4.3组合（第1课时）课件高二上学期数学选择性

4.3

组合第1课时组合与组合数第4章计数原理湘教版

数学

选择性必修第一册课标要求1.理解组合与组合数的概念,正确认识组合与排列的区别与联系;2.会推导组合数公式,并会应用公式进行计算;3.理解组合数的性质,并能应用性质求值、化简和证明.基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标基础落实·必备知识一遍过知识点1组合的概念一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素,

地构成一组,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

不论次序

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(

)(2)组合概念中的“从n个不同元素中取出m个不同元素”,即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出.(

)2.一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的排列与组合的区别是什么?√√提示排列要求取出的元素要有顺序的排成一组,而组合只要求取出后构成一组即可,不要求顺序.知识点2组合数与组合数公式组合数定义及表示从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素,___________

叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号

表示

组合数公式乘积形式

(n,m∈N+,m≤n)阶乘形式

(n,m∈N+,m≤n)性质

(n,m∈N+,m≤n)备注规定

=

所有不同组合的个数

1名师点睛

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)从5个不同元素中取出3个不同元素的组合数与从5个不同元素中取出2个不同元素的组合数相同.(

)(2)从甲、乙、丙3名同学中选出2名组成一组,有3种不同的选法.(

)2.如何理解组合与组合数这两个概念?√√提示同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样,“组合”与“组合数”也是两个不同的概念,“组合”是指“从n个不同元素中取m(m≤n)个元素合成一组”,它不是一个数,而是具体的一件事;“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”,它是一个数.例如,从3个不同元素a,b,c中取出两个元素的组合为ab,ac,bc,其中每一种都叫一个组合,这些组合共有3个,则组合数为3.重难探究·能力素养速提升探究点一组合概念的理解【例1】判断下列问题是排列问题还是组合问题,并求出相应的排列数或组合数.(1)10个人相互写一封信,一共写了多少封信?(2)10个人相互通一次电话,一共通了多少次电话?(3)从10个人中选3人去开会,有多少种选法?(4)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表,有多少种选法?解

(1)是排列问题,因为发信人与收信人是有顺序区别的,排列数为

(2)是组合问题,因为甲与乙通一次电话,也就是乙与甲通一次电话,没有顺序区别,组合数为

=45.(3)是组合问题,因为去开会的3个人之间没有顺序的区别,组合数为

=120.(4)是排列问题,因为3个人担任哪一科的课代表是有区别的,排列数为

=720.规律方法

区分一个问题是排列问题还是组合问题,关键是看它有无“顺序”,有顺序就是排列问题,无顺序就是组合问题.要判定它是否有顺序的方法是:先将元素取出来,看交换元素的顺序对结果有无影响,有影响就是“有序”,也就是排列问题;没有影响就是“无序”,也就是组合问题.变式训练1(多选题)下列问题是组合问题的是(

)A.把当日动物园的4张门票分给5个人,每人至多分一张,而且票必须分完的分配方法B.从2,3,5,7,11这5个质数中,取2个数分别作为分子和分母构成一个分数,能构成不同的分数的个数C.从9名学生中选出4名参加一个联欢会的选法D.2024年元旦期间,某班10名同学互送贺年卡表示新年的祝福,送出贺年卡的张数AC解析

由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票),不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人,这和顺序无关,因此选项A是组合问题;由于选出的2个数作分子或分母,结果是不同的,因此选项B是排列问题;由于只考虑选出4名学生,不需要考虑排列他们的顺序,因此选项C是组合问题;甲写给乙贺年卡与乙写给甲贺年卡是不同的,所以与顺序有关,因此选项D是排列问题.探究点二组合数公式分析

先考虑利用组合数的性质对原式进行化简,再利用组合数公式展开计算分析

式子中涉及字母,可以用阶乘式证明.规律方法

关于组合数计算公式的选取

变式训练2探究点三组合问题的实际应用【例3】在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人去参加市级培训.在下列条件下,有多少种不同的选法?(1)任意选5人;(2)甲、乙、丙三人必须参加;(3)甲、乙、丙三人不能参加;(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加;(5)甲、乙、丙三人至少1人参加.分析

根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确的判断和分析.注意“至少”“至多”问题,运用间接法求解会简化思维过程.解

(1)任意选5人,则有

=792种不同的选法

(2)甲、乙、丙三人必须参加,只需从另外的9人中选2人,共有

=36种不同的选法.(3)甲、乙、丙三人不能参加,只需从另外的9人中选5人,共有

=126种不同的选法.变式探究若本例条件不变,甲、乙、丙三人至多有2人参加,有多少种不同的选法?解

(方法1

直接法)甲、乙、丙三人至多2人参加,可分为三类:规律方法

常见的含限制条件组合问题的解法(1)特殊元素:若要选取的元素中有特殊元素,则要以有无特殊元素,特殊元素的多少作为分类依据.(2)含有“至多”“至少”等限制语句:要分清限制语句中所包含的情况,可以此作为分类依据,或采用间接法求解.(3)分类讨论思想:解题的过程中要善于利用分类讨论思想,将复杂问题分类表达,逐类求解.变式训练3某医院从10名医疗专家中抽调6名参加某项义诊活动,其中这10名医疗专家中有4名是外科专家.问:(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种?(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种?(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种?本节要点归纳1.知识清单:(1)组合的概念;(2)组合数的计算方法;(3)组合数的性质.2.方法归纳:公式法求解与组合数有关的计算,直接法、间接法、分类讨论法求解“在”与“不在”,“至少”与“至多”型组合问题.3.注意事项:不能准确计算组合数,涉及含参数的组合数计算,不能准确求出参数的取值范围,“至少”与“至多”型组合问题,分类讨论不全面.学以致用·随堂检测促达标12345678910111213141516A级必备知识基础练1.学校要求学生从物理、历史、化学、生物、政治、地理这6科中选3科参加考试,规定先从物理和历史中任选1科,然后从其他4科中任选2科,不同的选法种数为(

)A.5 B.12

C.20 D.120B解析

第一步,从物理和历史中任选1科,有

=2种选法;第二步,从其他4科中任选2科,有

=6种选法.根据分步乘法计数原理,共有2×6=12种选法.故选B.123456789101112131415162.某新农村社区共包括n个自然村,且这些村庄分布零散,没有任何三个村庄在一条直线上,现要在该社区内建“村村通”工程,共需建公路的条数为28,则n=(

)A.6 B.8

C.9 D.10B解析

由于“村村通”公路的修建,是组合问题,故共需要建公路的条数为

123456789101112131415163.某中学招聘5位老师,其中安排2位老师去高一,安排2位老师去高二,安排1位老师去高三,则不同的安排方法有(

)A.30种

B.60种

C.90种

D.120种A解析

根据题意,不同的安排方法可以分三步完成:第一步,在5个老师中选出2人,安排去高一,有

=10种选法;第二步,在剩下3人中,选出2人,安排到高二,有

=3种选法;第三步,将最后1人安排到高三,有1种选法.根据分步乘法计数原理,共有10×3×1=30种不同的安排方法.故选A.123456789101112131415164.国庆期间,甲、乙等6人计划分两组(每组3人)去旅行,每组将在云南丽江、广西桂林、河北石家庄、内蒙古呼和浩特选1个地方,且每组去的地方不同.已知甲不想去云南,乙只想去广西,其余4人这4个地方都想去,则他们分组旅行的方案种数为(

)A.24 B.30

C.18 D.36A123456789101112131415165.在某社会实践活动中,某班有一个7人小组参加烧烤活动,老师将从小组成员中选出2名同学整理烧烤架,再选出3名同学生火.若小组中的甲、乙两位同学至多有1人生火,则不同的安排方案种数为(

)A.120 B.150

C.180 D.240C解析

小组中的甲、乙两位同学都生火,共有

=30种,故甲、乙两位同学至多有1人生火的不同的安排方案种数为

-30=180.故选C.123456789101112131415166.[2023新高考Ⅰ,13]某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有

种(用数字作答).

6412345678910111213141516123456789101112131415168因为n∈N+,且n≥3,解得n=8.123456789101112131415162∵0≤x≤5,∴x2-23x+42=0,解得x=21(舍去)或x=2,即x=2为原方程的解.123456789101112131415169.生物兴趣小组有12名学生,其中正、副组长各1名,组员10名.现从该小组选派3名同学参加生物学科知识竞赛.(1)如果正、副组长2人中有且只有1人入选,共有多少种不同的选派方法?(2)如果正、副组长2人中至少有1人入选,且组员甲没有入选,共有多少种不同的选派方法?解

(1)正、副组长2人中有且只有1人入选,则选派方法数为

=90.(2)正、副组长2人都入选,且组员甲没有入选,选派方法数为

=9.正、副组长2人中有且只有1人入选,且组员甲没有入选,选派方法数为

=72.故正、副组长2人中至少有1人入选,且组员甲没有入选的选派方法数为9+72=81.12345678910111213141516B级关键能力提升练A.1 B.2

C.3

D.4BC12345678910111213141516A1234567891011121314151612.2名老师和4名学生共6人参加两项不同的活动,每人参加一项活动,每项活动至少有2人参加,但2名老师不能参加同一项活动,则不同的参加方式的种数为(

)A.20 B.28

C.40

D.50B1234567891011121314151613.有10台不同的电视机,其中甲型3台,乙型3台,丙型4台.现从中任意取出3台,若其中至少含有两种不同的型号,则不同的取法共有(

)A.96种

B.108种 C.114种

D.118种C1234567891011121314151614.某省派出5个医疗队去支援4个灾区,每个灾区至少分配一个医疗队,则不同的分配方案共有

种.(用数字填写答案)

240解析

派出5个医疗队去支援4个灾区,每个灾区至少分配一个医疗队,则其中有一个灾区安排两个医疗队,剩下的3个灾区各安排一个医疗队,可以分两步:1234567891011121314151615.要从6名男生4名女生中选出5人参加一项活动.(1)甲当选且乙不当选,有多少种不同的选法?(2)至多有3名男生当选,有多少种不同的选法?解