节那天送份礼物妈妈，特设计一个表面积为12dm2的正方体纸

盒，则这个正方体的棱长是.

（2）为了增加小区的绿化面积，幸福公园准备修建一个面积121兀苏的草坪，草坪周围用

篱笆围绕.现从对称美的角度考虑有甲，乙两种方案，甲方案：建成正方形；乙方案：建

成圆形的.如果从节省篱笆费用的角度考虑，你会选择哪种方案？请说明理由；

（3）在（2）的方案中，审批时发现修如此大的草坪，目的是亲近自然，若按上方案就没

达到目的，因此建议用如图的设计方案：正方形里修三条小路，三条小路的宽度是一样，

这样草坪的实际面积就减少了21兀4，请你根据此方案求出各小路的宽度（兀取整数）.

2.如图是一块正方形纸片.

（1）如图L若正方形纸片的面积为ldm2,则此正方形的对角线AC的长为dm.

（2）若一圆的面积与这个正方形的面积都是271cm2,设圆的周长为C圆，正方形的周长为

C正，则C圆C正（填"="或或">"号）

（3）如图2,若正方形的面积为16cm2,李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积

为12cm2的长方形纸片，使它的长和宽之比为3：2,他能裁出吗？请说明理由？

3.观察下图，每个小正方形的边长均为1,

（1）图中阴影部分的面积是多少？边长是多少？

（2）估计边长的值在哪两个整数之间.

4.小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁处一块面积为300cm2的长

方形纸片.

⑴请帮小丽设计一种可行的裁剪方案；

（2）若使长方形的长宽之比为3:2,小丽能用这块纸片裁处符合要求的纸片吗？若能，请帮小丽

设计一种裁剪方案，若不能，请简要说明理由.

5.工人师傅准备从一块面积为25平方分米的正方形工料上裁剪出一块18平方分米的长方

形的工件.

(1)求正方形工料的边长；

(2)若要求裁下来的长方形的长宽的比为3:2,问这块正方形工料是否合格？(参考数

据：忘=1.414,73=1.732,75=2.236)

二、解答题

6.如图，直线HD〃GE,点A在直线“。上，点C在直线GE上，点B在直线H。、GE之

图1图2图3

(1)如图1,若NBCG=40。，求N48C的度数；

(2)如图2,AF平分NHAB,BC平分NFCG,NBCG=20。,比较NB,NF的大小；

(3)如图3,点P是线段AB上一点，PN平分NAPC,CN平分NPCE,探究NMAP和NN

的数量关系，并说明理由.

7.如图1,点A在直线MN上，点8在直线57上，点C在MN,ST之间，且满足

ZMAC+ZACB+ZSBC=360°.

(1)证明：MN//ST；

(2)如图2,若NACB=60。，AD//CB,点E在线段2C上，连接AE,且

NDAE=2NCBT,试判断NC4E与NOW的数量关系，并说明理由；

1QQO

(3)如图3,若NAC8=*("为大于等于2的整数)，点E在线段2c上，连接AE,

图1图2图3

8.综合与实践课上，同学们以“一个直角三角形和两条平行线”为背景开展数学活动，如

图，已知两直线”涉，且。//上ABC是直角三角形，ZBC4=90°,操作发现：

B

图1图2图3

(1)如图L若/1=48。，求N2的度数；

(2)如图2,若44=30。,4的度数不确定，同学们把直线“向上平移，并把N2的位置改

变，发现N2-4=120。，请说明理由.

(3)如图3,若NA=30。，AC平分/3AM,此时发现N1与N2又存在新的数量关系，请

写出/I与N2的数量关系并说明理由.

9.已知AB〃CD,定点、E,P分别在直线AB,CD上，在平行线AB,CD之间有一动点

B

D

备用图1

EB

D

D

备用图3

备用图2

(1)如图1所示时，试问Z4EP,NEPF,/PFC满足怎样的数量关系?并说明理由.

(2)除了(1)的结论外，试问/4£P,/EPF,/PfC还可能满足怎样的数量关系?请画

图并证明

(3)当N£P尸满足0。</£?/<180。，且。E,。歹分别平分NPEB和/尸FD,

①若NEPF=60°,则NEQF=°.

②猜想NEPF与NEQ尸的数量关系.(直接写出结论)

10.直线ABUCD,点P为平面内一点，连接AP,CP.

(1)如图①，点P在直线AB,C。之间，当NBAP=60。，NOCP=20。时，求N4PC的度

数；

(2)如图②，点P在直线AB,CD之间，NBAP与NOCP的角平分线相交于K,写出

NAKC与NAPC之间的数量关系，并说明理由；

29

(3)如图③，点P在直线C。下方，当NBAK=[NBAP,NOCK=：NOCP时，写出

NAKC与NAPC之间的数量关系，并说明理由.

图①

三、解答题

11.为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯.如图1所示，灯A射线从

AM开始顺时针旋转至AV便立即回转，灯5射线从族开始顺时针旋转至BQ便立即回

转，两灯不停交又照射巡视.若灯A转动的速度是每秒2度，灯8转动的速度是每秒1

度.假定主道路是平行的，即尸。//跖V,且Na4M:SW=3:2.

图1

(1)填空：Z.BAN=

(2)若灯8射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转

动几秒，两灯的光束互相平行？

(3)如图2,若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前.若射出的光束交于点C,过C

作NACD交尸。于点。，且ZACD=126。，则在转动过程中，请探究4AC与N3CD的数量

关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由.

12.(1)学习了平行线以后，香橙同学想出了过一点画一条直线的平行线的新方法，她是

通过折纸做的，过程如(图1).

图1

图2图3

①请你仿照以上过程，在图2中画出一条直线b,使直线b经过点P,且要求保留

折纸痕迹，画出所用到的直线，指明结果.无需写画法：

②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点P的直线a的一线.

（2）已知，如图3,AB//CD,8E平分/ABC,CF平分/BCD.求证：BE//CF（写出每

步的依据）.

13.己知点A,B,。在一条直线上，以点。为端点在直线AB的同一侧作射线OC,

OD,0E使NBOC=NEOD=60.

图①图②备用图

（1）如图①，若0D平分N3OC,求NAOE的度数；

（2）如图②，将/EOD绕点。按逆时针方向转动到某个位置时，使得如所在射线把

/BOC分成两个角.

①若NCOD:ZBOD=1:2,求NAOE的度数；

②若NCOD:/3O£>=1："（"为正整数），直接用含。的代数式表示ZAOE.

14.长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看

江水及两岸河堤的情况，如图，灯A射线自A"顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线

自取顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，若灯A转动的速度是

秒，灯B转动的速度是万秒，且a、b满足卜-4耳+（“+人-5）2=0.假定这一带长江两岸

河堤是平行的，即且/BAN=60°

oB

OBDP

图1图2

(1)求a、b的值；

(2)若灯B射线先转动45秒，灯A射线才开始转动，当灯B射线第一次到达BQ时运动

停止，问八灯转动几秒，两灯的光束互相平行？

(3)如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前.若射出的光束交于点C,过C作

8，人。交尸。于点。，则在转动过程中，Zfi4c与/BCD的数量关系是否发生变化?若不

变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围.

15.已知,ABC,DE//AB交AC于点E,DF//AC交AB于点F.

(1)如图1,若点D在边BC上，

①补全图形；

②求证：ZA=ZEDF.

(2)点G是线段AC上的一点，连接FG,DG.

①若点G是线段AE的中点，请你在图2中补全图形，判断NAFG,ZEDG,"GF之间

的数量关系，并证明；

②若点G是线段EC上的一点，请你直接写出N/WG,ZEDG,NOG尸之间的数量关系.

四、解答题

16.如图1,CE平分/ACD,AE平分/BAC,ZEAC+ZACE=90

(1)请判断A3与C。的位置关系并说明理由；

(2)如图2,当ZE=90且AB与CD的位置关系保持不变，移动直角顶点E,使

NMCE=NECD,当直角顶点E点移动时，问N&a与NMCD否存在确定的数量关系？并

说明理由.

(3)如图3,尸为线段AC上一定点，点。为直线上一动点且A2与CD的位置关系保持

不变，①当点。在射线CO上运动时(点C除外)，NCPQ+NCQP与/BAC有何数量关

系？猜想结论并说明理由.②当点。在射线CD的反向延长线上运动时(点C除外)，

NCPQ+NCQP与/BAC有何数量关系？直接写出猜想结论，不需说明理由.

17.如图，在[ABC中，NABC与ZACB的角平分线交于。点.

⑴若NA=40。，贝i]/3OC=___°；

(2)若ZA=〃。，则NBOC=°；

(3)若/4=〃。，NABC与ZACB的角平分线交于。点，NABO的平分线与NACO的平分

线交于点。I，,/O刈6^0的平分线与/。2。16位的平分线交于点。刈7,则/。2。17=

18.如图，直圾PQ3MN,一副直角三角板AABC,AZ)EF中，

ZACB=ZEDF=90°,/ABC=ZBAC=45°,ZDFE=30°,ZDEF=60°.

(1)若ADEF如图1摆放，当即平分/PEF时，证明：FD平分ZEFM.

图1

(2)若AABC,ADEF如图2摆放时，则NPDE=

D

Q

图2

（3）若图2中AABC固定，将AD跖沿着AC方向平移，边。尸与直线尸。相交于点G,

作ZFGQ和NGE4的角平分线GH、EW相交于点H（如图3）,求/GHF的度数.

D

图3

（4）若图2中ADEF的周长35an,AF=5c%,现将AABC固定，将ADEF沿着C4方向平

移至点F与A重合，平移后的得到ADES,点、D、E的对应点分别是。、E',请直接写

出四边形DE4D'的周长.

（5）若图2中ADEF固定，（如图4）将AABC绕点A顺时针旋转，1分钟转半圈，旋转

至AC与直线⑷V首次重合的过程中，当线段BC与ADEF的一条边平行时，请直接写出旋

转的时间.

图4

19.已知MN//GH,在RtABC中，ZACB=9Q°,ZBAC=30°,点A在MN上，边BC在

G”上，在RtADEF中,ZD尸E=90。,边£）石在直线A3上，NEDF=45。；

（1）如图L求/5AN的度数；

（2）如图2,将用△£>£尸沿射线54的方向平移，当点尸在"上时，求Z4FE度数；

（3）将Rf△。砂在直线上平移，当以A、D、尸为顶点的三角形是直角三角形时，直

接写出NE4N度数.

20.已知，如图1,直线bUi,垂足为A,点B在A点下方，点C在射线AM上，点B、C

不与点A重合，点D在直线11上，点A的右侧，过D作点E在直线b上，点D的

下方.

（1）L与b的位置关系是;

（2）如图1,若CE平分NBCD,且NBCD=70。，贝！UCED=°,ZADC=°；

（3）如图2,若CD_LBD于D,作NBCD的角平分线，交BD于F,交AD于G.试说明：

ZDGF=NDFG；

（4）如图3,若NDBE=NDEB,点C在射线AM上运动，NBDC的角平分线交EB的延长

线于点N,在点C的运动过程中，探索NN:NBCD的值是否变化，若变化，请说明理由；

若不变化，请直接写出比值.

【参考答案】

一、解答题

1.（1）dm；（2）从节省篱笆费用的角度考虑，选择乙方案建成圆形；（3）根据此方案

求出小路的宽度为

【分析】

（1）先求得正方体的一个面的面积，然后依据算术平方根的定义求解即可；

（2）根据正方形的周

解析：（1）垃dm；（2）从节省篱笆费用的角度考虑，选择乙方案建成圆形；（3）根据

此方案求出小路的宽度为后w

【分析】

（1）先求得正方体的一个面的面积，然后依据算术平方根的定义求解即可；

（2）根据正方形的周长公式以及圆形的周长公式即可求出答案；

（3）根据图形的平移求解.

【详解】

解：（1）・；正方体有6个面且每个面都相等，

•••正方体的一个面的面积=2dm2.

，正方形的棱长=0dm；

故答案为：Edm；

（2）甲方案：设正方形的边长为xm,则x2=121〃

x=11

,正方形的周长为：4x=44后m

乙方案：设圆的半径rm为，则万户==121万

/.r=ll

二圆的周长为：2G'=22万m

446-22万=226（2-历

4〉%

.2）无

•••2-6>0

•••正方形的周长比圆的周长大

故从节省篱笆费用的角度考虑，选择乙方案建成圆形；

（3）依题意可进行如图所示的平移，设小路的宽度为ym,则

llV/r-y=10

y=8

万取整数

'''y=6

答：根据此方案求出小路的宽度为Gm；

【点睛】

本题主要考查的是算术平方根的定义，熟练掌握正方形的性质以及平移的性质是解题的关

键；

2.（1）；（2）<；（3）不能；理由见解析.

【分析】

（1）由正方形面积，易求得正方形边长，再由勾股定理求对角线长；

（2）由圆面积公式，和正方形面积可求周长，比较两数大小可以采用比商法；

（3）采

解析：（1）72;（2）＜；（3）不能；理由见解析.

【分析】

（1）由正方形面积，易求得正方形边长，再由勾股定理求对角线长；

（2）由圆面积公式，和正方形面积可求周长，比较两数大小可以采用比商法；

（3）采用方程思想求出长方形的长边，与正方形边长比较大小即可.

【详解】

解：（1）由已知AB2=1,则=

由勾股定理，AC=y/i；

故答案为：^2.

（2）由圆面积公式，可得圆半径为75,周长为2乃0,正方形周长为

鼻=莘=#=*＜1；即C圆＜八；

C正4后2a

故答案为：＜

（3）不能；

由已知设长方形长和宽为3xcm和2xcm

，长方形面积为：2x・3x=12

解得x=5/2

•••长方形长边为3应＞4

,他不能裁出.

【点睛】

本题主要考查了算术平方根在正方形、圆、长方形面积中的应用，灵活的进行算术平方根

的计算与无理数大小比较是解题的关键.

3.（1）图中阴影部分的面积17,边长是；（2）边长的值在4与5之间

【分析】

（1）由图形可以得到阴影正方形的面积等于原来大正方形的面积减去周围四个

直角三角形的面积，由正方形的面积等于边长乘以边长，可

解析：（［）图中阴影部分的面积17,边长是后；（2）边长的值在4与5之间

【分析】

（1）由图形可以得到阴影正方形的面积等于原来大正方形的面积减去周围四个直角三角形

的面积，由正方形的面积等于边长乘以边长，可以得到阴影正方形的边长；

（2）根据巫在，可以估算出边长的值在哪两个整数之间.

【详解】

114

（1）由图可知，图中阴影正方形的面积是：5x5厂’4=17

则阴影正方形的边长为：717

答：图中阴影部分的面积17,边长是a7

（2）瓦＜/

所以4＜＞/17＜5

•••边长的值在4与5之间；

【点睛】

本题主要考查了无理数的估算及算术平方根的定义，解题主要利用了勾股定理和正方形的

面积求解，有一定的综合性，解题关键是无理数的估算.

4.（1）可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为15cm的线段

作为宽即可裁出符合要求的长方形；（2）不能，理由见解析.

【解析】

（1）解：设面积为400cm2的正方形纸片的边长为acm

解析：（1）可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为15cm的线段作为宽即

可裁出符合要求的长方形；（2）不能，理由见解析.

【解析】

（1）解：设面积为400cm2的正方形纸片的边长为。cm

a2=400

又；a>0

a=20

又；要裁出的长方形面积为300cm2

若以原正方形纸片的边长为长方形的长，

则长方形的宽为：300+20=15（cm）

•••可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为15cm的线段作为宽即可裁出符

合要求的长方形

（2）•.•长方形纸片的长宽之比为3：2

设长方形纸片的长为3xcm,则宽为2xcm

6x2=300

x2=50

又x>0

,x=5五

•••长方形纸片的长为15夜

又（15可=450>202

即：1572>20

二小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片

5.（1）正方形工料的边长是5分米；

（2）这块正方形工料不合格，理由见解析.

【详解】

试题分析：（1）根据正方形的面积公式求出的值即可；

（2）设长方形的长宽分别为3x分米、2x分米，得出方程3

解析：（1）正方形工料的边长是5分米；

（2）这块正方形工料不合格，理由见解析.

【详解】

试题分析：（1）根据正方形的面积公式求出后的值即可；

（2）设长方形的长宽分别为3x分米、2x分米，得出方程3x・2x=18,求出x=6,再求出

长方形的长和宽和5比较即可得出答案.

试题解析：（1）・..正方形的面积是25平方分米，

•••正方形工料的边长是5分米；

（2）设长方形的长宽分别为3x分米、2x分米，

则3x«2x=18,

x2=3,

xi=6，X2=-A/3（舍去）,

3x=3V3>5,2x=2百<5,

即这块正方形工料不合格.

二、解答题

6.（1）ZABC=100°；（2）ZABOZAFC；（3）ZN=90°-ZHAP；理由见

解析.

【分析】

（1）过点B作BMHD,则HDGEBM,根据平行线的性质求得NABM与

NCBM,便可求得最后

解析：（1）N4BC=100。；（2）AABC>AAFC；（3）ZA/=90°-HAP^理由见解

析.

【分析】

（1）过点B作BM//HD,则HD//GE//BM,根据平行线的性质求得NABM与NCBM,便可

求得最后结果；

（2）过B作BPHHDHGE,过F作FQHHDHGE,由平行线的性质得，/ABC=

NHAB+NBCG,ZAFC=ZHAF+ZFCG,由角平分线的性质和已知角的度数分别求得

ZHAF,ZFCG,最后便可求得结果；

（3）过P作PKHHDIIGE,先由平行线的性质证明NABC=NHAB+NBCG,ZAFC=

NHAF+NFCG,再根据角平分线求得NNPC与NPCN,由后由三角形内角和定理便可求得结

果.

【详解】

解：（1）过点B作贝！］HO〃GE〃B/W,如图1,

G

图1

ZABM=1800-ZDAB,ZCBM=NBCG,

,/ZDAB=120°fNBCG=40°,

/.ZABM=60°,ZCBM=40°,

/.ZABC=^ABM+^CBM=100°；

(2)过B作BP〃HD〃GE,过F作FQ〃HDIIGE,如图2,

图2

/.ZABP=NHAB,ZCBP=NBCG,ZAFQ=NHAF,ZCFQ=NFCG,

：.ZABC=AHAB+NBCG,ZAFC=AHAF+NFCG,

,/Z048=120°,

/.ZHAB=1800-ZDAB=60°f

,「AF平分NHAB,BC平分NFCG,NBCG=20°,

/.ZHAF=30°,ZFCG=40°,

/.ZABC=60°+20°=80°fZAFC=300+40°=70°,

/.ZABC>ZAFC；

(3)过P作PKIIHDIIGE,如图3,

图3

/.ZAPK=NHAP,ZCPK=NPCG,

：.ZAPC=AHAP+NPCG,

*/PN平分NAPC,

/.ZNPC=1ZHAP+g/PCG,

,/ZPCE=1800-ZPCG,CN平分NPCE,

/.ZPC/V=90°-yZPCG,

/ZN+NNPC+NPC/V=180°,

/.ZN=180°-HAP-g/PCG-90°+^-ZPCG=90°-^-ZHAP,

2222

即：ZA/=90°-yZHAP.

【点睛】

本题考查了角平分线的定义，平行线性质和判定：两直线平行，同位角相等；两直线平

行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，

注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，理清各角度之间的关系是解题的关键，也是本

题的难点.

7.（1）见解析；（2）见解析；（3）n-1

【分析】

（1）连接AB,根据已知证明NMAB+NSBA=180。，即可得证；

（2）作CFIIST,设NCBT=a,表示出NCAN,ZACF,ZBCF,根据

解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）n-1

【分析】

（1）连接AB,根据已知证明NMAB+NSR4=180。，即可得证；

（2）作CBIST,设NCB7=a,表示出NCAN,ZACF,ZBCF,根据ADIIBC,得到

ZDAC=120Q,求出NCAE即可得到结论；

（3）作CFWST,设NCBT=6,得到NCBT=ZBCF=6,分别表示出NCAN和NCAE,即可得到

比值.

【详解】

解：（1）如图，连接AB,

ZMAC+ZACB+ZSBC=360°,

ZACB+ZABC+ABAC=180°,

:.ZMAB+ZSBA=18O°,

.'.MN//ST

(2)ZCAE=2ZCAN,

理由：作CF〃ST,贝I]MN//CF//ST,如图,

设NCBT=e,则NZME=2a.

ZBCF=ZCBT=a,ZCAN=ZACF=60°-a,

AD//BC,ZDAC=1800-ZACB=120°,

NCAE=1200-ZDAE=120°-2a=2(60°-a)=2ZCAN.

即ZCAE=2ZCAN.

(3)作CF〃ST,贝1]肱\7/。尸〃57,如图，设NCBT=B,则=

M

CF//ST,

:.ZCBT=ZBCF=fi,

ZACF=ACAN=^-P=^-^,

nn

ZG4E=180°-ZM4E-ZG4?/=180o-n9--+^=—（180°-M/?）,

>nn

Yl—11

ZCAE:ZCAN=——:-=n-l,

nn

故答案为〃-1.

【点睛】

本题主要考查平行线的性质和判定，解题关键是角度的灵活转换，构建数量关系式.

8.（1）42°；（2）见解析；（3）N1=N2,理由见解析

【分析】

（1）由平角定义求出N3=42。，再由平行线的性质即可得出答案；

（2）过点B作BDIIa.由平行线的性质得N2+NABD=180°

解析：（1）42。；（2）见解析；（3）N1=N2,理由见解析

【分析】

（1）由平角定义求出N3=42。，再由平行线的性质即可得出答案；

（2）过点B作BOIIa.由平行线的性质得N2+NABD=180。，Z1=ZDBC,贝此ABD=NABC-

ZDBC=60°-Z1,进而得出结论；

（3）过点C作CPUa,由角平分线定义得NC4M=N8AC=30。，ZBAM=2/LBAC=60°,由平

行线的性质得N1=ZB4M=60。，ZPC4=NCAM=30a,Z2=ZBCP=60°,即可得出结论.

【详解】

解：（1）,「N1=48°,ZBCA=90°,

：.Z3=180°-ZBCA-A1=180°-90°-48°=42°,

■/allb,

：.Z2=Z3=42°；

（2）理由如下：

过点B作BOUa.如图2所示：

图2

则N2+ZABD=180°,

-：allb,

：.b\\BD,

：,Z1=ZDBC,

：.ZABD=NABC-NDBC=60°-Z1,

/.Z2+60°-Z1=180°,

Z2-Z1=120°；

(3)Z1=Z2,理由如下：

过点C作CPUa,如图3所示：

图3

AC平分NBAM

：.ZCAM=4BAC=30°,ZBAM=2NBAC=60°,

又：aIIb,

：.CPWb,Z1=ZBAM=60°,

：.ZPCA=NCAM=30°,

：.ZBCP=ZBCA-NPC/\=90--30°=60°,

又：CPUa,

Z2=ZBCP=60°,

Z1=Z2.

【点睛】

本题是三角形综合题目，考查了平移的性质、直角三角形的性质、平行线的判定与性质、

角平分线定义、平角的定义等知识；本题综合性强，熟练掌握平移的性质和平行线的性质

是解题的关键.

9.(1)ZAEP+ZPFC=ZEPF；(2)NAEP+ZEPF+ZPFC=360°；(3)①150°

或30；②NEPF+2ZEQF=360°或NEPF=2ZEQF

【分析】

(1)由于点是平行线，之间

解析：(1)NAEP+ZPFC=NEPF；(2)ZAEP+ZEPF+ZPfC=360°；(3)①150°或30；

②NEPF+2NEQF=360°或NEPF=2NEQF

【分析】

(1)由于点尸是平行线AB,8之间有一动点，因此需要对点尸的位置进行分类讨论:

如图1,当尸点在£口的左侧时，ZAEP,ZEPF,/PPC满足数量关系为：

ZEPF=ZAEP+/PFC；

(2)当尸点在EF的右侧时，ZAEP,Z.EPF,/PbC满足数量关系为：

ZAEP+ZEPF+ZPFC=360°；

(3)①若当尸点在E尸的左侧时，ZEQF=ZBEQ+ZQFD=150°;当尸点在所的右侧时,

可求得ZBEQ+ZQFD=30°；

②结合①可得々WgOO-ZNBEQ+lgOO-ZNDFQnBGOO-ZCNBEQ+NPFD),由

NEQF=ZBEQ+ZDFQ,得出ZEPF+2.ZEQF=360°；可得EPF=ZBEP+ZPFD,由

ZBEQ+ZDFQ=ZEQF,得出NEPF=2ZEQF.

【详解】

解：(1)如图1,过点尸作尸G〃AB,

PG//AB,

:.ZEPG=ZAEP,

AB!/CD,

:.PG//CD,

:.ZFPG=ZPFC,

ZAEP+ZPFC=ZEPF；

（2）如图2,当尸点在EF的右侧时，ZAEP,ZEPF,/PFC满足数量关系为:

ZAEP+ZEPF+ZPFC=360°；

过点尸作PG〃AB,

PG!/AB,

:.ZEPG+ZAEP=1SO°,

AB//CD,

:.PGHCD,

:.ZFPG+ZPFC=18OP,

ZAEP+ZEPF+ZPFC=360°；

(3)①如图3,若当P点在所的左侧时,

图3

ZEPF=60。,

ZPEB+NPFD=360°-60°=300°,

EQ,尸。分别平分/FEB和NPFD,

ZBEQ=|ZPEB,ZQFD=|NPFD,

ZEQF=ZBEQ+ZQFD=1(ZPEB+ZPFD)=1x300°=150°；

如图4,当尸点在阱的右侧时，

ZPEB+ZPFD=60°,

ZBEQ+ZQFD=1(ZPEB+ZPFD)=1x60°=30°；

故答案为：150。或30；

②由①可知：NEQF=ZBEQ+ZQFD=1(NPEB+ZPFD)=1(360°-ZEPF),

ZEPF+2ZEQF=360°；

ZEQF=ZBEQ+ZQFD=1(NPEB+ZPFD)=|NEPF,

ZEPF=2ZEQF.

综合以上可得ZEPF与NEQF的数量关系为：ZEPF+2ZEQF=360°或ZEPF=2NEQF.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，平行公理和及推论等知识点，作辅助线后能求出各个角的

度数，是解此题的关键.

10.(1)80°；(2)NAKC=NAPC,理由见解析；(3)NAKC=NAPC,理由

见解析

【分析】

(1)先过P作PEIIAB,根据平行线的性质即可得到NAPE=NBAP,ZCPE=

NDCP,再根据N

解析：(1)80°；(2)NAKC=gzAPC,理由见解析；(3)NAKC=：ZAPC,理由见解

23

析

【分析】

(1)先过P作PEWAB,根据平行线的性质即可得到NAPE=ZBAP,ZCPE=ZDCP,再根

据NAPC=NAPE+NCPE=NBAP+NDCP进行计算即可；

(2)过K作KEIMB,根据KEIIABUCD,可得ZAKE=NBAK,NCKE=NDCK,进而得到

ZAKC=ZAKE+NCKE=ZBAK+NDCK,同理可得，ZAPC=NBAP+ZDCP,再根据角平分线

的定义，得出NBAK+NOCK=；NBAP+^NOCP=；QBAP+NDCP)=；N4PC,进而得

到NAKC^yZAPC；

(3)过K作KEIIAB,KEWABWCD,可得NBAK=NAKE,NDCK=NCKE,进而得到

ZAKC=NBAK-ZDCK,同理可得，ZAPC=NBAP-ZDCP,再根据已知得出NBAK-

2222

ZDCK=-NBAP--ZDCP=-ZAPC,进而得到NBAK-ZDCK=-ZAPC.

3333

【详解】

(1)如图1,过P作PEIIAB,

ABWCD,

：.PEWABWCD,

：.ZAPE=NBAP,ZCPE=NDCP,

：.ZAPC=AAPE+NCPE=ZBAP+A0cp=60°+20°=80°；

(2)ZAKC=gZAPC.

理由：如图2,过K作KEWAB,

■：ABWCD,

：.KEWABWCD,

：.ZAKE=4BAK,ZCKE=NDCK,

：.ZAKC=4AKE+NCKE=4BAK+NDCK,

过P作PFIIAB,

同理可得，ZAPC=NBAP+ADCP,

ZBAP与NDCP的角平分线相交于点K,

:.NBAK+NDCK=g/BAP+；NDCP=；QBAP+NDCP)=；NAPC,

/.ZAKC=ZAPC；

2

(3)NAKC=-NAPC

3

理由：如图3,过K作KEWAB,

「ABWCD,

/.KEIIABIICD,

：.ZBAK=NAKE,ZDCK=NCKE,

：.ZAKC=4AKE-NCKE=NBAK-ZDCK,

过P作PFWAB,

同理可得，ZAPC=ZBAP-ZDCP,

22

,/ZBAK=-ZBAP,ZDCK=-ZDCP,

33

2222

ZBAK-ZDCK=-ZBAP--ZDCP=-QBAP-NDCP)=-ZAPC

3333f

2

ZAKC=-AAPC.

3

本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是作出平行线构造内错角相等计

算.

三、解答题

11.(1)72°；(2)30秒或110秒；(3)不变，ZBAC=2ZBCD

【分析】

(1)根据NBAM+ZBAN=180°,ZBAM：ZBAN=3：2,即可得到NBAN的度

数；

(2)设A灯转动t秒，

解析：(1)72。；(2)30秒或110秒；(3)不变，NBAC=2NBC。

【分析】

(1)根据NB4W+NBAN=180。，ZBAM：ZBAN=3：2,即可得到NBAN的度数；

(2)设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当0<t<90时，根

据2t=1・(30+t),可得t=30；当90cte150时，根据1・(30+t)+(2t-180)=180,可得

t=110；

(3)设灯A射线转动时间为t秒，根据NBAC=2t-108。，ZBCD=126°-ZBCA=t-54°,即可得

出NBAC：NBCD=2：1,据此可得N8AC和NBC。关系不会变化.

【详解】

解：(1).:NBAM+NBAN=180°,ZBAM：ZBAN=3：2,

2

/.ZBAN=180°x-=72°,

故答案为：72；

(2)设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行,

①当0VtV90时，如图1,

•/PQIIMN,

/.ZPBD=NBDA,

•/ACWBD,

/.ZCAMSBDA,

/.ZCAM=NPBD

：.2t=l*(30+t),

解得f=30；

②当90VY150时，如图2,

,/PQIIMN,

：.ZPBD+NBDA=180°f

,/ACWBD,

/.ZCAN=NBDA

：.ZPBD+NCAN=180°

/.1•(30+t)+(2t-180)=180,

解得t=110,

综上所述，当上30秒或110秒时，两灯的光束互相平行;

(3)NBAC和N8C。关系不会变化.

理由：设灯4射线转动时间为1秒，

,/ZCAN=1800-2tf

ZBAC=72°-（1800-2t）=2t-108°,

又ZABC=108Q-t,

：.ZBC/\=1800-ZABC-NBAC=180a-t,而NACD=126°,

：.ZeCD=126°-ZBCA=126°-（180°-t）=t-54°,

:.NBAC：ZBCD=2：1,

即NBAC=2NBCD,

ZBAC和NBCD关系不会变化.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想

进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.

12.（1）①见解析；②垂；（2）见解析

【分析】

（1）①过点折纸，使痕迹垂直直线，然后过点折纸使痕迹与前面的痕迹垂

直，从而得到直线；

②步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点的直线的垂线.

（2）先根据

解析：（1）①见解析；②垂；（2）见解析

【分析】

（1）①过尸点折纸，使痕迹垂直直线”，然后过P点折纸使痕迹与前面的痕迹垂直，从而

得到直线6；

②步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点尸的直线。的垂线.

（2）先根据平行线的性质得到/ABC=/BCD,再利用角平分线的定义得到，2=/3,

然后根据平行线的判定得到结论.

【详解】

（1）解：①如图2所示：

图2

②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点尸的直线”的垂线.

故答案为垂；

（2）证明：BE平分/ABC,CF平分/BCD（已知），

二/1=/2,Z3=Z3（角平分线的定义），

AB//CD（已知）,

:.ZABC=ZBCD（两直线平行，内错角相等），

/.2Z2=2Z3（等量代换），

,-.Z2=Z3（等式性质），

；.BE//CF（内错角相等，两直线平行）.

【点睛】

本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合

了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结

合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了平行线的性质与

判定.

13.（1）；（2）①；②.

【分析】

（1）依据角平分线的定义可求得，再依据角的和差依次可求得和，根据邻补角

的性质可求得结论；

（2）①根据角相等和角的和差可得NEOC=NBOD,再根据比例关系可得，最

解析：（1）ZAOE=90。；（2）①ZAOE=80。；②NAOE=（120-驷）。.

n+1

【分析】

（1）依据角平分线的定义可求得NCOD=30。，再依据角的和差依次可求得NEOC和

NBOE,根据邻补角的性质可求得结论；

（2）①根据角相等和角的和差可得NEOC=NBOD,再根据比例关系可得最后依

据角的和差和邻补角的性质可求得结论；

②根据角相等和角的和差可得NEOC=NBOD,再根据比例关系可得NBQD,最后依据角的

和差和邻补角的性质可求得结论.

【详解】

解：（1）.・0。平分ZBOC=NEOD=GO°,

ZCOD=-ZBOC=30°,

2

ZEOC=Z.EOD-Z.COD=30°,

Z.BOE=ZEOC+NBOC=90°,

ZAOE=180°-Z.BOE=90°；

（2）①,二Z.BOC=Z.EOD,

：.ZEOC+ZCOD=ZBOD+ZCOD,

/.ZEOC=ZBOD,

Z.BOC=60°,ZCOD:NBOD=1:2,

ZBOZ）=60°x-=40°,

3

/EOC=NBOD=40°,

ZBOE=ZEOC+ZBOC=100°,

ZAOE=180°-ZBOE=80°；

②NBOC=NEOD,

ZEOC+ZCOD=ZBOD+ZCOD,

ZEOC=ZBOD,

/ZBOC=6Q°,ZCOD:ZBOD=l:nf

ABOD=60°x,

n+1n+1

：.ZEOC=ZBOD=(-^-)°,

n+1

NBOE=ZEOC+ZBOC=(里电+60)°,

n+1

ZAOE=180°-ZBOE=(120--^)°.

n+1

【点睛】

本题考查邻补角的计算，角的和差，角平分线的有关计算.能正确识图，利用角的和差求

得相应角的度数是解题关键.

14.(1),；(2)15秒或63秒；(3)不发生变化，

【分析】

(1)利用非负数的性质解决问题即可.

(2)分三种情形，利用平行线的性质构建方程即可解决问题.

(3)由参数表示，即可判断.

【详解】

解析：(1)a=4,b=l；(2)15秒或63秒；(3)不发生变化，3NBAC=4NBCD

【分析】

(1)利用非负数的性质解决问题即可.

(2)分三种情形，利用平行线的性质构建方程即可解决问题.

(3)由参数t表示ZZMC,NBCD即可判断.

【详解】

解：⑴卜-蝴+(4+6-5)2=0,

(a-4b=0

"[a+b-5=0,

。=4,b=l；

(2)设A灯转动/秒，两灯的光束互相平行，

①当0</<45时，

4,=(45+r)xl,

解得r=15；

②当45Vt<90时，

4f-180=180-(z+45),

解得f=63；

③当90<f<135时,

4r-360=r+45,

解得f=135,(不合题意)

综上所述，当t=15秒或63秒时，两灯的光束互相平行；

(3)设A灯转动时间为/秒，

-ZCAN=180°-4t,

ABAC=60°-(1800-4f)=4z-120°,

又:PQ//MN,

ZBCA=ZCBD+ZCAN=f+180°-4f=180°-3f,

而ZACD=90°,

NBCD=90°-NBCA=90°-(180°-3f)=3t-90°,

:.ZBAC:ZBCD=4:3,

即3ZBAC=4ZBCD.

【点睛】

本题考查平行线的性质和判定，非负数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用

参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.

15.(1)①见解析；②；见解析(2)①NAFG+NEDG=NDGF；②NAFG-

ZEDG=ZDGF

【分析】

(1)①根据题意画出图形；②依据DEIIAB,DFIIAC,可得

NEDF+ZAFD=180°,Z

解析：(1)①见解析；②；见解析(2)①NAFG+NEDG=NDGF；②NAFG-

ZEDG=NDGF

【分析】

(1)①根据题意画出图形；②依据。日MB,DFIIAC,可得NEOF+NAFD=180。，

ZA+NAFD=180°,进而得出NEDF=4A;

(2)①过G作G川IAB,依据平行线的性质，即可得到

ZAFG+NEDG=NFGH+ZDGH=ZDGF；②过G作GHIIAB,依据平行线的性质，即可得到

ZAFG-NEOG=NFGH-NDGH=ZDGF.

【详解】

解：(1)①如图，

却

②DEWAB,DFWAC,

:.NEDF+NAFD=180°,ZZ\+ZAFD=180°,

ZEDF=NA；

(2)①NAFG+NEDG=NDGF.

如图2所示，过G作GHIIAB,

■，->4811DE,

：.GHWDE,

：.ZAFG=NFGH,