2025届高考数学一轮复习讲义-数列求和

第4讲数列求和

命题点五年考情命题分析预料

用公式法

2024新高考卷IIT18；2024新高考

和分组转

卷IT17；2024新高考卷IT18

化法求和本讲是高考热点，主要考查数列求和，

2024全国卷甲T17；2024新高考卷常用方法有公式法、错位相减法、裂项

用错位相

IT16；2024全国卷乙T19；2024相消法、分组转化法、倒序相加法，在

减法求和

全国卷IT17；2024全国卷IUT17客观题与主观题中都有可能出现，难度

用裂项相中等.预料2025年高考命题稳定，常规

2024新高考卷IT17

消法求和备考的同时也要关注分段数列的形式.

用倒序相

加法求和

数列求和的几种常用方法

1.公式法

(1)干脆利用等差、等比数列的前〃项和公式求和.

(2)①)+22+32+…+〃2="5+1)(2底1〉，②尸十23十33+...十/=2.

62

2.分组转化法

(1)利用分组转化法求和的常见类型

一

求

y1%=4切,，且也｝，｛一为等差或等比数列.分

组

的

肺

求

项

和

2，”为奇数.和

一

+.1”为偶数其中⑵'⑷为等.或等比数列.

(2)思路：将数列转化为若干个可求和的新数列，从而求得原数列的前w项和.如斯=6”

nnnn

+c+-+h,则Za=zb+z以+…+2h.

nnk=lkk=lkk=lk=lk

留意对含有参数的数列求和时要对参数进行探讨.

3.错位相减法

(1)适用的数列类型：血及｝,其中数列｛斯｝是公差为1的等差数列，彷〃｝是公比为q

(qWl)的等比数列.

(2)求解思路：

S”=。仍1+。2岳H-----\'Clnbn①，

qSn=。仍2+a2b3H----Fa“-1b”+anbn+1②，

①一②得(1—q)Sn—aibi+d(岳+岳3-----卜儿)-anbn+\＜进而利用公式法求和.

4.裂项相消法

（1）利用裂项相消法求和的基本步骤

（2）常见数列的裂项方法

数列（〃为正整数）裂项方法

｛——｝“为非零常数）—--=-

n（n+fc）n(n+k)knn~\~k

{1}1—1(1_1)

l4n2-lJ4n2—12v2n—12n+l，

{—---^^==7(n+k—y/n)

Vn+n+k赤+F…

{2"}2n_11

i(2n-l)(2n+1-l)J(2n-l)(2n+1-l)2n-l2n+1—1

5.倒序相加法

已知数列的特征是“与首末两端等距离的两项之和等于同一常数”，可用倒序相加法求和.

解题时先把数列的前〃项和表示出来，再把数列求和的式子倒过来写，然后将两个式子相

加，即可求出该数列的前w项和的2倍，最终求出该数列的前w项和.

1.［教材改编］已知｛斯｝为等差数列，S”为其前"项和，若。1+的+。5=105,。2+。4+。6=

99,则S?o=400.

解析设等差数列｛。“｝的公差为d

.（ci-］H-ctode—105,（"3—105,（cto=35,

由13s得3即43所以4二―2,0=39,所以S20=

ka2+a4+a6=99,I3a4=99,la4=33,

20X39+?。*or*（_2）=400.

2

2.［教材改编］已知以=（-1）"n,则2H---卜d=n.

解析由题意可得，。2〃-1+。2〃=一（2"一1）+2m=1,.•・。1+。2+…+。2〃=（。1+〃2）+

（的+处）H----F（。2〃-1+。2〃）—1+H----\-l-n.

3.已知等差数列的前三项和为2,后三项和为4,且全部项和为64,则该数列有列项.

解析设该等差数列为｛斯｝,由题意可得，。1+〃2+。3=2①，斯+斯―1+。〃-2=4②，①

+②得3（勾+诙）=6,又64=:可得〃=64,所以该数列有64项.

4.［易错题］数列｛斯｝的通项公式为斯=2〃-10,则II+Ia21H--HI〃15I—130.

解析易知｛斯｝为等差数列.设｛斯｝的前〃项和为S〃，当为=2〃-10=0时，〃=5,所以

I41I+I。2I+…+I"15I=—（的+。2+…+。5）+〃6+。7+…+〃15=S15-2s5=130.

研透高考明确方向

命题点1用公式法和分组转化法求和

+1,几为奇数,

例1[2024新高考卷考已知数列｛诙｝满意避=1,斯+1=

an+2,ri为偶数.

(1)记为=。2〃，写出仇，bi，并求数列｛为｝的通项公式;

(2)求｛斯｝的前20项和.

an+1,几为奇数,

解析(1)因为bn=Q2n,且=1,即+1=

an+2,ri为偶数,

所以bi=a2=ai+l=2,

岳=〃4=。3+1=42+2+1=5.

因为bn~Cl2n,所以儿+1=。2〃+2=。2八+1+1=。2〃+1+1=。2〃+2+1=〃2〃+3,

所以为+1一为=。2〃+3—。2〃=3,

所以数列｛4｝是以2为首项，3为公差的等差数列，勿=2+3（〃一1）=3〃一1,〃金N*.

a+1,几为奇数,

(2)n

因为an+\=

an+2,ri为偶数,

所以时，。2左=。2左一1+1=〃24—1+1,即〃2左=。24—1+1①,

。2k+1=。2%+2②,

“2k+2=。2什1+1=。2左+1+1,即42k+2=。2k+1+1③,

所以①+②得〃2左+1=。2左-1+3,即〃2左+1一〃2左-1=3,

所以数列｛斯｝的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列;

②+③得。2左+2=〃2k+3,即a2k+2—a2k=3,

又42=2,所以数列｛斯｝的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列.

所以数列｛〃〃｝的前20项和520=(。1+〃3+〃5+…+〃19)+(。2+。4+。6+…+〃20)=10+

等X3+20+等X3=3。。.

训练1公差为2的等差数列｛诙｝中，见，。2,。4成等比数歹I.

（1）求｛诙｝的通项公式；

an,n<10,

（2）若数列｛a｝满意d=,»求仍"｝的前20项和.

lbn-5'n>10'

解析（1）因为等差数列｛斯｝的公差为2,

所以〃2=。1+2,44=41+6.

因为42,。4成等比数列，

所以（〃1+2）2=0（〃1+6）,解得〃1=2.

所以｛〃〃｝的通项公式为〃〃=2+(〃-1)X2=2n.

a,n<10,

(2)因为[n所以/?16+87H----1~岳0=61+612H-----^65=86+。7H-----H

bn_5,n>10,

"0,

所以｛瓦｝的前20项和：

石0=(8+62H-------Ffe)+(生+67H---------FZ?10)+(Z?ll+bl2H---------FZ?15)+(匕16+87H-------H

。20)

—(仇+历+…+z?5)+3。6+岳+…+加0)

=(〃1+。2+…+〃5)+3(恁+勿+…+。10)

5(。1+。5)卜3X5(。6+。10)

22

5X(2+10)।5X(12+20)

------------十X------------

2J2

=270.

命题点2用错位相减法求和

例2[2024全国卷甲]记S〃为数列｛斯｝的前〃项和，已知〃2=1，2Sn=nan.

(1)求｛斯｝的通项公式；

(2)求数歹U｛曾｝的前几项和

解析(1)当〃=1时，2s1=⑸，即2〃1=。1,所以。1=0.

当时，由2*="为，得2sl-1=(n—1)an-\,

两式相减得2斯=九斯一(〃-1)an-\,

即(〃-1)an-i=(〃-2)an,

故当时，2=口，则.….血=口.匚.….2,

an-1n-2an_1an_2a2n~2n~31

整理得%="一1,因为〃2=1,所以。〃="一1(〃》3).

当〃=1,〃=2时，均满意上式，所以斯=〃一1.

(2)令与=紫=々，则〃="+必+…+4-1+勾=3+|+…+展①,

2"2"22"2n12"

1)+2+…+口+上

2T"22'23'丁2"'2n+1②,

由①一②得/=|+蠢+支+…+看一肃=在才一品

1-黑,即。=2-箸

2

方法技巧

用错位相减法求和的留意事项

(1)在书写qS.时留意“错位对齐”，以便利后续运算.

(2)两式相减时留意最终一项的符号.

(3)留意相减后的和式结构的中间为(n-1)项的和.

训练2:2024全国卷乙]设｛%｝是首项为1的等比数列,数列｛b^满意瓦,=等.已知的,

3a2,9的成等差数列.

(1)求｛%｝和伉｝的通项公式.

(2)记S"和。分别为｛斯｝和他,｝的前几项和.证明：Tn含.

解析(1)设｛斯｝的公比为乡，则斯=/-1.

因为〃1,3〃2,9方成等差数列，所以l+9/=2X3q,解得故斯=」与，bn=j

33”3

(2)由⑴知S"=1堂=|(1—嘉)，

T-----_n_

ln3十32十33十十3r1—1十3n①,

-T=------卜九一1+71

3n3233343n3n+1②,

1_九(L专)

①一②得|/=：+.+孑---+nI(1一a一提,

33343，京3n+11-i3n+1

3

2九+3

整理得7；=-

44x3n

则T„-^=--27l+3i(T)器＜。，故f.

244x3n

命题点3用裂项相消法求和

例3(i)已知％=,1、，求数列UJ的前"项和S".

n(n+2)

1

(2)已知数列｛斯｝的前n项和为S”若a,求证：s„＜|.

n(2n-l)(2n+l)

号不？‘求证：S"G

(3)已知数列｛斯｝的前n项和为S”若an

1

解析(1)易得以=1(=一+)，所以&=;1(1-Z)+(7--)+(IP

n(n+2)n?1+22324

313

H------1-(———^―)+---)(―+—)

n—1n+12n+1n+242n+1n+24

2?l+3

2(71+1)(71+2)

1111

(2)由题意可得,a=------------),

n(2n-l)(2n+l)22n—12n+l

1111

所以&=][(1—1)+(|-|)4-----卜)]=[(1

2n—12n+l22(271+1)

因为所以乱4

11

(3)易知斯=-——<■与＜二),

2n(2n+l)(2n-l)(2n+l)2n—12n+l

当H=1时,-一-1〈一一1；

63

nn

-+z1—1十(+(泞)+..•+

当〃22时,Sn=£--<--(2i-l)(2i+l)62L1)

i=l2i(2i+l)2(2+1)i=2

111

<1.5<|.

(―)]=渭《一表)综上，n

2n—12n+l32(2n+l)

方法技巧

利用裂项相消法求和时，既要留意检验裂项前后是否等价，又要留意求和时正负项消去哪

些项，保留哪些项.

训练3[2024新高考卷I]记S,为数列｛斯｝的前〃项和，已知的=1，｛&｝是公差为;的等差

3

数列.

（1）求｛。"｝的通项公式.

（2）证明：—+—H-----H—<2.

ala2an

解析（1）因为〃1=1,所以包"=1,

①

又｛&｝是公差为；的等差数列，

an3

所以皂=1+.

CLn33

所以Sn=等M

因为当nN2时，a〃=S”—&-1=等。”一等许-1,

所以等许_1=自二斯（"22）,

所以旦=也（〃22）,

an-ln-1

de,^a2KZa3\zxzan-ia3..4..、/n..n+1n（n+l）/

所以—X-X・・・X------X——n=-X-X•••X------X------=------------（〃三2）,

«ia-2an_2an_112n-2n~l2

（7°

所以an=2（〃22）,又。i=l也满意上式,

所以%=n(n£N*).

(2)因为%="1)，所以三=:2(工一白)，

2ann(n+l)nn+l

所以工+2+…+上=2[(1--)+(---)+…+(―——^―)]=2(1——^―)<2.

ara2an223nn+ln+l

命题点4用倒序相加法求和

例4已知函数/(x)