2024考二轮数学讲义四 试题模拟 空间几何体含答案

专题四立体几何

第1讲空间几何体

一、单项选择题

1.（2023・唐山模拟）若圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的

比为（）

A.1：1B.1：2C.2：1D.2：3

2.（2023•锦州模拟）已知正方体A8C。-4BCQ1的棱长为4,P,。是棱。。i的两个三等分

点，则三棱锥Q—P8C的体积为（）

,8n32八16c16

A.gB.gC.§D.-

3.（2023・泉州模拟）如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕

圆锥顶点。滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则该圆锥

的表面积为（）

4.（2023•长沙模拟）最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该

书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”“圆罂测

雨”“峻积验雪”和“竹器验雪”.其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收

集用水.已知天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，当盆中积

水深九寸时，平地的降雨量是（）

（注：一尺=10寸，平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积）

A.9寸B.6寸

C.4寸D.3寸

5.（2023•日照模拟）红灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征

美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1,某球形灯笼的轮廓由三部分组成，

上、下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面除去上、下两个相同球冠剩下的部分.如

图2,球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，

若球冠所在球面的半径为R，球冠的高为〃，则球冠的面积5=2兀股.如图1,已知该灯笼的高

为58cm,上、下圆柱的高为5cm,圆柱的底面圆直径为14cm,则围成该灯笼中间球面部

分所需布料的面积为（）

C.2400Kcm2D.2540ncm2

6.（2023・淄博模拟）某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2,高为3的实心圆锥体工件切

割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆

柱体的最大体积是（）

A随B—

c.9D.9

地D囱

J2727

7.（2023・广西联考）已知在一个表面积为24的正方体ABC。一481G。］中，点E在3。上运

动，则当8E+A1E取得最小值时，AE等于（）

AR空「、巧D岖

A.2?D•2jD.4

8.（2023•广州模拟）现有一个轴截面是边长为4的等边三角形的倒置圆锥（顶点在下方，底面

在上方），将半径为坐的小球放入圆锥，使得小球与圆锥的侧面相切，过所有切点所在平面

将圆锥分割成两个部分，则分割得到的圆台的侧面积为（）

277tc337t一45兀c557t

A.~^-B,-g-C.丁D.g

二、多项选择题

9.有一张长和宽分别为8和4的矩形硬纸板，以这张硬纸板为侧面，将它折成正四棱柱，则

此正四棱柱的体对角线的长度为（）

A.26B.2#C.4小D.V66

10.（2023・新高考全国H汜知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径，ZAPB=120°,

布=2,点C在底面圆周上，且二面角P—4C—。为45。，贝1（）

A.该圆锥的体积为兀

B.该圆锥的侧面积为4小兀

C.AC=2巾

D.△%C的面积为小

11.（2023•德州模拟）如图,边长为2的正方形ABCD中，E,F分别是A8,BC的中点,将△4£>£,

△CDF,△BEF分别沿OE,DF,EF折起，使A,B,C重合于点P,则下列结论正确的是（）

A.PDLEF

B.三棱锥P-DEF的外接球的体积为2晒

2

C.点尸到平面。E尸的距离为］

D.二面角P-E/一。的余弦值为:

12.（2023•辽阳统考）若正三棱锥P—ABC的底面边长为3,高为旗,则该正三棱锥的（）

A.体积为邛^

B.表面积为止。

C.外接球的表面积为27兀

D.内切球的表面积为争

三、填空题

13.（2023•郑州模拟）攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角

攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.如故宫中和殿的屋顶为四角攒尖顶，它

的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，设正四棱锥的侧面的等腰三角形的顶角为60°,

则该正四棱锥的侧面积与底面积的比为.

14.（2023・新高考全国I）在正四棱台ABCO-AIBICQI中，AB=2,4助=1,AA尸也，则

该棱台的体积为.

15.（2023・八省八校联考）如图，已知正四面体A8C。的棱长为1,过点8作截面a分别交侧

棱AC,A。于E,F两点，且四面体A8E尸的体积为四面体A3CO体积的/则EF的最小值

为.

A

16.（2023・辽阳模拟）将3个6cmX6cm的正方形都沿其中的一对邻边的中点剪开，每个正方

形均分成两个部分，如图（1）所示，将这6个部分接入一个边长为3&cm的正六边形上，如

图⑵所示.若该平面图沿着正六边形的边折起，围成一个七面体，则该七面体的体积为

________cm3.

图⑴图（2）第2讲空间点、直线、平面之间的位

置关系

一、单项选择题

1.（2023・安阳统考）若a,b,c是空间三条直线,〃〃b，a与c相交，则b与c的位置关系是（）

A.平行B.相交

C.异面D.异面或相交

2.（2023•河南校联考模拟）已知a,£是两个不同的平面，相，〃是两条不同的直线，则下列命

题中正确的是（）

A.若相_La,则

B.若〃7〃雇，n//则a〃4

C.若a_L夕，mUa,夕，则m

D.若〃zJ_a,m//n,n〃B，则

3.（2023・泉州联考）如图，点A,B,C,M,N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图

中，不满足直线MN〃平面A5C的是（）

ABB

4.（2023•长沙模拟）如图，在三棱柱ABC—ABC中,侧棱44_L底面ASG,底面△4囱。

是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（）

A.CG与BiE是异面直线

B.AC_L平面ABBA

C.AE与BCi为异面垂直

D.AiG〃平面ABiE

5.如图，在长方体A8CO-4BIGZ)I中，AA.=AB=4,BC=2,M,N分别为棱C\D\,CC,

A.A,M,N,8四点共面

B.平面AQM_L平面CCACi

C.直线BN与81M所成的角为30。

D.8N〃平面AOM

6.（2023•长春吉大附中模拟）如图，在矩形AEFC中，AE=2,EF=2巾,8为EF的中点，

现分别沿AB,8c将△ABE,△BC尸翻折，使点E,F重合,记为点尸，翻折后得到三棱锥P

-ABC,则下列结论不正确的是（）

A.AC1.BP

B.三棱锥P—ABC的体积为华

C.直线以与平面ABC所成角的大小为专

D.三棱锥P-ABC外接球的半径为手

二、多项选择题

7.（2023•深圳模拟）如图，已知正方体点P在直线AU上，Q为线段BO

的中点，则下列命题中的真命题有（）

A.存在点P,使得P。，4G

B.存在点P,使得PQ〃A|8

C.直线产。始终与直线CG异面

D.直线PQ始终与直线BG异面

8.（2023•安庆模拟）如图，已知四边形A3C£>,Z\8CD是以8。为斜边的等腰直角三角形,△A8O

为等边三角形，BD=2,将△ABO沿对角线8。翻折到△PB。，在翻折的过程中，下列结论

中正确的是（）

A.BD1PC

B.力P与BC可能垂直

C.四面体P8CD体积的最大值是当

D.直线。P与平面BCD所成角的最大值是々

三、填空题

9.平面a内两条相交直线/,"都不在平面夕内.

命题甲：/和根中至少有一条与平面夕相交；

命题乙：a与6相交.

则甲是乙的条件.

10.如图，P为。ABC。所在平面外一点，E为4）的中点，尸为PC上一点，当必〃平面EBF

时，FC-

il.如图，在正四棱锥P-ABC。中，物=争8,M是BC的中点，G是△胆。的重心，则在

平面PAD内经过G点且与直线PM垂直的直线有条.

12.(2023•北京模拟)如图,在正方体4BCD-A1B1CQ1中,E是的中点,平面ACE将正

方体分成体积分别为％，匕(ViW%)的两部分，则卷=.

四、解答题

13.(2023・西安联考)如图，在直四棱柱ABC£>-48CQi中，44尸2,底面4BCD是直角梯形,

AB1AD,AB//CD,AB=4,AD=小,Z)C=1,点M为AB上一点，且AM=1.

(1)证明：平面MCC」平面OCGA；

⑵若点N是BiG上一点，且MN〃平面ACGAi，求四面体MNBBi的体积.

14.(2023・成都模拟)如图1,E,F,G分别是边长为4的正方形的三边AB,CD,AD的中点,

先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折

起，连接AB,CG就得到了一个空间五面体，如图2.

⑴若O是四边形E8CF对角线的交点，求证：AO〃平面GCF；

(2)若/4项?=留，求三棱锥A-8EF的体积.

第1讲空间几何体

1.A2.B3.A4.D5.C6.A

7.A［作出图形，如图所示.

依题意6AB2=24,故AB=2,

将平面48。翻折至与平面88。共面,

易得/1。丝

故当AiELBQ时，BE+4E有最小值，此时萼过点E作平面ABC。的垂线，垂足为

F,

则8斤=38£）=斗^,E尸由余弦定理得

AF2=AB2+BF2-2ABBFCOS45°

=4+>2X2X平义萍竿,

8.D［作轴截面图如图所示，AABC为圆锥的轴截面，点。为与侧面相切球的球心，点E,

F为切点、,

由已知，可得AB=BC=AC=4,OE=OF=g,

ZACB=6Q°,OE1AC,

在△OEC中，OE=,,

ZOEC=90°,ZOCE=30°,

3

所以OC=小，CE=y又4c=4,

所以AE=5,所以圆台的母线长为I，

因为CE=CF,NEC尸=60°,

3

-所以圆台的侧面积5=兀*0+2）义?=争.|

所以△后（:/为等边三角形,2

9.BD［分两种情况求解:

①若正四棱柱的高为8,则底面边长为1,此时体对角线的长度为＞82+1+1=4*;

②若正四棱柱的高为4,则底面边长为2,此时体对角线的长度为尸百百=2#.］

10.AC［依题意，ZAPB=\20°,PA=2,

所以OP=1,OA=OB=5.

A项，圆锥的体积为寺义兀*（小）2*1=兀，故A正确；

B项，圆锥的侧面积为兀X小义2=2小兀，故B错误;

C项，取AC的中点D,连接OO,PD,如图所示，

p

则AC_LO£»,AC1PD,所以NPOO是二面角「一AC-。的平面角，

则NPQO=45。，所以。尸=。。=1,

故AD=CD=q3-l=®

则AC=2啦，故C正确；

D项，PD=\12+I2=巾,所以SA从c=^X2吸义正=2,故D错误.]

11.AC[如图1,取所的中点H,连接DH,易知和△£)£尸均为等腰三角形，

故PH,EF,DH1EF,又因为PHCDH=H,所以EFJ_平面PC”，又PQU平面P£)H,所

以PDLEF,A正确；

由PE,PF,尸。三线两两互相垂直，可构造如图2所示的长方体，长方体的外接球就是三棱

锥P-OE尸的外接球，长方体的体对角线就是外接球的直径，设为2凡则(2^)2=12+12+22

=6,则R=坐,所以所求外接球的体积为$/?3=加小B错误；

图2

设点P到平面OEF的距离为〃，

、历

如图1,在△EHD中,EH=PH=^,

3^2

DE=邓,DH^DE2-EH2=

2，

由等体积法可得V三棱椎D-PEF=V三棱能P-OEF，即gx；X1X1X2=；X也X^^X/?,解得力

2

=],C正确;

如图1,因为PHLEF,DHLEF,

所以即为二面角P-EF-D的平面角，

因为PO_LPF,PDA,PE,且PFCPE=P,PE,PFU平面PER

所以PC_L平面尸EF,又P/7U平面PEF,则尸。_LP”，即/QPH=90。,

PHi

在Rt^P”。中，cos/P，O=E^=g,D错误.]

12.ABD[如图，三棱锥P—A8C的体积乎X,=乎，故A正确;

取A8的中点。，连接CD,PD,

则在正三棱锥P-ABC中，AB±CD,ABLPD.

作PH_L平面ABC,垂足为H,则PH=*.

由正三棱锥的性质可知”在CD上，且C，=2OH.因为AB=3,所以。。=平，则CH=4i

因为PH=4%,所以PC=/7=3,

则三棱锥尸一ABC的表面积为乎X4=%/5,故B正确；

设三棱锥尸一A8C的外接球的球心为0,半径为R,则。在P”上，

连接0C,则R2=CH2+OH2=(PH-0H)2,

即7?2=3+。42=(加—。")2,解得。〃=杀所以R2=3+/=第，

277r

则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为4兀改=等，故C错误；

设三棱锥尸一ABC的内切球的半径为r,则9外由=苧，解得『坐

从而三棱锥P—A8C的内切球的表面积为4兀产=3号7r，故D正确.]

13.小14

15坐

解析由题知

所以S^EF=15A^CD=|X|X1X1x2

记EF=a,AE=b,AF=c,

贝|成〃*由60°=*,即％=/

贝ija1=b2+c1—2/?ccos60°22bc—bc=bc=1,

当且仅当6=c=乎时等号成立，

所以EF的最小值为竽.

16.108

解析将平面图形折叠并补形得到如图所示的正方体,

该七面体为正方体沿着图中的六边形截面截去一部分后剩下的另一部分，由对称性知其体积

为正方体体积的一半，即^X63=108(cm3).

第2讲空间点、直线、平面之间的位置关系

1.D2.D3.D4.C5.B

6.B［由题意可知由8PJ_AP,BP工CP,

又"CCP=P,AP,CPU平面%C,

所以BP_L平面以C,因为ACU平面物C,所以AC_LBP,故A正确;

在△B4C中，F4=PC=2,AC=2巾,所以△B4C为直角三角形，

所以yp-ABC=2X2X2X^2=—,故B错误；

设点P到平面A2C的距离为h,

贝VP-ABC=蜉=LBCE=^~,

3'"ABC

由于SAXBC=22^\/2X2=2^2,

所以〃=1,又抬=2,

设直线PA与平面A8C所成的角为0,

则sin®=^=；,。6(0,B,

所以故C正确;

由B选项知，△B4C为直角三角形,

所以△PAC外接圆的半径r=%C=巾,

设三棱锥P-ABC外接球的半径为R,

又因为平面PAC,则尺2=,2+（夕＞8

所以R=手，即三棱锥尸一ABC外接球的半径为手，故D正确.]

7.ABD[在正方体ABC。-481GA中，易得4cl_L平面BDDiBi,

因为点尸在直线Ad上，Q为线段8。的中点，

当点P和点功重合时，PQU平面BDDiBi,

所以PQLAiG,故A正确；

连接4D,A山，当点P为线段4。的中点时，PQ为△48。的中位线，即PQ〃4B,故B

正确；

CQU平面A4CC,当点P和点A重合时，PQU平面A4CC,所以直线P。和CG在同一

平面内，故C错误；

BCC平面4BG。，尸。0平面A8GG=P,PiBC\,所以直线尸。始终与直线8cl不相交，

且不平行，所以直线PQ与直线8C是异面直线，故D正确.]

8.ABC[对于A,如图所示，取的中点M,连接PM,CM,：△BCD是以8。为斜边

的等腰直角三角形，

C.BDVCM,

•/△AB。为等边三角形，

C.BDVPM,又PM,CMU平面PMC,

.•.8。，平面PMC,

又PCU平面PMC,

：.BD±PC,故A正确；

对于B,假设。尸，BC,

又8C_LC£>,CDQDP=D,CD,OPU平面PC。,

，BC_L平面PCD,

又尸CU平面PC。，：.BC±PC,

又PB=2,BC=y[2,

易知PCCR俗一1,V3+1],

当PC=啦时，BC2+PC2=PB2,

故QP与BC可能垂直，故B正确；

对于D,当平面尸8。_1_平面8C£＞时，

平面PBOC1平面BC£)=8。，BDLPM,PMU平面PBD,

此时PMJ_平面BCD,NPDB即为直线0P与平面BCD所成的角，

JT

此时故D错误；

对于C,易知当平面PB£)_L平面BCD时，此时四面体户28的体积最大,

此时的体积啦X小)X，§=乎，故C正确.]

9.充要10.111.无数

解析如图所示，取8JG的中点，，连接EH,CH,4G,因为AC〃平面4BCQi,故AC

平行于平面ACE与平面AiBiCiDi的交线，又E,H分别为A|Bi,8G的中点，易知

EH//A\C\//AC,即平面ACEC平面A\B\C\D{=EH,故平面ACE将正方体分为如图所示的

两部分，

设正方体的棱长为2,则正方体的体积为8,

%—咚棱台用〃-A8C_](SAEB、HEB]H

13.(1)证明因为AM=1,

所以AM=CZ),AM//CD,

又