教师资格认定考试高级中学数学模拟题16

教师资格认定考试高级中学数学模拟题16一、单项选择题1.

设其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0点______A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导D.可导正确答案：D[解析]，，所以存在且为0。而f(0)=0，故f(x)在x=0处连续。

，故f(x)在x=0处可导，且f'(0)=0。故D正确。

2.

已知sinθ+cosθ=m，tanθ+cotθ=n，则m与n的大小关系为______

A．m2=n

B．

C．

D．正确答案：C[解析]

选择C选项。

3.

设，已知r(A)=2，则λ与μ的值分别为______A.λ=5，μ=1B.λ=1，μ=5C.λ=-5，μ=1D.λ=-1，μ=5正确答案：A[解析]，且r(A)=2，所以λ+3=8，μ-5=-4，即λ=5，μ=1，故选A。

4.

数列极限

A．

B．

C．

D．正确答案：B[解析]，

这是函数在[0，1]上的一个积分和：

其中积分区间[0，1]n等分，n等分后每个小区间是，ξi是区间的右端点。因此，，故选B。

5.

已知向量a，b不共线，c=ka+b(k∈R)，d=a-b，如果c∥d，那么______A.k=1且c与d同向B.k=1且c与d反向C.k=-1且c与d同向D.k=-1且c与d反向正确答案：D[解析]取a=(1，0)，b=(0，1)，则c=(k，1)，d=(1，-1)，由c∥d，得-k=1，∴k=-1，当k=-1时，c·d=-2＜0，∴c，d异向。故选D。

6.

幂级数的收敛域是______A.(-1，1)B.[-1，1)C.(-1，1]D.[-1，1]正确答案：B[解析]因为，所以幂级数的收敛半径为1，收敛区间为(-1，1)。当x=-1时，有交错级数，由莱布尼茨判别法知该级数收敛；当x=1时，有p级数，其中，由p级数当p≤1时发散，知此时级数发散。所以，题干所述的幂级数的收敛域为[-1，1)，故选B。

7.

《普通高中数学课程标准》(实验)中规定的必修课程是每个学生都必须学习的数学内容，下列内容不属于必修4的是______A.算法初步B.基本初等函数Ⅱ(三角函数)C.平面上的向量D.三角恒等变换正确答案：A[解析]基本初等函数Ⅱ(三角函数)、平面上的向量、三角恒等变换都属于必修4的内容，算法初步是选修3的内容之一，故选A。

8.

下列关于普通高中数学课程评价的说法错误的是______A.笔试是定量评价的重要方式B.定量评价采取评语或成长记录的形式C.要重视学生做数学作业的过程，充分发挥数学作业在学生评价中的作用D.应注重计算器、计算机等现代教育技术手段在评价学生学习中的作用正确答案：B[解析]定量评价采取百分制或等级制的方式，定性评价采取评语或成长记录等形式进行，因此本题选B。

二、简答题(每小题7分，共35分)1.

求曲面x2+2y2+3z2=21的切平面，使它平行于平面x+4y+6z=0。正确答案：解：设曲面上过点(x0，y0，z0)的切平面和平面x+4y+6z=0平行。又过点(x0，y0，z0)的切平面为2x0(x-x0)+4y0(y-y0)+6z0(z-z0)=0，故，所以2x0=y0=z0，代入曲面方程得，，所以x0=±1，可见点(1，2，2)和点(-1，-2，-2)为所求平面的切点。所求的切平面方程为x-1+4(y-2)+6(z-2)=0或x+1+4(y+2)+6(z+2)=0即x+4y+6z-21=0或x+4y+6z+21=0。

甲、乙、丙三车间加工同一产品，加工量分别占总量的25%，35%，40%，次品率分别为0.03，0.02，0.01。现从所有产品中取一件，试求：2.

该产品是次品的概率；正确答案：解：设A1，A2，A3分别表示甲，乙，丙三车间加工的产品，B表示此产品是次品。

所求事件的概率为P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+p(A3)P(B|A3)=0.25×0.03+0.35×0.02+0.4×0.01=0.0185。

3.

若检查结果显示该产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率是多少?正确答案：解：若检查结果显示该产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率是。

4.

已知线性变换求从变量x1，x2，x3到变量y1，y2，y3的线性变换。正确答案：解：，则原线性变换可用矩阵表示为X=AY，即，

因为，所以A可逆，且，

故，即

5.

如何理解高中数学课程的过程性目标?正确答案：把“过程与方法”作为目标是课程改革的变化之一。在以往的大纲中，虽然也不同程度地强调了“过程与方法”的重要性，但是，这次课程改革把“过程与方法”作为目标提出来，这是一个重大变化。这样，“过程与方法”不是可有可无的东西，而是必须实现的基本目标。“过程与方法”是课程的目标．如何实现这个目标是值得我们认真思考的问题。

在数学知识技能中，蕴含着一些重要的数学思想和方法。学习的目的，不仅在于掌握数学知识技能和结果，更重要的是经历形成这些数学知识技能的过程，体会其中所蕴含的数学思想和方法，学会运用这些思想和方法去学习其他的知识，并能从中感悟数学的作用和价值，提高学生学习数学的兴趣，树立学生学好数学的信心。因此，在教学活动中，不仅要关注学生对知识技能的掌握，而且要特别关注掌握知识技能的过程，包括知识的来龙去脉，结论的背景、产生过程和意义，获取知识的能力和方法等。

6.

数学概念的教学应该注意哪些问题?正确答案：(1)注意具体问题情境的设计；

(2)应注意使学生熟悉概念的各种变式；

(3)在数学概念的教学中，要注意正例和反例的使用；

(4)数学概念的教学必须使学生能够应用概念的名称和符号，联系现实原型，对概念做事实的解释；抓住事物本质，对概念做辩证的分析；在实践中运用概念，在运用中巩固概念。

三、解答题(10分)设矩阵，已知线性方程组AX=β有解但不唯一。1.

试求a的值；正确答案：解：对线性方程组AX=β的增广矩阵作初等行变换，有

因为方程组AX=β有解但不唯一，所以，故a=-2.

2.

求正交矩阵Q，使QTAQ为对角矩阵。正确答案：解：由上一小题知，，对应的特征方程为|λE-A|=λ(λ-3)(λ+3)，可得特征值为λ1=3，λ2=-3，λ3=0，

对应特征向量分别为α1=(1，0，-1)T，α2=(1，-2，1)T，α3=(1，1，1)T，

将α1，α2，α3单位化得，

令，则有。

四、论述题(15分)1.

给出中学几何研究图形的几个主要方法，并试以其中一种为例，说明该种方法的基本特点。正确答案：中学几何研究图形的方法主要有：综合几何的方法，解析几何的方法，向量几何的方法，函数的方法等。

综合几何的方法是利用几何的方法研究图形的性质，即用已知的基本图形的性质去研究组合图形的性质。这种方法的基本特点就是把复杂的图形转化为简单的图形，把空间的图形转化为平面图形。例如，把两条线段的相等问题转化为两个三角形的全等关系或一个三角形内两边的相等关系，空间两直线的垂直问题转化为平面两直线垂直(如三垂线定理)，利用三视图研究空间几何体等。在综合几何方法中，平移、旋转、对称等是研究图形性质的基本方法。

五、案例分析题(20分)阅读下列两位教师的教学过程。

教师甲的教学过程：

师：在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障。这是一条1000米长的线路，如何迅速查出故障所在?

如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多。每查一个点要爬一次10米长的电线杆子，大约有200多根电线杆子呢。想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理?

生1：直接一个个电线杆去寻找。

生2：先找中点，缩小范围，再找剩下来一半的中点。

师：生2的方法是不是对呢?我们一起来考虑一下。

如图，维修工人首先从中点C查，用随身带的话机向两个端点测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D来查，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查。每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，如此查下去，不用几次，就能把故障点锁定在一两根电线杆附近。

师：我们可以用一个动态过程来展示一下(展示多媒体课件)。

在一条线段上找某个特定点，可以通过取中点的方法逐步缩小特定点所在的范围(即二分法思想)。

教师乙的教学过程：

师：大家都看过李咏主持的《幸运52》吧，今天咱也试一回(出示游戏：看商品猜价格)。

生：积极参与游戏，课堂气氛活跃。

师：竞猜中，“高了”“低了”的含义是什么?如何确定价格最可能的范围?

生：主持人“高了、低了”的回答是判断价格所在区间的依据。

师：如何才能更快地猜中商品的预定价格?

生：回答各异。

老师由此引导学生说出“二分法”的思想，并向同学们引出二分法的概念。

问题：1.

分析两种情境引入的特点；正确答案：甲教师从实际问题入手，利用多媒体演示用二分法思想查找故障发生点，通过演示让学生初步体会二分法的算法思想与方法，说明二分法原理源于现实生活，并在现实生活中广泛应用。

乙教师利用视频与游戏的形式，学生会踊跃参与，商品价格竞猜也是学生熟悉的，竞猜的方法多样，可以进行竞赛，通过问题，启发学生寻找确定区间的依据，为后面探索“用二分法求方程的近似解”埋下伏笔。

2.

结合案例，说明为什么要学习用二分法求方程的近似解。正确答案：首先，新课程标准强调函数的应用，用二分法求方程的近似解体现了函数在数学其他方面的应用。概括来说，函数应用表现在两个方面，一是在数学其他方面的应用；二是在其他科学领域和实际问题中的应用。

其次，二分法简便而又应用广泛，用在求方程的近似解方面是依据了方程解存在的重要结论，即函数的应用。二分法求方程的近似解这一内容也是函数思想存在的一个良好载体。二分法还是数学必修3中算法学习的一个铺垫，在教学中可以用框图表示二分法求方程近似解的流程。

再次，二分法朴素地体现了数学逼近的过程，二分法虽然简单，但包含了许多以后可以在其他地方运用和推广的朴素的思想，如“整体→局部”“定性→定量”“精确→近似”“计算→技术”等。这些数学思想发展的过程，具有萌发数学思想的数学教育价值。

六、教学设计题(30分)在弧度制的教学中，教材在介绍了弧度制的概念时，直接给出“1弧度的角”的定义，然而学生难以接受，常常不解地问：“怎么想到要把长度等于半径的弧所对的圆心角叫作1弧度的角?”如果老师照本宣科，学生便更加感到乏味：“弧度，弧度，越学越糊涂。”“弧度制”这类学生在生活与社会实践中从未碰到过的概念，直接给出它的定义，学生会很难理解。

问题：1.

谈谈“弧度制”在高中数学课程中的作用；正确答案：教材分析：“弧度制”选自《普通高中课程标准实验教科书·数学4》(必修，人教A版)第一章第一节第三课时。一方面初中已经学过角的度量单位“度”，并且之前学习了任意角的概念，因此本节课是在学习任意角的基础上的再次延伸，为后面学习任意角的三角函数做准备，有承上启下的作用；另一方面角度制是60进制，与实数间的运算不同，不能为很多问题的解决带来便利，所以学习弧度制是很有必要的。通过本节的学习，掌握另一种度量角的单位制——弧度制，理解并认识到角度制和弧度制都是对角进行度量的方法，角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与实数集之间建立对应关系，为下一节学习三角函数做好准备。

2.

确定“弧度制”的教学目标和教学重难点；正确答案：教学目标：知识与技能：理解并掌握弧度制的定义；掌握角度与弧度的互化；理解角的集合与实数之间建立的一一对应关系；掌握并运用弧度制表示弧长公式、扇形面积公式。

过程与方法：创设情境，引入弧度制度量角的大小，通过探究理解并掌握弧度制的定义。根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形公式，以具体的实例学习角度制与弧度制的互化。

情感态度与价值观：激发对数学强烈的求知欲，养成积极主动地学习和思考并参与数学学习活动的好习惯。

教学重点：角度与弧度的互化。

教学难点：弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式的应用。

3.

根据教材，设计一个“弧度制概念”引入的教学片段，引导学生经历从实际背景抽象概念的过程。正确答案：在课堂教学中，可采用如下设计的教学过程。

①创没故事情境。

一个生病的小男孩得知自己的体温是“102”度时，十分忧伤地独自一个人躺在床上“等死”。而他的爸爸对此却一无所知，他以为儿子是想休息，所以才没有陪伴他，等他从外面打猎回来，发现儿子不见好转。一问才知道，他儿子在学校里听同学说一个人的体温是“44”度时就不能活。当爸爸告诉他就像距离计量中的英里和千米一样，有两种不同的体温测量标准，一种37度是正常，而另一种98度是正常时，他才一下子放松下来，委屈的泪水哗哗地流下来。在生活、生产和科学研究中，一个量可以有几种不同的计量单位(老师可以让学生说出如长度、面积、质量等一些量的不同计量单位)，并指出对于“角”仅用“度”做单位就很不方便。因此，我们要学习角的另一种计量单位——弧度。如此引入，很自然引出或鼓励学生猜测“角”还有没有其他度量方式，从而开启思维的闸门。

②探索角新的度量方法。

可从两种度量方式实质上的一致之处开始探索：拿两个量角器拼成一个圆，可以看出圆周被分成360份，其中每一份所对的圆心角的度数都是1度，然后提出问题，“拿”圆上