鲁京津琼专用2025版高考数学大一轮复习第十二章概率随机变量及其分布高考专题突破六高考中的概率与统计问题教案含解析

PAGEPAGE1高考专题突破六高考中的概率与统计问题题型一离散型随机变量的均值与方差例1某品牌汽车4S店，对最近100位采纳分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示．已知分9期付款的频率为0.2.4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为1.5万元；分12期或15期付款，其利润为2万元．用η表示经销一辆汽车的利润.付款方式分3期分6期分9期分12期分15期频数4020a10b(1)求上表中的a，b值；(2)若以频率作为概率，求事务A“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采纳分9期付款”的概率P(A)；(3)求η的分布列及均值E(η)．解(1)由eq\f(a,100)＝0.2，得a＝20.又40＋20＋a＋10＋b＝100，所以b＝10.(2)记分期付款的期数为ξ，ξ的可能取值是3,6,9,12,15.依题意，得P(ξ＝3)＝eq\f(40,100)＝0.4，P(ξ＝6)＝eq\f(20,100)＝0.2，P(ξ＝9)＝0.2，P(ξ＝12)＝eq\f(10,100)＝0.1，P(ξ＝15)＝eq\f(10,100)＝0.1.则“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位分9期付款”的概率为P(A)＝0.83＋Ceq\o\al(1,3)×0.2×(1－0.2)2＝0.896.(3)由题意，可知ξ只能取3,6,9,12,15.而ξ＝3时，η＝1；ξ＝6时，η＝1.5；ξ＝9时，η＝1.5；ξ＝12时，η＝2；ξ＝15时，η＝2.所以η的可能取值为1,1.5,2，且P(η＝1)＝P(ξ＝3)＝0.4，P(η＝1.5)＝P(ξ＝6)＋P(ξ＝9)＝0.4，P(η＝2)＝P(ξ＝12)＋P(ξ＝15)＝0.1＋0.1＝0.2.故η的分布列为η11.52P0.40.40.2所以η的均值E(η)＝1×0.4＋1.5×0.4＋2×0.2＝1.4.思维升华离散型随机变量的均值和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先推断随机变量的分布是特别类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特别类型；二是定性，对于特别类型的均值和方差可以干脆代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，留意离散型随机变量的取值与概率的对应．跟踪训练1某项大型赛事，须要从高校选拔青年志愿者，某高校生实践中心主动参与，从8名学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参与志愿者服务活动．若所选3名学生中的女生人数为X，求X的分布列及均值．解因为8名学生会干部中有5名男生，3名女生，所以X的分布列听从参数N＝8，M＝3，n＝3的超几何分布．X的全部可能取值为0,1,2,3，其中P(X＝i)＝eq\f(C\o\al(i,3)C\o\al(3－i,5),C\o\al(3,8))(i＝0，1,2,3)，则P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,3)C\o\al(3,5),C\o\al(3,8))＝eq\f(5,28)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,5),C\o\al(3,8))＝eq\f(15,28)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,5),C\o\al(3,8))＝eq\f(15,56)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3)C\o\al(0,5),C\o\al(3,8))＝eq\f(1,56).所以X的分布列为X0123Peq\f(5,28)eq\f(15,28)eq\f(15,56)eq\f(1,56)所以X的均值为E(X)＝0×eq\f(5,28)＋1×eq\f(15,28)＋2×eq\f(15,56)＋3×eq\f(1,56)＝eq\f(63,56)＝eq\f(9,8).题型二概率与统计的综合应用例2(2024·全国Ⅰ)某公司安排购买2台机器，该种机器运用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器运用期间，假如备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年运用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)解(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2，0.4,0.2,0.2，X的可能取值为16,17,18,19,20,21,22，从而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04；所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．当n＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4040(元)．当n＝20时，E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4080(元)．可知当n＝19时所需费用的期望值小于n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.思维升华概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．它与其他学问融合、渗透，情境新奇，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．跟踪训练2经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获得利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．依据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)(1)将T表示为X的函数；(2)依据直方图估计利润T不少于57000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T的均值．解(1)当X∈[100,130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39000.当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65000.所以T＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(800X－39000，100≤X<130，,65000，130≤X≤150.))(2)由(1)知利润T不少于57000元当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T的分布列为T45000530006100065000P0.10.20.30.4所以E(T)＝45000×0.1＋53000×0.2＋61000×0.3＋65000×0.4＝59400.题型三概率与统计案例的综合应用例3高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大独创”，彰显出中国式创新每周移动支付次数1次2次3次4次5次6次及以上总计男1087321545女546463055总计1512137845100(1)把每周运用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活跃用户”，能否在犯错误概率不超过0.005的前提下，认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关？(2)把每周运用移动支付6次及6次以上的用户称为“移动支付达人”，视频率为概率，在我市全部“移动支付达人”中，随机抽取4名用户．①求抽取的4名用户中，既有男“移动支付达人”又有女“移动支付达人”的概率；②为了激励男性用户运用移动支付，对抽出的男“移动支付达人”每人嘉奖300元，记嘉奖总金额为X，求X的分布列及均值．附公式及表如下：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解(1)由表格数据可得2×2列联表如下：非移动支付活跃用户移动支付活跃用户总计男252045女154055总计4060100将列联表中的数据代入公式计算，得K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(100×25×40－15×202,40×60×55×45)＝eq\f(2450,297)≈8.249>7.879.所以在犯错误概率不超过0.005的前提下，能认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关．(2)视频率为概率，在我市“移动支付达人”中，随机抽取1名用户，该用户为男“移动支付达人”的概率为eq\f(1,3)，女“移动支付达人”的概率为eq\f(2,3).①抽取的4名用户中，既有男“移动支付达人”，又有女“移动支付达人”的概率为P＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))4－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))4＝eq\f(64,81).②记抽出的男“移动支付达人”人数为Y，则X＝300Y.由题意得Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,3)))，P(Y＝0)＝Ceq\o\al(0,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))4＝eq\f(16,81)；P(Y＝1)＝Ceq\o\al(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(32,81)；P(Y＝2)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(24,81)＝eq\f(8,27)；P(Y＝3)＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))1＝eq\f(8,81)；P(Y＝4)＝Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))0＝eq\f(1,81).所以Y的分布列为Y01234Peq\f(16,81)eq\f(32,81)eq\f(8,27)eq\f(8,81)eq\f(1,81)所以X的分布列为X03006009001200Peq\f(16,81)eq\f(32,81)eq\f(8,27)eq\f(8,81)eq\f(1,81)由E(Y)＝4×eq\f(1,3)＝eq\f(4,3)，得X的均值E(X)＝300E(Y)＝400.思维升华概率与统计案例的综合应用常涉及相互独立事务同时发生的概率、频率分布直方图的识别与应用、数字特征、独立性检验等基础学问，考查学生的阅读理解实力、数据处理实力、运算求解实力及应用意识．跟踪训练3电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视状况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是依据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．(1)依据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料是否可以认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷总计男女1055总计(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采纳随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列、均值E(X)和方差D(X)．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).P(K2≥k0)0.100.050.01k02.7063.8416.635解(1)由所给的频率分布直方图知，“体育迷”人数为100×(10×0.020＋10×0.005)＝25，“非体育迷”人数为75，从而2×2列联表如下：非体育迷体育迷总计男301545女451055总计7525100将2×2列联表的数据代入公式计算，得k＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(100×30×10－45×152,45×55×75×25)＝eq\f(100,33)≈3.030.因为2.706<3.030<3.841，所以有90%的把握认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图知，抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为eq\f(1,4).由题意，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,4)))，从而X的分布列为X0123Peq\f(27,64)eq\f(27,64)eq\f(9,64)eq\f(1,64)E(X)＝np＝3×eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，D(X)＝np(1－p)＝3×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)＝eq\f(9,16).1．在Rt△ABC中，∠A＝30°，过直角顶点C作射线CM交线段AB于点M，则AM>AC的概率为________．答案eq\f(1,6)解析设事务D为“作射线CM，使AM>AC”．在AB上取点C′使AC′＝AC，因为△ACC′是等腰三角形，所以∠ACC′＝eq\f(180°－30°,2)＝75°，事务D发生的区域μD＝90°－75°＝15°，构成事务总的区域μΩ＝90°，所以P(D)＝eq\f(μD,μΩ)＝eq\f(15°,90°)＝eq\f(1,6).2．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为______．答案eq\f(3,5)解析取2个点的全部状况为Ceq\o\al(2,5)＝10(种)，全部距离不小于正方形边长的状况有6种，概率为eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).3．为了增加消防平安意识，某中学对全体学生做了一次消防学问讲座，从男生中随机抽取50人，从女生中随机抽取70人参与消防学问测试，统计数据得到如下列联表：优秀非优秀总计男生153550女生304070总计4575120(1)试推断能否有90%的把握认为消防学问的测试成果优秀与否与性别有关？(2)为了宣扬消防学问，从该校测试成果获得优秀的同学中采纳分层抽样的方法，随机选出6人组成宣扬小组．现从这6人中随机抽取2人到校外宣扬，求到校外宣扬的同学中男生人数X的分布列和均值．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).P(K2≥k0)0.250.150.100.050.0250.010k01.3232.0722.7063.8415.0246.635解(1)因为k＝eq\f(120×15×40－35×302,50×70×45×75)≈2.057，且2.057<2.706.所以没有90%的把握认为测试成果优秀与否与性别有关．(2)用分层抽样的方法抽取时抽取比例是eq\f(6,45)＝eq\f(2,15)，则抽取女生30×eq\f(2,15)＝4(人)，抽取男生15×eq\f(2,15)＝2(人)．由题意，得X可能的取值为0,1,2.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,2),C\o\al(2,6))＝eq\f(8,15)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,6))＝eq\f(1,15).故X的分布列为X012Peq\f(2,5)eq\f(8,15)eq\f(1,15)X的均值E(X)＝0×eq\f(2,5)＋1×eq\f(8,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(2,3).4．某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视状况，抽查东、西部各5个城市，得到观看该节目的人数的统计数据(单位：千人)，并画出如下茎叶图，其中一个数字被污损．(1)求东部各城市观看该节目的观众的平均人数超过西部各城市观看该节目的观众的平均人数的概率；(2)该节目的播出极大地激发了观众对成语学问学习积累的热忱，现从观看节目的观众中随机统计了4位观众学习成语学问的周均时间(单位：小时)与年龄(单位：岁)，并绘制了如下比照表：年龄x20304050周均学习成语学问时间y2.5344.5依据表中数据，试求线性回来方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，并预料年龄为55岁的观众周均学习成语学问的时间．参考公式：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).解(1)设被污损的数字为a，则a有10种状况．由88＋89＋90＋91＋92>83＋83＋87＋90＋a＋99，得a<8，∴有8种状况使得东部各城市观看该节目的观众的平均人数超过西部各城市观看该节目的观众的平均人数，所求概率为eq\f(8,10)＝eq\f(4,5).(2)由表中数据，计算得eq\x\to(x)＝35，eq\x\to(y)＝3.5，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))xiyi－4\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－4\x\to(x)2)＝eq\f(525－4×35×3.5,5400－4×352)＝0.07，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝3.5－0.07×35＝1.05.∴eq\o(y,\s\up6(^))＝0.07x＋1.05.当x＝55时，eq\o(y,\s\up6(^))＝4.9.即预料年龄为55岁的观众周均学习成语学问的时间为4.9小时．5．为了评估天气对某市运动会的影响，制定相应预案，该市气象局通过对最近50多年气象数据资料的统计分析，发觉8月份是该市雷电天气高峰期，在31天中平均发生雷电14.57天(如图所示)．假如用频率作为概率的估计值，并假定每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立．(1)求在该市运动会开幕(8月12日)后的前3天竞赛中，恰好有2天发生雷电天气的概率(精确到0.01)；(2)设运动会期间(8月12日至23日，共12天)，发生雷电天气的天数为X，求X的均值和方差(精确到0.01)．解(1)设8月份一天中发生雷电天气的概率为p，由已知，得p＝eq\f(14.57,31)＝0.47.因为每一天发生雷电天气的概率均相等，且相互独立，所以在运动会开幕后的前3天竞赛中，恰好有2天发生雷电天气的概率P＝Ceq\o\al(2,3)×0.472×(1－0.47)＝0.351231≈0.35.(2)由题意，知X～B(12,0.47)．所以X的均值E(X)＝12×0.47＝5.64，X的方差D(X)＝12×0.47×(1－0.47)＝2.9892≈2.99.6．某婴幼儿游泳馆为了吸引顾客，推出实惠活动，即对首次消费的顾客按80元收费，并注册成为会员，对会员消费的不同次数赐予相应的实惠，标准如下：消费次数第1次第2次第3次不少于4次收费比例10.950.900.85该游泳馆从注册的会员中，随机抽取了100位会员统计他们的消费次数，得到数据如下：消费次数1次2次3次不少于4次频数6025105假设每位顾客游泳1次，游泳馆的成本为30元．依据所给数据，回答下列问题：(1)估计该游泳馆1位会员至少消费2次的概率；(2)某会员消费4次，求这4次消费中，游泳馆获得的平均利润；(3)假设每个会员最多消费4次，以事务发生的频率作为相应事务发生的概率，从该游泳馆的会员中随机抽取2位，记游泳馆从这2位会员的消费中获得的平均利润之差的肯定值为X，求X的分布列和均值E(X)．解(1)25＋10＋5＝40，即随机抽取的100位会员中，至少消费2次的会员有40位，所以估计该游泳馆1位会员至少消费2次的概率P＝eq\f(40,100)＝eq\f(2,5).(2)第1次消费时，80－30＝50(元)，所以游泳馆获得