教师资格认定考试高级中学数学分类模拟11

教师资格认定考试高级中学数学分类模拟11解答题1.

求曲面平行于平面2x+2y-z=0的切平面方程．正确答案：解：设切点P(x0，y0，z0)，于是曲面在点P的法向量为(x0，2y0，-1)，所给平面的法向量为(2，2，-1)，由条件知，所以切点坐标为x0=2，y0=1，，于是，所求切平面为2(x-2)+2(y-1)-(z-3)=0，即2x+2y-z-3=0．[考点]多元函数微分学及其应用

2.

设行向量组(2，1，1，1)，(2，1，a，a)，(3，2，1，a)，(4，3，2，1)线性相关，且a≠1，求a的值．正确答案：解：向量组α1，α2，…，αn线性相关的充要条件是r(α1，α2，…，αn)＜n．由r(α1，α2，α4)＜4，得a=1或，显然a=1不符合题意．综上所述[考点]向量组的线性相关性

设a，b为正实数，且3.

求a2+b2的最小值．正确答案：解：∵a，b为正实数，且(当a=b时，等号成立)，即(当a=b时，等号成立)，∵(当a=b时，等号成立)，∴a2+b2的最小值为1．[考点]数与代数

4.

若(a-b)2≥4(ab)3，求ab的值．正确答案：解：∵(a-b)2≥4(ab)3，∴(a+b)2-4ab≥4(ab)3，即，即(ab)2-2ab+1≤0，(ab-1)2≤0，∵a，b为正实数，∴ab=1．[考点]数与代数

以简单随机抽样的方式从某小区抽取100户居民用户进行用电量调查，发现他们的用电量都在50～400kW·h之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示．

5.

求直方图中x的值．正确答案：解：由(0.0004+0.0008+2x+0.0036+0.0044+0.006)×50=1，得x=0.0024．[考点]概率论与数理统计

6.

估计该小区居民用电量的平均值和中位数．正确答案：解：平均值为(0.0024×75+0.0036×125+0.006×175+0.0044×225+0.0024×275+0.0008×325+0.0004×375)×50=187，∵用电量落在区间[50，200)的频率之和为(0.0024+0.0036+0.006)×50=0.6，∴中位数落在区间[150，200)，设中位数为a，则0.0024×50+0.0036×50+0.006(a-150)=0.5，解得a=183.3．[考点]概率论与数理统计

7.

从用电量落在区间[300，400)内被抽到的用户中任取2户，求至少有1户落在区间[350，400)内的概率．正确答案：解：由题中频率分布直方图可知，用电量落在区间[300，350)的用户有100×0.0008×50=4户，记为A1，A2，A3，A4，用电量落在区间[350，400)用户有100×0.0004×50=2户，记为B1，B2，记事件E=“至少有1户落在区间[350，400)内”，∴从A1，A2，A3，A4，B1，B2中这6个元素中任取2个元素的样本空间Ω={(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)}，共有15个样本点，E={(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)}，共有9个样本点，∴，即至少有1户落在区间[350，400)内的概率为[考点]概率论与数理统计

8.

k为何值时，线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解，并在当方程组有解时求出其解．正确答案：解：线性方程组的系数矩阵

(1)当时，方程组无解，此时

(2)当时，方程组有唯一解，有即k≠±1．所以方程组的解为

(3)当时，方程组有无穷多解，有即k=1．此时，方程组变为x+y=1，它的通解为x=1-y，其中y∈R为自由变量．[考点]线性方程组

9.

设A为n阶矩阵，λ1和λ2是A的两个不同的特征值，x1，x2是分别属于λ1和λ2的特征向量，求证：x1+x2不是A的特征向量．正确答案：解：反证法：假设x1+x2是A的特征向量，则存在数λ，使得A(x1+x2)=λ(x1+x2)，则(λ-λ1)x1+(λ-λ2)x2=0，因为λ1≠λ2，所以x1，x2线性无关，则解得λ1=λ2．与已知矛盾，故x1+x2不是A的特征向量．[考点]方阵的特征值与特征向量

已知函数f(x)=(3x-x2)ex+mx．10.

若m=2，求曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程．正确答案：解：当m=2时，函数为f(x)=(3x-x2)ex+2x，则f(0)=0，对其求导后得f'(x)=(3x-x2)ex+(3-2x)ex+2=(3+x-x2)ex+2，则f'(0)=5，即切线的斜率为5，故点(0，f(0))处的切线方程为y=5x．[考点]导数与微分

11.

设函数，x∈(0，+∞)，若函数f(x)有两个极值点，试比较函数g(x)的极大值与的大小关系，并说明理由．正确答案：解：∵f(x)=(3x-x2)·ex+mx=-x2ex+3xex+mx，∴令g'(x)=0，即-ex(x2-3x+3)=m，令t(x)=-ex(x2-3x+3)，则t'(x)=-ex(x2-x)=-x(x-1)ex，∴t(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，∴t(x)的最大值为t(1)=-e，t(0)=-3．∵g'(x)=0在(0，+∞)有两根x1，x2，且0＜x1＜x2，∴-3＜m＜-e，令t(x0)=-3，x0＞0，则0＜x1＜x2＜x0，∴g'(x)＞0时，x1＜x＜x2，即g(x)在(x1，x2)内单调递增；g'(x)＜0时，0＜x＜x1或x2＜x＜0，即g(x)在(0，x1)，(x2，x0)内单调递减，极大值为∵g'(x)=0，∴m=-ex2(x2-3x2+3)，代入可得令h(x)=(2-x)ex，h'(x)=(1-x)ex，当x＞1时，h'(x)＜0，∴h(x)在区间(1，+∞)单调递减，∴h(x)min＞h(x0)，当∴g(x)的极大值大于．[考点]导数与微分

12.

求抛物线y2=2px及其在点处的法线所围成的图形的面积．正确答案：解：利用隐函数求导方法，抛物线方程y2=2px两端分别求导，得2yy'=2p，即得，故法线斜率为k=-1，从而得到法线方程为，由图可得所求面积为

[考点]积分

13.

求曲线x=t，y=t2，z=t3在点(1，1，1)处的切线与法平面方程．正确答案：解：x'=1，y'=2t，z'=3t2，点(1，1，1)对应于t0=1，故点M处的切向量为m=(1，2，3)，因此所求切线方程为，法平面方程为(x-1)+2(y-1)+3(z-1)=0，即x+2y+3z-6=0．[考点]空间线面及其方程

14.

设空间曲面∑由双参数方程，λ，μ∈(-∞，+∞)，a，b＞0给出，试求曲面∑的一般方程．正确答案：解：由参数方程可得：所以∑的一般方程为，这是双曲抛物面．[考点]空间线面及其方程

15.

一动点M到平面x-1=0的距离等于它与x轴距离的两倍，且点M到A(0，-1，2)的距离为1，求动点M的轨迹方程．正确答案：解：设点M(x，y，z)，则M到平面x-1=0的距离为|x-1|，到x轴的距离为，由已知条件有，即(x-1)2=4(y2+z2)，又M到A(0，-1，2)的距离为1，即x2+(y+1)2+(z-2)2=12，所以动点M的轨迹方程满足[考点]空间线面及其方程

设有两个非零矩阵A=(a1，a2，…，an)T，B=(b1，b2，…，bn)T．16.

计算ABT与ATB.正确答案：解：

[考点]矩阵

17.

求矩阵ABT的秩．正确答案：解：因为ABT各行(列)是第1行(列)的倍数，又A，B皆为非零矩阵，故r(ABT)=1．

[考点]矩阵

18.

设C=E-ABT，其中E为n阶单位阵，证明：CTC=E-BAT-ABT+BBT的充要条件是ATA=1．正确答案：解：由于CTC=(E-ABT)T(E-ABT)=(E-BAT)(B-ABT)=E-BAT-ABT+BATABT，故若要求CTC=E-BAT-ABT+BBT，则BATABT-BBT=0，B(ATA-1)BT=0，即(ATA-1)BBT=0．因为B≠0，所以BBT≠0，故CTC=E-BAT-ABT+BBT的充要条件ATA=1．

[考点]矩阵

19.

设函数f(u)可微，且，求z=f(4x2-y2)在点(1，2)处的全微分dz|(1，2)．正确答案：解：因为，所以[考点]多元函数微分学及其应用

20.

已知直线L过点M0(-1，0，4)，且与直线垂直，又与平面π：3x-4y+z-10=0平行，求直线L的方程．正确答案：解：直线L1的方向向量，平面π的法向量n=(3，-4，1)，因为直线L的方向向量s既垂直于s1又垂直于n，故可取所以，直线L的方程是[考点]空间线面及其方程

甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分．21.

求随机变量ξ的分布列及其数学期望E(ξ)．正确答案：解：ξ的可能取值为0，1，2，3，

∴ξ的分布列为

[考点]概率论与数理统计

22.

求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．正确答案：解：设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，则[考点]概率论与数理统计

23.

若f(x)在[a，b]上连续，且f(a)＜a，f(b)＞b，证明：在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=ξ．正确答案：解：设F(x)=f(x)-x，显然F(x)在[a，b]上连续，又F(a)=f(a)-a＜0，而F(b)=f(b)-b＞0，根据零点定理，至少存在一个ξ∈(a，b)，使得F(ξ)=0，即f(ξ)=ξ．[考点]极限与连续

24.

λ为何值时，线性方程组无解，有唯一解或有无穷多解，并在有无穷多解时写出方程组的通解．正确答案：解：方程组改写为方程组有唯一解；当λ=1时，方程组有无穷多解，且，c为任意常数；当时，方程组无解．[考点]线性方程组

已知函数f(x)=x-1-alnx(a∈R)．25.

若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为3x-y-3=0，求实数a的值．正确答案：解：∵∴f'(1)=1-a，∴曲线y=f(x)在x=1处的切线方程的斜率为1-a，∵曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为3x-y-3=0，∴1-a=3，解得a=-2．[考点]导数与微分

26.

求证：f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1．正确答案：证明：①充分性：当a=1时，f(x)=x-1-lnx，当x＞1时，f'(x)＞0，∴函数f(x)在(1，+∞)上为增函数；当0＜x＜1时，f'(x)＜0，∴函数f(x)在(0，1)上为减函数，则函数f(x)在x=1处取得最小值0，即f(x)≥0．②必要性：，其中x＞0．当a≤0时，f'(x)＞0恒成立，∴函数f(x)在(0，+∞)上为增函数；而f(1)=0，∴在(0，1)区间内f(x)＜0，与题意相矛盾，∴a≤0不满足题意；当a＞0时，∴当x＞a时，f'(x)＞0，∴函数f(x)在(a，+∞)上为增函数；当0＜x＜a时，f'(x)＜0，∴函数f(x)在(0，a)上为减函数，∴f(x)≥f(a)=a-1-alna，∵f(1)=0，当a≠1时，f(a)＜f(1)=0与题意相矛盾，∴a=1．综上所述，f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1．[考点]导数与微分

27.

若a＜0且对任意x1，x2∈(0，1]，都有，求实数a的取值范围．

正确答案：解：由第二小题可知，当a＜0时，函数f(x)在(0，1]上为增函数．∴可以设0＜x1≤x2≤1，则|f(x1)-f(x2)|=f(x2)-f(x1)，即可以转化成其在(0，1]上为减函数，求导得在(0，1]上恒成立，∴a大于等于函数在(0，1]内的最大值．而函数在(0，1]上为增函数，故其最大值为-3．综上a≥-3，又∵a＜0，∴实数a的取值范围为[-3，0)．[考点]导数与微分

28.

设f(x)是[0，1]上的可导函数，且f'(x)有界，证明：存在M＞0，使得对于任意x1，x2∈[0，1]，有|f(x1)-f(x2)|≤M|x1-x2|．正确答案：证明：根据题意，f(x)在[0，1]上是可导的，所以对任意的x1，x2∈[0，1]，函数f(x)在区间[x1，x2]上也是可导的．根据拉格朗日中值定理有：存在ξ，且x1＜ξ＜x2，使得f(x1)-f(x2)=f'(ξ)(x1-x2)，进一步有|f(x1)-f(x2)|=|f'(ξ)||(x1-x2)|，从而又因为f(x)是有界函数，根据有界函数