浙教版初中数学八年级上册直角三角形与直角三角形全等的判定专项考点训练

直角三角形与直角三角形全等的判定专项考点训练班级：姓名：考点一：直角三角形两个锐角互余例1．如图，AB∥CD，AC⊥BC于点C，∠2=25°，则∠1的度数为（A．60° B．65° C．55° D．45°变式1-1．如图，Rt△ABC的直角顶点A在直线a上，斜边BC在直线b上，若a∥b，∠1=55°，则∠2A．35° B．45° C．55° D．65°变式1-2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE⊥AC，∠BAC=50°，∠EBC=20°，则∠ADC的度数为（

）A．95° B．85° C．75° D．60°考点二：含30°角的直角三角形例2．如图是某公园一段索道的示意图，已知A、B分别为索道的起点和终点，且A、B两点间的距离AB为40米，∠BAC=30°，则缆车从A点到B点的过程（BC的长）为（

）A．20米 B．17.5米 C．15米 D．12.5米变式2-1．如图，在△ABC中，∠BAC=50°,∠ACB=70°,AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于点E，交AD于点F，则∠BFD的度数是（

）A．30° B．50° C．60° D．70°变式2-2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在BC的延长线上，过点E作EF⊥AD于点F．若∠B=46°,∠E=30°，则∠ACE的度数为（

）A．88° B．80° C．74° D．60°考点三：斜边的中线等于斜边的一半例3．如图，一根长5米的梯子AB斜靠在与地面OC垂直的墙上，点P为AB的中点，当梯子的一端A沿墙面AO向下移动，另一端B沿OC向右移动时，OP的长（

）A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．不变 D．先增大，后减小变式3-1．如图，在△ABC中，∠BAC=90°,D是边BC的中点，若AC=6,BC=10，则AD的长是（

）A．4 B．5 C．6 D．8变式3-2．如图，在Rt△ABC中，CE是斜边AB上的中线，CD⊥AB于点D，若∠A=22.5°，则∠DCE的度数为（

A．30° B．55° C．50° D．45°考点四：用HL判定直角三角形全等例4．如图，已知AB⊥AC，CD⊥AC，若用“HL”判定Rt△ABC和Rt△CDA全等，则需要添加的条件是（

A．∠B=∠D B．∠ACB=∠CAD C．AB=CD D．AD=CB变式4-1．如图，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，BE=DF，要根据“HL”证明Rt△ABE≌A．∠A=∠C B．AB=CD C．∠B=∠D D．AE=CF变式4-2．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP的度数为（

）

A．40° B．50° C．55° D．60°考点五：直角三角形全等综合题例5．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点E在BC边上，点F在(1)求证:BE=BF;(2)若∠CAE=25°，求∠ACF变式5-1．已知：如图，在△ABC中，点A在边BC的垂直平分线上，直线l经过点A，BD、CE分别垂直于直线l，垂足分别为点D、E，且BD=AE．(1)求证：△ABD≌(2)取边BC的中点F，连接EF，求证：EF平分∠DEC．

参考答案考点一：直角三角形两个锐角互余例1．如图，AB∥CD，AC⊥BC于点C，∠2=25°，则∠1的度数为（A．60° B．65° C．55° D．45°【答案】B【详解】解：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠2=25°，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴∠1=90°−∠ABC=90°−25°=65°，∴∠1的度数为65°．故选：B．变式1-1．如图，Rt△ABC的直角顶点A在直线a上，斜边BC在直线b上，若a∥b，∠1=55°，则∠2A．35° B．45° C．55° D．65°【答案】A【详解】解：∵a∥b，∴∠ABC=∠1=55°，∵∠BAC=90°，∴∠2=90°−∠ABC=90°−55°=35°，故选：A．变式1-2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE⊥AC，∠BAC=50°，∠EBC=20°，则∠ADC的度数为（

）A．95° B．85° C．75° D．60°【答案】B【详解】解：∵AD平分∠BAC，BE⊥AC，∠BAC=50°，∴∠BAD=1∴∠ABE=40°，∵∠EBC=20°，∴∠ADC=∠ABD+∠BAD=∠ABE+∠EBC+∠BAD=40°+20°+25°=85°．故选：B．考点二：含30°角的直角三角形例2．如图是某公园一段索道的示意图，已知A、B分别为索道的起点和终点，且A、B两点间的距离AB为40米，∠BAC=30°，则缆车从A点到B点的过程（BC的长）为（

）A．20米 B．17.5米 C．15米 D．12.5米【答案】A【详解】解：∵BC⊥AC，∴∠ACB=90°，∵AB=40米，∠BAC=30°，∴BC=1故选：A．变式2-1．如图，在△ABC中，∠BAC=50°,∠ACB=70°,AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于点E，交AD于点F，则∠BFD的度数是（

）A．30° B．50° C．60° D．70°【答案】C【详解】解：在△ABC中，∠BAC=50°,∠ACB=70°，∴∠ABC=180°−∠BAC+∠ACB∵BE平分∠ABC，，∴∠CBE=1∵AD⊥BC，∴△BDF为直角三角形，∴∠BFD=90°−∠CBE=60°．故选：C．变式2-2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在BC的延长线上，过点E作EF⊥AD于点F．若∠B=46°,∠E=30°，则∠ACE的度数为（

）A．88° B．80° C．74° D．60°【答案】C【详解】解：∵EF⊥AD，∴∠EFD=90°，∵∠E=30°，∴∠ADC=90°−∠E=90°−30°=60°，∵∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠BAD=∠ADC−∠B=60°−46°=14°∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAD=28°，∴∠ACE=∠B+∠BAC=46°+28°=74°故选：C考点三：斜边的中线等于斜边的一半例3．如图，一根长5米的梯子AB斜靠在与地面OC垂直的墙上，点P为AB的中点，当梯子的一端A沿墙面AO向下移动，另一端B沿OC向右移动时，OP的长（

）A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．不变 D．先增大，后减小【答案】C【详解】解：∵AO⊥BO，点P是AB的中点，∴∠AOB=90°，OP是斜边AB的中线，∴OP=1∴在滑动的过程中OP的长度不变．故选C．变式3-1．如图，在△ABC中，∠BAC=90°,D是边BC的中点，若AC=6,BC=10，则AD的长是（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】B【详解】解：∵∠BAC=90°,D是边BC的中点，BC=10，∴AD=1故选：B．变式3-2．如图，在Rt△ABC中，CE是斜边AB上的中线，CD⊥AB于点D，若∠A=22.5°，则∠DCE的度数为（

A．30° B．55° C．50° D．45°【答案】D【详解】解：∵在Rt△ABC中，CE是斜边AB上的中线，∠A=22.5°，∴CE=AE=1∴∠ACE=∠A=22.5°，∴∠CED=∠A+∠ACE=45°，∵CD⊥AB，∴∠DCE=90°−∠CED=90°−45°=45°．故选：D．考点四：用HL判定直角三角形全等例4．如图，已知AB⊥AC，CD⊥AC，若用“HL”判定Rt△ABC和Rt△CDA全等，则需要添加的条件是（

A．∠B=∠D B．∠ACB=∠CAD C．AB=CD D．AD=CB【答案】D【详解】解：∵AB⊥AC，CD⊥AC，∴∠BAC=∠DCA=90°，在Rt△ABC和Rt△CDA中，AC=CAAD=CB∴Rt△ABC≌Rt△CDAHL故选：D．变式4-1．如图，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，BE=DF，要根据“HL”证明Rt△ABE≌A．∠A=∠C B．AB=CD C．∠B=∠D D．AE=CF【答案】B【详解】解：在Rt△ABE和Rt△CDF中，BE=DFAB=CD∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL)，故选：B．变式4-2．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP的度数为（

）

A．40° B．50° C．55° D．60°【答案】B【详解】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，

设∠PCD=x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，∴PF=PM，∵∠BPC=40°，∴∠ABP=∠PBC=∠PCD−∠BPC=(x−40)°，∴∠BAC=∠ACD−∠ABC=2x°−(x°−40°)−(x°−40°)=80°，∴∠CAF=100°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，PA=PAPM=PF∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP=∠CAP=50°．故选B．考点五：直角三角形全等综合题例5．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点E在BC边上，点F在(1)求证:BE=BF;(2)若∠CAE=25°，求∠ACF【详解】（1）证明：∵∠ABC=90°，∴∠CBF=90°，在Rt△ABE和Rt△CBF中，AE=CFAB=CB∴Rt△ABE≌Rt△CBFHL∴BE=BF；（2）解：∵∠ABC=90°，AB=CB，∴∠ACB=∠CAB=1∵∠CAE=25°，∴∠BAE=∠BAC−∠CAE=20°，∵Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF=∠BAE=20°，∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=65°.变式5-1．已知：如图，在△ABC中，点A在边BC的垂直平分线上，直线l经过点A，BD、CE分别垂直于直线l，垂足分别为点D、E，且BD=AE．(1)求证：△ABD≌(2)取边BC的中点F，连接EF，求证：EF平分∠DEC．【详解】（1）∵CE⊥l，BD⊥l，∴∠AEC=∠CED=∠ADB=90°，△AEC与△BDA为直角三角形，∵点A在边BC垂直平分线上，∴AC=BA，在Rt△ACE也Rt△BAD中，AE=BDAC=BA∴Rt△ACE≌Rt△BAD(HL)，即△ABD≌△CAE；（2）设l交BC于点Q，连接AF，过F作FM⊥CE于M，作FN⊥AD于N，∴∠CMF=