8.1成对数据的统计相关性课件高二下学期数学人教A版选择性2

第八章成对数据的统计分析8.1成对数据的统计相关性人教A版

数学

选择性必修第三册基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标学习单元1

成对数据的统计相关性在必修课程中,我们学习了一些样本数据的直观表示方法和统计特征的刻画方法,例如直方图、均值、方差等,以及根据样本数据的统计特征估计总体的统计特征,这些主要是解决单个变量的统计问题.而在现实中,除单变量的统计问题外,还有很多涉及两个或多个变量之间关系的统计问题,如学生的身高与体重之间的关系、影响商家服务水平的因素之间的关系等.本学习单元的主要内容有:通过成对样本数据研究两个数值变量的相关关系,利用一元线性回归模型刻画两个数值变量之间的相关关系,基于2×2列联表检验两个分类变量的独立性.这也是学习本单元的知识明线.具体内容结构如下图所示:本学习单元的最终目标是掌握相关关系、散点图、样本相关系数的概念,了解样本相关系数的统计含义.在学习过程中,进一步感悟根据实际情况进行科学决策的必要性和可能性,体会统计思维与确定性思维的差异,积累数据分析的经验,培养数据分析、数学建模、逻辑推理等核心素养.学习目标1.了解变量间的相关关系.(数学抽象)2.能根据散点图,判断两个变量是否具有相关关系.(数据分析)3.了解样本相关系数的概念及公式,会判断相关性的强弱.(数据分析、逻辑推理)基础落实·必备知识一遍过知识点1

变量的相关关系

两个变量间的关系有函数关系、相关关系和无相关性

1.相关关系:两个变量有关系,但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度,这种关系称为相关关系.2.散点图:将样本中的每个编号下的成对样本数据都用直角坐标系中的点表示出来,由这些点组成的统计图叫做散点图.3.正相关与负相关:从整体上看,当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值也呈现增加的趋势,我们就称这两个变量正相关;当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值呈现减少的趋势,则称这两个变量负相关.4.线性相关:一般地,如果两个变量的取值呈现正相关或负相关,而且散点落在一条直线附近,我们就称这两个变量线性相关.5.非线性相关:一般地,如果两个变量具有相关性,但不是线性相关,那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关.微思考相关关系与函数关系有什么异同点?提示

相同点:两者均是指两个变量的关系.不同点:①函数关系是一种确定的关系,如圆的面积S与半径r的关系,它可以用函数关系式S=πr2来表示;相关关系是一种非确定的关系,如人的体重y与身高x有关,一般来说,身高越高,体重越重,但不能用一个函数关系式来严格地表示它们之间的关系.函数关系是两个非随机变量的关系,而相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.②函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系.知识点2

样本相关系数对于变量x和变量y,设经过随机抽样获得的成对样本数据为我们称r为变量x和变量y的样本相关系数.名师点睛样本相关系数r的性质(1)当r>0时,称成对数据正相关;当r<0时,称成对数据负相关.(2)当|r|越接近1时,成对样本数据的线性相关程度越强;当|r|越接近0时,成对样本数据的线性相关程度越弱.(3)样本相关系数r的取值范围为[-1,1].微思考以下是对四组数据进行统计获得的散点图,根据散点图的特点你能得出对应样本相关系数的大小关系吗?提示

由给出的四组数据的散点图可以看出,题图1和题图3是正相关,样本相关系数大于0,题图2和题图4是负相关,样本相关系数小于0,题图1和题图2的样本点集中在一条直线附近,所以相关性更强,所以r1接近于1,r2接近于-1,由此可得r2<r4<0<r3<r1.重难探究·能力素养速提升问题1我们知道,如果变量y是变量x的函数,那么由x就可以唯一确定y.然而,现实世界中还存在这样的情况:两个变量之间有关系,但密切程度又不同于函数的确定性关系.例如,人的体重与身高存在关系,但由一个人的身高值并不能确定他的体重值.那么,该如何刻画这两个变量之间的关系呢?问题2通过观察散点图中成对样本数据的分布规律,我们可以大致推断两个变量是否存在相关关系,是正相关还是负相关,是线性相关还是非线性相关,等等.但散点图无法确切地反映成对样本数据的相关程度,能否像引入均值、方差等数字特征对单个变量数据进行分析那样,引入一个适当的“数字特征”,对成对样本数据的相关程度进行定量分析呢?探究点一相关关系的概念问题3两个变量有关系,但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度,这种关系称为相关关系.根据相关关系的概念,如何判断两个变量是否具有相关关系?【例1】

判断以下两个变量之间是否具有相关关系.(1)正方形的面积与其周长之间的关系;(2)父母的身高与子女的身高之间的关系;(3)学生的学号与身高;(4)汽车匀速行驶时的路程与时间的关系.解

(1)设正方形的面积为S,周长为C,则S=()2,即正方形的面积由其周长唯一确定,因此二者是函数关系,不是相关关系.(2)子女身高除了与父母的身高有一定关系外,还与其他因素有关,即子女的身高并不是由其父母的身高唯一确定的,因此二者之间具有相关关系.(3)学生的学号与身高之间没有任何关系,不具有相关关系.(4)若汽车匀速行驶时的速度为v,行驶的路程为s,时间为t,则有s=vt,因此当速度一定时,路程由时间唯一确定,二者之间具有函数关系,而不是相关关系.规律方法

函数关系是一种确定的关系,而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系.探究点二散点图的应用问题4散点图的样式与两个变量间的相关关系有何联系?【例2】

某公司2018~2023年的年利润x(单位:百万元)与年广告支出y(单位:百万元)的统计资料如表所示:年份201820192020202120222023利润x/百万元12.214.6161820.422.3支出y/百万元0.620.740.810.8911.11判断x与y是否线性相关,若是线性相关,试判断是正相关还是负相关?解

作出散点图(图略),由散点图可知,各点分布在一条直线附近,故x与y之间线性相关,且y随x的增加呈现增加的趋势,是正相关.规律方法

判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系,常用的简便方法就是绘制散点图,如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近,那么这两个变量就是线性相关的,注意不要受个别点的位置的影响.探究点三样本相关系数的应用问题5通过散点图可以直观判定两数值变量的相关关系,但无法精确量化.在此引入样本相关系数的概念,通常用r表示变量x和y的样本相关系数.如何根据样本相关系数,判断两个变量的线性相关关系?【例3】

现随机抽取了某中学10名高一在校学生,他们入学时的数学成绩x与入学后第一次考试的数学成绩y如下表:学生号12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771这10名学生的两次数学成绩是否具有线性相关关系?≈0.750

6.因为0.750

6接近于1,由此可看出这10名学生的两次数学成绩具有线性相关关系.规律方法

利用样本相关系数判断线性相关的求解策略(1)先计算样本相关系数r的值;(2)用|r|与0或1比较;(3)对变量x与变量y的相关关系作出判断.本节要点归纳1.知识清单:(1)相关关系及散点图;(2)样本相关系数;(3)相关关系的强弱及其实际应用.2.方法归纳:数形结合.3.常见误区:(1)相关关系与函数关系不分;(2)混淆样本相关系数绝对值的大小与相关程度的关系.学以致用·随堂检测促达标12341.(例1对点题)(多选题)下列说法正确的是(

)A.闯红灯与交通事故发生率的关系是相关关系B.同一物体的加速度与作用力是函数关系C.圆的周长与面积的关系是相关关系D.广告费用与销售量之间的关系是相关关系ABD解析

闯红灯与发生交通事故之间不是因果关系,但具有相关性,是相关关系,故A正确;物体的加速度与作用力的关系是函数关系,故B正确;圆的周长与面积的关系是函数关系,故C错误;广告费用与销售量之间是相关关系,故D正确.12342.(例2对点题)若变量x,y有如下观察的数据:x151152153154156157158159160162163164y40414141.54242.5434445454645.5(1)画出散点图;(2)判断变量x,y是否具有相关关系?如果具有相关关系,那么是正相关还是负相关?1234解

(1)由表格数据画出散点图如图所示.(2)观察散点图,可以发现,这些散点大致落在一条从左下角到右上角的直线附近,表明随x的增加,y呈现增加的趋势.我们可以推断x,y之间存在着相关关系,且这两个变量正相关.12343.(例3对点题)已知某个样本点中的变量x,y线性相关,样本相关系