初中一年级下学期数学《最短路径问题》教学课件

最短路径问题历史背景白日登山望烽火黄昏饮马傍交河如图，诗中将军在观望烽火后，从山脚下的军营出发，走到河边饮马后，再到位于小河同侧的营帐宿营，请问怎样走才能使总的路程最短？小河军营营帐ABA.绿色路线B.黄色路线C.灰色路线如图，MN是一条小路，A点的军营和B点的营帐在小路MN的两侧，将军从军营出发，横穿过小路回到营帐，怎么选择路径使得回家的路程最短？探究一两点之间，线段最短MN问题一：如图，诗中将军在观望烽火后，从山脚下的军营出发，走到河边饮马后，再到位于小河同侧的营帐宿营，请问怎样走才能使总的路程最短？MNABA′P∵PA=PA′∴PA+PB=PA′+PB问题转化为：从点A′到点B的最短路径P探究二分析：定点：点A和点B动点：点P动点所在直线：MN问题：AP+BP何时最小军营营帐小河问题转化为：点A′到点B的最短路径问题MNABA′PB′探究二核心：将问题转化为两点之间的路径最短问题方法：利用轴对称的基本性质转移线段应用APClA’C’B如图，等边△ABC的边长为3，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，P为直线BC′上一动点，求AP+CP的最小值.例分析：定点：点C和点A动点：点P动点所在直线：BC′解：∵△ABC为等边三角形且△ABC与△A′BC′关于直线l对称∴BC=BA′，∠ABC=∠A′BC′=60°又∵直线l⊥AB∴∠ABA′=180°∴∠CBC′=180°－∠ABC－∠A′BC′=60°＝∠A′BC′又∵BC=BA′∴点C关于直线BC′的对称点为点A′∵AA′与BC′交点为点B∴当点P与点B重合时AP+CP的值最小

最小值为AA′的长度：3+3=6变式1：将军牵着马从A点到草坪边缘OM上的P点吃草，再到河边ON上的Q点喝水，怎么选择路径使得回到A点的路程最短？MOANPA″QA′PQ问题为：PA+PQ+AQ何时最小∵QA=QA′,PA=PA″∴PA+PQ+AQ=PA″+PQ+QA′问题转化为：点A′到点A″的最短路径问题变式分析：定点：点A动点：点P和点Q动点所在直线：OM和ON应用例如图，在四边形ABCD中，∠C=40°，∠B=∠D=90°，P、Q分别是BC、DC上的动点，当△APQ的周长最小时，求∠PAQ的度数.AQPDCB分析：定点：点A动点：点P和点Q动点所在直线：DC

和BCPQA′A″解：作点A关于DC和BC的对称点A′、A″，

连接A′、A″交DC于点P，交BC于点Q

此时△APQ的周长最短∵∠DAB＋∠C=180°且∠DAB+∠A′+∠A″=180°∴∠A′+∠A″=∠C=40°

∠DAB=180°－∠C=140°又∵对称∴∠A′=∠1，∠A″=∠2∴∠1+∠2=∠A′＋∠A″=40°∴∠PAQ=∠DAB－∠1－∠2=100°12变式2：将军牵着马从A点的军营到草坪边缘ON上的Q点吃草，再到河边OM上的P点喝水，怎么选择路径使得回到B点的营帐路程最短？MOBNPB′QA′A变式分析：定点：点A和点B动点：点P和点Q动点所在直线：OM和ON问题转化为：点A′到点B′的最短路径变式3：将军牵着马从军营A到草坪边缘ON上的Q点吃草，再到河边OM上的P点喝水，怎么选择路径使得总路程最短？MOANPQA′变式QP分析：定点：点A动点：点P和点Q动点所在直线：OM和ON问题为：AQ+PQ何时最小∵QA=QA′∴AQ+PQ=A′Q+PQ问题转化为：点A′到直线OM的最短路径小结1、最短路径问题基本事实依据：①两点之间，线段最短

②垂线段最短

2、解决该类问