新编数字图像处理技术及应用（修订版）课件 第08章 数学形态学在图像处理中的应用

第8章

数学形态学在图像处理中的应用学习目标１．能阐述形态学的概念与方法。２．会用腐蚀、膨胀、开运算、闭运算等处理图像（编程）本章内容8.1.1形态学的由来形态学（英语morphology，德语morphologie

）的范畴来自希腊语morphe，最早由歌德在自己的生物学研究中倡导。目前，在植物学、动物学和语言学中都有该术语。尽管含义不尽相同，但本质上大都探讨内部结构和构成规则等。8.1概述8.1概述8.1.2数学形态学的发展

诞生于1964年的数学形态学（MathematicalMorphology）在图像处理和模式识别领域受到了广泛关注。当时，法国巴黎矿业学院博士生赛拉（J.Serra）和其导师马瑟荣（G.Matheron），在积分几何基础上提出“击中/击不中变换”并第一次引入形态学表达式，进而研制了基于数学形态学的图像处理系统。此后，1968年巴黎矿业学院还创立了枫丹白露数学形态学研究中心。8.1概述

1975年，马瑟荣在RandomSetsandIntegralGeometry一书中论述了随机集、积分几何和拓扑逻辑，提出击中/击不中变换、开闭运算、布尔模型和纹理分析器原型等。自此，数学形态学的图像处理应用得到快速发展，以至于自1990年起国际光学工程学会（InternationalSocietyforOpticalEngineering，SPIE）每年举办一次ImageAlgebraandMorphologicalImageProcessing（数学代数与形态学图像处理）会议，其成就之令人瞩目可见一斑。8.1概述8.1.3数学形态学的基本方法与内容

数学形态学的基本方法是利用一个称为结构元素的“探针”在图像中不断移动，以获得图像的结构特征，该结构元素可携带形态、大小、区域、灰度和色度信息。常用的结构元素有：圆盘形、方形、线形、菱形等。

数学形态学是由一组形态学的代数运算组成的，其基本运算有４种：膨胀（Dilation）、腐蚀（Erosion）、开启（Open）和闭合（Close）。8.1概述

膨胀（Dilation）、腐蚀（Erosion）、开启（Open）和闭合（Close）这４种基本运算在二值图像和灰度图像中的应用各有特点。基于这些基本运算，还可以进一步组合成各种数学形态学算法，用于进行图像中目标形状和结构的分析及处理。如基于击中／击不中变换进行目标识别、图像分割；基于腐蚀和开运算进行骨架抽取及图像压缩编码；基于灰度级形态学进行图像重构；基于形态学滤波器进行颗粒分析等。数学形态学的图像处理一般仅需以下几步：

①提出所要描述的物体的几何结构模式，即提取物体的几何结构特征。

②根据提出的模式选择相应的结构元素，结构元素应该简单而且对该模式具有最强的表现力。

③用选定的结构元素对图像进行形态变换，便可得到与原始图像相比更显著突出的图像。（若赋予相应变量，则可对得到的结构模式进行描述。）

④用经过形态变换的图像提取所需的图像信息。8.1.4数学形态学的图像处理步骤8.1概述需要强调指出的是：在数学形态学的各种运算中，结构元素的选择对提取图像信息至关重要。通常选择结构元素时要遵循两个原则：一是结构元素有凸性；二是结构元素在几何结构上比原始图像简单且有界。8.1概述

最初，数学形态学主要以研究二值图像为主，后来被推广到了灰度图像处理。起典型应用有：（1）击中/击不中：用于目标识别、图形分割；（2）腐蚀和开启运算：骨架抽取和图像压缩编码；（3）灰值形态学用于图像重构；（4）基于形态学滤波器进行颗粒分析；（5）……

应用领域涉及计算机文字识别、显微图像处理、医学图像处理、图像编码压缩、工业检测、机器视觉、指纹检测、合成音乐、签名和印鉴识别等等。8.2数学形态学基本概念和运算8.2.1预备知识——集合及其运算8.2.2数学形态学的基本概念与运算

8.2.1预备知识——集合和元素集合及其运算与数字图形处理的数学形态学：（数学形态学是建立在集合论基础上的代数系统）（1）集合代表图像中的物体（习惯上认为二值图像中值为1的点为前景、值为0的点为背景）；（2）对于一幅图像A，如果点a在A区域内，则说a是A的元素；（3）交集、并集和补集运算也是数学形态学中集合的基本运算。交集：两个图像集合A和B的公共元素组成的集合，记作并集：两个图像集合A和B的所有元素组成的集合，记作补集：对于一幅图像，在区域A以外的所有点构成的集合，记作这些简单运算的组合就构成了图像的数学形态学运算，并且取得空前成功！8.2.1预备知识——集合运算8.2.3腐蚀和膨胀

1.腐蚀定义

集合A（输入图像）被集合B（结构元素）腐蚀，记为

，其定义为(8.1)

式中，

由将B平移x仍包含在A内的所有点x组成。换句话说，腐蚀的结果由沿A内圈移动B过程中全部点在A中的B的原点组成。相当于拿着B在A的内圈“滚”后只保留能完全“覆盖”B的A中的连续像素。8.2.3腐蚀和膨胀

1.腐蚀定义

其直观示意如图8.1所示。其中，图(a)中的灰色部分为集合A，图(b)中的粉色部分为结构元素B，而图(c)中黑色部分给出了

的结果。图8.1腐蚀运算图解AB腐蚀是一种消除边界点，使边界向内部收缩的过程。可以用来消除小且无意义的物体。8.2.3腐蚀和膨胀

2.膨胀定义

膨胀

是腐蚀的对偶运算，可以利用对补集的腐蚀来定义（8.2）式中，

表示B对原点旋转180°(即对原点映射)。

膨胀相当于把A中的每一点扩大成B+A。结果使得孔洞缩小、目标增大。具体过程是：首先关于原点映射（或反射）B，然后平移.集合B集合B反射或关于原点映射（）然后平移集合腐蚀与膨胀的MATLAB实现分别为：

J=imerode(I,SE)和J=imdilate(I,SE)

其中，I为原图像，J为I被SE处理的结果，SE=strel(shape,parameters)为结构元素。图8.2(b)和图8.2(c)分别为SE=strel('square',5)时图8.2(a)经过腐蚀与膨胀处理后的结果。（a）原图像

(b)方形腐蚀结果

(c)方形膨胀结果图8.2腐蚀运算效果图8.2.3腐蚀和膨胀

8.2基本概念和运算

总之，腐蚀具有使目标缩小、目标的内孔增大以及目标外部孤立噪声点消除的效果；膨胀是将图像中与目标物体接触的所有背景点合并到物体中的过程，结果是使目标增大、孔洞缩小，可填补目标中的空洞，使其形成连通域。膨胀和腐蚀的MATLAB实现：A=imread(‘erzhi.jpg’);M=[1;1;1];N=[110];P=[001;010;000];Q=[001;000;100];C1=imdilate(A,M);C2=imdilate(A,N);C3=imdilate(A,P);C4=imdilate(A,Q);%膨胀C5=imerode(A,M);C6=imerode(A,N);C7=imerode(A,P);C8=imerode(A,Q);%腐蚀subplot(3,3,1);imshow(A);subplot(3,3,2);imshow(C1);subplot(3,3,3);imshow(C2);subplot(3,3,4);imshow(C3);subplot(3,3,5);imshow(C4);subplot(3,3,6);imshow(C5);subplot(3,3,7);imshow(C6);subplot(3,3,8);imshow(C7);subplot(3,3,9);imshow(C8);说明：1）Matlab自带了一些结构元素，常用的有菱形、矩形、球形、线形等等，请参阅“help”。2）结构元素调用：M=strel(‘diamond’,3);菱形顶点到中心点之间是3个像素3)结构元素的类型不同，参数要求不同，se1=strel('square',11)%11-by-11squarese2=strel('line',10,45)%line,length10,angle45degreesse3=strel('disk',15)%disk,radius15se4=strel('ball',15,5)%ball,radius15,height58.2.3腐蚀和膨胀

3.灰度图像腐蚀与膨胀用结构元素b对输入图像

进行灰值腐蚀，记为（8.3）用结构元素b对输入图像

进行灰值膨胀，记为，其定义为（8.4）

式中，Df和Db分别是f和b的定义域。这里限制(s+x)和(t+y)、(s-x)和(t-y)在公式（8.3）和公式（8.4）的定义域之内，类似于在二值膨胀定义中要求两个运算集合至少有一个（非零）元素相交。（二者的MATLAB实现与二值形态学相同。）8.2.4开运算和闭运算

1.开运算定义

设A是原始图像，B是结构元素图像，则集合A被结构元素B作开运算是A被B腐蚀后的结果再被B膨胀，记为

，其定义为 （8.5）2.闭运算定义

设A是原始图像，B是结构元素图像，则集合A被结构元素B作闭运算就是A被B膨胀后的结果再被B腐蚀，记为

，其定义为（8.6）

值得指出的是：膨胀和腐蚀并不互为逆运算，它们可以级联结合使用。

8.2.4开运算和闭运算

3.灰度图像的开运算和闭运算开运算和闭运算的MATLAB实现方法如下：I1=imopen(I,SE)；I2=imclose(I,SE)其中，I为原图像，SE=strel('square',7)时的图像处理效果如图8.3所示。

（a）原图像(b)方形开结果(c)方形闭结果图8.3开运算和闭运算的效果图8.2.4开运算和闭运算

总之，开运算一般能平滑图像的轮廓，削弱狭窄的部分；闭运算虽然也是平滑图像的轮廓，但与开运算相反，它一般融合窄的缺口和细长的弯口，去掉小洞，填补轮廓上的缝隙。

在实际图像处理运用中，开运算通常用来除去图像中小于结构元素尺寸的亮点（如小的孔洞），同时保留所有的灰度和较大的亮区域特征不变；闭运算通常用来去除图像中小于结构元素尺寸的暗点，同时保留原来较大的亮度特征。8.2.4开运算和闭运算

8.2.5击中与击不中变换

数学形态学中的击中/击不中变换是形状检测的基本工具。设有两幅图像A和B

，如果

，

则称为B击中A，记为

；否则，如果

，那么称B击不中A，如图8.4所示。

（a）击中(b)击不中

图8.4击中与击不中图示

图像中目标的结构可以由图像内部各种成分之间的关系来确定，例如，用各种结构元素可以判定哪些成分包括在图像内、哪些在图像外，从而最终确定图像的结构。击中/击不中变换就是在该意义上提出的。

形态学的其他运算还有高帽变换和低帽变换、开-闭运算和闭-开运算，感兴趣的读者可以参看相关文献。8.2.5击中与击不中变换

8.3.1计算像素连接数

8.3形态学基本算法在图像处理中的应用1.像素连接

对于二值图像中具有相同值的两个像素A和B而言，如果互为4邻域即B位于A的上、下、左、右之一位置，则称A和B为4-连接；同样的，如果A和B互为8邻域即B位于A的上、下、左、右、左右上角和左右下角之一的位置上，则称A和B为8-连接。

如图8.5中p和p0、p2、p4、p6都是4-连接，p0和p1等和也是4-连接的像素；p和p1、p和p5、p0和p2则为8-连接像素。而p1和p7、p1和p5、p3和p7不连接。把互相连接的像素集合汇集为一组就称为连接成分。图8.5像素的连接

8.3.1计算像素连接数（续）

2.像素的可删除性和连接数

在二值图像中，如果改变一个像素的值后，整个图像的连通成分不变，则这个像素是可删除的。像素的可删除性可以用像素的连接数来检测。用p和B(p)分别表示某个像素及其值，对二值图像而言，

当

时，像素p的连接数

就是与p连接的连接成分数。计算像素p的4-邻接和8-邻接的连接数，分别表示为（8.9）（8.10）式中，

当k=6时，

。【例8.1】图8.6为几种情况的像素连接性，图中白色表示像素值为1，灰色表示像素值为0，计算像素p的连接数。【例8.1】解：以图8.6（e）为例【例8.1】

对于同一个像素p来说，如图8.6（e）中，采用4-邻接，像素p的连接成分为{p0,p1,p2}和{p6}两个，因为p0和p6不是4-邻接的。因此连接数

。而采用8-邻接，像素p只有一个连接成分{p0,p1,p2,p6}，所以连接数

。

由此，可见对于同一幅图像中的同一个像素，采用不同的邻接方式，像素的连接数是不同的。8.3.2骨架抽取

把目标简化或细化成其基本结构在图像识别或数据压缩中有广泛应用。例如，在识别字符之前，往往要先对字符做细化处理，求出字符的细化结构。这种细化结构通常称之为骨架。图像细化通过击中/击不中变换实现。对于结构对B=(B1,B2)（

)，利用B细化X定义为

（8.11）

这里的每一个

都可以是相同的结构对，即在不断重复的迭代细化过程使用同一个结构对。在实际图像处理应用中，通常选择一组结构元素对，迭代过程不断在这些结构对中循环，当一个完整的循环结束时，如果所得结果不再变化，则终止迭代过程。

二值图像进行细化时应满足如下两个条件：①在细化的过程中,X应该有规律地缩小；②在X逐步缩小的过程中，应当使X的连通性质保持不变。8.3.2骨架抽取

如果是边界点，则至少有一个4-邻域点为0；端点：周围8-邻域像素中只有一个像素为1；孤点：周围8-邻域像素中所有像素均为0；如果f(I,j)是边界点，则至少有一个4-邻域点为0；端点：周围8-邻域像素中只有一个像素为1；孤点：周围8-邻域像素中所有像素均为0；如何构造公式？想一想：f(I,j)的4-邻域点是哪几个点？8-邻域点呢？上下左右……边界点的条件既不是端点也不是孤立点的条件：（1）扫描图像中的所有像素，将结果保存在二维数组f和g中（二者相同）；（2）按顺序读取f中每个像素f(I,j)，如果满足下列条件，就把g(I,j)置换成1：①f(I,j)=1(是前景/目标，必须的！！！);②f(I,j)是目标的边界;③f(I,j)不是端点或孤立点;④保持连通性;⑤单项消除线宽为2的线段（只需让)数字细化的步骤8.4.1侯马盟书碑文图像骨架提取

*8.4形态学处理图像应用实例：侯马盟书碑文图像骨架提取

侯马盟书碑文图像中文字包含较多斜线和弧线的特点，这里在Zhang和Suen提出的ZS细化算法的基础上，结合EPTA并行细化算法构造模板，提出基于模板的碑文图像骨架提取方法如下。8.4.1侯马盟书碑文图像骨架提取

1.判断目标点去留

判断目标点去留的规则是内部点、孤立点及直线端点不能删除；若像素点是边界点，去掉后，不影响连通性，则可删除。

所以，图8.7（a）不能删除、图8.7（b）不能删除、图8.7（c）可以删除、图8.7（d）不能删除、图8.7（e）可以删除、图8.7（f）不能删除。图8.7像素去留说明图8.4.1侯马盟书碑文图像骨架提取

2.算法实现

根据以上分析，该细化算法具体过程如下：

条件1：经过两个子循环迭代得到初始的骨架信息。

第1个子循环：①2≤N(p1)≤6；②S(p1)=1；③p4*p6*p8=0；④p2*p6*p8=0。

第2个子循环：①3≤N(p1)≤6；②S(p1)=1；③p2*p4*p8=0；④p2*p4*p6=0。2.算法实现

条件2：斜线细化的消除模板.EPTA算法中给出了两个消除模板来消除斜线中的像素冗余，针对消除不完全的问题，为此本文增加两个对