湖南省长沙市某中学2024届高三年级上册月考数学试题（八）+答案解析

大联考长郡中学2024届高三月考试卷（八）

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.）

1.已知i为虚数单位，则复数（2+1）°一I）的虚部为（）

A.iB.-iC.1D.-1

【答案】D

【解析】

【分析】由复数的乘法运算可得.

【详解】（2+i）（l—i）=2—2i+i-i2=3—i,

故其虚部为-1.

故选：D.

2.若集合4={w。82工<1},5=|x||x|>1},则（）

A.{J|0<X<1}B.{x|-l<x<2}

C.{x|-1<x<0或0cx<2}D.1x|x<2}

【答案】B

【解析】

【分析】利用对数不等式与补集的定义解出两个集合中的不等式，从而利用并集的运算即可得解.

【详解】不等式logzxvl解得0cx<2,则4={x|0<x<2},

5=|x||x|>11,48={刈乂<1}={工|一1<%<1},

:.ZU4B={x|-1<x<2）,

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故选：B

3.己知不共线的两个非零向量则“互+B与万一5所成角为锐角”是卜的()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量的运算结合充分、必要条件分析判断.

【详解】因为a5不共线，可知1+B与方-]不共线，

则与”5所成角为锐角等价于伍+孙(。-B)>o，即/>炉，即同〉W，

所以z+B与2-另所成角为锐角"是''同>|可"的充分必要条件.

故选：c.

4.要得到函数g(x)=cos2x+])的图象，可以将函数/(x)=sin(2x+2)的图象()

A.向右平移二个单位长度B.向左平移三个单位长度

33

C.向右平移二个单位长度D.向左平移三个单位长度

66

【答案】B

【解析】

【分析】利用三角函数的平移规则即可得解.

【详解】因为/'(x)=sin(2x+5=sin2(x+二,

I6JV12)

/xf5兀兀、.(c5it\.5TI\

(x)=cos2x+—=cos2x+-----=sin2x+——=sin2x+——，

“II62)I6)I12；

57TTTIT

所以将/(x)的图象向左平移行一行=鼻个单位可得到g(x)的图象.

故选：B.

2——X2—3x>0

5.已知/(x)=«g(x)二0，若“X)为(y,0)U(0,+oo)上的奇函数，g(a)=0(a<0),则"

()

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A.±—B.--C.--D.-1

222

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可得且(。)=-/(-4)=-2?+42+3=0,从而可求出。的值

【详解】由题意可得当4<0时，/m)=g(〃)=O,

因为“X)为(f,0)U(0,”)上的奇函数，

所以/(。)=一/(-。)

所以g(a)=_〃_Q)=_为4+/+3=0,

(6+1)(2/_3)=0,

所以q2=—l(舍去)，或/=二，

2

因为

所以4=一逅.

2

故选：C.

22

6.已知双曲线C：・一《=l(a>0,b>0)的左、右顶点分别为4,4,尸为c的右焦点，。的离心率为2,

若尸为C右支上一点，PFJ.F4,记4/4=e(o<e<5),则tane二()

A.JB.1C.V5D.2

【答案】A

【解析】

【分析】设C的焦距为2c,根据离心率可得。=2出6=耳，由尸/_12可得点尸的坐标，在直角三角

形中求出tanZPJ2F,tanZP4^，再根据两角差的正切公式即可求解.

【详解】设。的焦距为2c,点尸(人，匕))，由。的离心率为2可知。=2々/二氐，

22

因为尸尸，”,所以%=c,将。(°,必)代入c的方程得彳一斗=i,即访|=屉，

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所以tanZPJ,F=-3,tanZPJ,F=—=1,

c-ac-(-a)

、3-11

故tan。-tan(/PA?F—XPA,F}----------.

、=171+3x12

故选:A.

7.已知二面角。一/一夕的平面角为00＜。＜二夕,。£/,O『；48JL/,48与平面。所成

k2）

兀S1

角为；.记△/CD的面积为E，△BCD的面积为S?,则U的取值范围为（）

3»

。・佟2局。停2］

LJL）

【答案】C

【解析】

【分析】作出二面角的平面角以及48与平面夕所成角，并表示出NR4E=苧-e,结合三角形面积公式

以及正弦定理表示出*=4'=立——!——，结合。范围确定sinN84E范围，即可求得答案.

S2BE2sinZ.BAE

【详解】作/E_LCD,垂足为E,连接BE,

因为481/,即4818,%七n%8=%,“£,48u平面4E8,

故CD_L平面4E8,BEu平面4E8,故CD1BE,

又CDup,故平面/EBJ,/7,平面/EBPl夕=BE,

则48在月内的射影在BE上，则N48E为力8与平面6所成角，即乙

由于4E_LC。，CDLBE,故N4瓦？为二面角a-/一夕的平面角，即乙4E8=。（0＜。＜5

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5,_2AE

$2-BExCDBE

2

AEBEAB

在△Z8E中,

sin/.ABEsinZ.BAEsinZ.AEB

miiAEsin/ABEG1

贝JI-----=---------------=----------------------

BEsinZBAE2sinZBAE

jr7T2冤

而则/8力片二%一上一。二」一。

233

(1T2兀'（；』，

则一,一sinZ5JEG

(63)

AE=sinZABE=^

BEsin/BAE2sin/BAE季同,

故选：C

8.在长郡中学文体活动时间，举办高三年级绳子打结计时赛，现有5（〃EN'）根绳子，共有io个绳头，每

个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.则这5根绳子恰好能围成一个圈

的概率为（)

6425632128

A.一B.---C.---D.——

315315315315

【答案】D

【解析】

【分析】利用分步计数原理，结合数列的累乘法与古典概型的概率公式即可得解.

【详解】不妨令绳头编号为1,2,3,4,…,2〃，可以与绳头1打结形成一个圆的绳头除了1,2外有2〃-2种

可能,

假设绳头1与绳头3打结，那么相当于对剩下n-l根绳子进行打结,

令eN）根绳子打结后可成圆的种数为4，

那么经过一次打结后，剩下n-1根绳子打结后可成圆的种数为

由此可得，an=（2w-2）a,,_I,w>2,

所以入=2〃-2,9a(2〃-4),...,生二2,

aa

n-\M-2\

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所以%=（2〃_2）X（2〃_4）X-X2=2"-L（〃_1）!,

a\

显然々=1,故％=2〃7.（〃一1）!；

另一方面，对2〃个绳头进行任意2个绳头打结，总共有

”.以C-.C〉/.©2小（2〃一1）.（2〃一2）..21（2〃）!

n\2"•加2“•加’

n_,2n-,

_an_2.（/j-l）!_2-/7!（«-1）!

所以尸一万—一（2n）\~一西j，

2〃•加

122

所以当〃=5时，P=——.

315

故选：D.

【点睛】关键点睛：本题的解决关键是利用分步计数原理得到数列的递推式，从而利用数列的累乘法求得

结果.

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.）

9.下列关于概率统计说法中正确的是（）

A.两个变量苍丁的相关系数为，贝什越小，》与y之间的相关性越弱

B.设随机变量若MJ>3）=p,则p（l<4<2）=；—p

C.在回归分析中，及2为0.89的模型比川为098的模型拟合得更好

D.某人解答10个问题，答对题数为X,X~3（10,0.8）,则E（X）=8

【答案】BD

【解析】

【分析】A项，通过相关系数的定义即可得出结论；B项，通过求出尸（2<4<3）即可求出P（-1<4<0）的

值；C项，通过比较相关指数即可得出哪个模型拟合更好；D项，通过计算即可求出E（x）.

【详解】由题意，

A项，

两个变量x，y的相关系数为，卜|越小，x与v之间的相关性越弱，

故A错误，

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对于B,

随机变量J服从正态分布N(2,l),由正态分布概念知若尸(4>3)二?，则

P(-l<(J<0)=P(2<^<3)=P(^>2)-P«>3)=--/?,

2

故B正确，

对于C,

在回归分析中，R2越接近于1,模型的拟合效果越好，

・•・R?为0.98的模型比R2为0.89的模型拟合的更好

故C错误，

对于D,

某人在10次答题中，答对题数为〜8(10,0.8),则数学期望E(y)=10x0.8=8,

故D正确.

故选：BD.

10,已知等比数列的｝的公比为夕①>0),前〃项积为如若4>7；>7；,则()

A.0<^r<lB.g>1

C.%>1>几D.7；4>1>7]5

【答案】AC

【解析】

【分析】利用数列的基本性质可得出的>1，0<叫仆<1,求出夕的取值范隹，可判断AB选项；利用等比

数列的性质可判断CD选项.

【详解】因为数列等比数列｛为｝的公比为q(q>0)且1>[>7；,则

丁6=的2%汹。6=*皿皿5=*15>。，

又因为为4>0,则<1<4；，所以，。7>1>4>0，从而4>0,

n｛

故对任意的〃EN'，an-a｝q~>0,由%=的夕>。可得。<4<]，A对B错；

几=/。2…《3>1,工4=%。2…。14=(%。8)'<1，即43>1>工4，C对D错.

故选：AC.

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11.已知定义在R上的函数/(x)满足/(x+2)+/(x)=/(2024),且/(2x+l)是奇函数，则()

A./(%)的图象关于点(1,0)对称

B./(0)=/(4)

C./(2)=1

D.若,职，则步卜外。

【答案】ABD

【解析】

【分析】A选项，得到/(-x+l)+/(x+l)=0,得到函数的对称中心：B选项，由题意条件得到

/(x+4)=/(x),故B正确;C选项,由B选项得到/(%)的周期为4,故/'(x+2)+/(x)=/(O),

f3A1(5\\(1\I

赋值法得到/(2)=o；D选项，赋值法得到/!-!=--/-=-,结合函数的周期

得到答案.

【详解】A选项，由题意知，/(-2X+1)=-/(2X+1),则/(—X+1)+/(X+1)=0,

所以/(x)图象的对称中心为(1,0),A正确.

B选项，/(x+2)+/(x)=/(2024),/(x+4)+/(x+2)=/(2024),

两式相减得/(x+4)=/(x),所以/(4)=/(0),B正确.

C选项，由B选项可得，/(X)的周期为4,又2024=4x506,

a/(x+2)+/(x)=/(2024)=/(0),令x=0得,/(2)+/(0)=/(0),

得/(2)=0,所以C错误；

D选项，因为/(—x+l)+/(x+l)=0,令x=l得，/(0)+/(2)=0,

又/(2)=0,故/(0)=0,

/(-+1)+/(。+1)=0中,令X,得，/图=_/(扑彳，

由/卜+2)+/(力=0,得/电=-吗)=-；,

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又/卜）的周期为4,

3（4〃+3）/（4〃+g（4〃+4）/（4〃+g

则+4-

2

+（4〃+4）x；

=（4n+l）x—+（4??4-2）X4〃+3）x

2

=；X］（4〃+1）-（4〃+2）-（4〃+3）+（4〃+4）］=0,

I0O（1\

所以£/,一51二。,D正确.

故选：ABD

【点睛】函数的对称性：

若/（X+Q）+/（-X+b）=C,则函数/（X）关于9中心对称，

若/（》+〃）=/（T+b）,则函数/（X）关于x=对称，

12.2七是AJBC边BC上的点，其中/历1O=NC4E,8C=3,且，。.1.则"BC面积的可能

CDCE3

取值为（）

A.吧B.C.3&D.-

422

【答案】AB

【解析】

AB1

【分析】根据条件可得下二下,建立平面直角坐标系，从而可得A在一个定圆上运动变化，从而可求

ACJ3

“BC的8C边上的高的范围，故可得面积的取值范围.

【详解】由面积公式可得：

S&MBD_『D'BsmZg"。_4BsinNBjD

S△血CD1.jp.jc-sinZC^DACsinZCAD

2

S&®_BE__J'•sin/8"E_4BsinZBAE

S△花cCE--AEACsinZCAEACsin^CAE

2

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因为=/BAD+/DAE=NCAE+/D4E,所以/CAD=/BAE,

,BDBE1ABsinZBADABsinZBAE1AB1

由-------二一可得----------------------------=-,H即n——=~r.

CDCE3ACsinZCADACsinZCAE3ACV3

则5（0,0）,C（3,0）,设/（x,y）,又AC=6AB

则加3）2+/=加&+/,整理得到：（x+g）+/=*，

即点A的轨迹是以（一■1,o1为圆心，±8为半径的圆，

I2J2

故A8C的8C边上的高的取值范围是（“乎］,故其面积的取值范围是

所以AB选项满足条件.

故选：AB

【点睛】本题解题关键是先由己知得到＜C=省43,再通过建系确定出点力的轨迹，从而得解.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.（1+2x）s的展开式中/的系数是（用数字作答）.

【答案】80

【解析】

【分析】利用二项式展开式的通项公式求解即可.

【详解】（l+2x）$的通项为J；.=C；（2x）'=2'C""

令「=4,得（1+2x）5的展开式中x4的系数是2,C；=80.

故答案为：80

14.函数/（、）=邓欣+工+2的图象在工=5处的切线与坐标轴所围成的图形的面积为

【答案】1

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【解析】

【分析】利用导数求出切线的斜率，得到切线方程，求出与坐标轴交点即可得解.

【评解】由题意可得/'(xhsinx+xcosx+l,

则吧=2,/即+2,

故/(x)的图象在x=|■处的切线方程为p-(兀+2)=2x-yj,即y=2x+2.令x=0,

得V=2；令y=0,得工=-1,则所求图形的面积为,x2xl=l.

2

15.匹棱锥P—4BCQ的底面是平行四边形，点瓜尸分别为尸C、NO的中点，平面8E尸将四楂锥

P-ABCD分成两部分的体积分别为匕,右且满足匕＞%，则今=

7

【答案】-

【解析】

【分析】利用椎体的体积公式求解.

如图，延长交于点G,连接GE交尸。于点

因为底面23CQ为平行四边形，所以△FDG与△口〃全等,

且△FOG与相似，相似比为玄,

设△FDG的面积为S,则四边形8c。尸的面积为3S,

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设点尸到底面ABCD的距离为h,

则嚷8cH=gx3Sx；/?=gs4,

又因为七为尸C的中点，所以/

而“WG=；Sx"=%匕"G=%DFM+忆™=3限哂

»所以瞑-DFM=《Sh,

IO

所以%=KMECBFD=^E-BCDF+—E-DFM=—Sh,

9

157

M\^y'\=Vp-ABCD—%=qx4Sxh—3Sh=3Sh,

V.7

所以古?

故答案为：

16.已知椭圆C：=+4=l(a>b>0)的左、右焦点分别为父，用，离心率为6,点尸在椭圆上，连接尸片

ab

并延长交C于点0,连接。工，若存在点尸使|尸。|二|①|成立，则/的取值范围为.

【答案】［872-11,1)

【解析】

【分析】设|洒『见|防|=〃，所以存在点尸使归。|=|。用等价于(|尸。卜］。周心«0,由\+：=每

2

可求归。一|。周=2〃2+〃一2。的最小值，求得b

7的范围，从而得到e2的取值范围.

设|0£卜加尸用=〃，则|0玛|=2。-附.显然当尸靠近右顶点时，|尸0|>|。用,

所以存在点尸使|「。|=|。6|等价于(|P0|TOKlLV0,|尸。|一|。周=2m+〃一2〃,

在APg中由余弦定理得PF；=。斤一662一2pF、.片居.cos。，

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2

即（2〃一〃y=n2+4c2-2n-2c-cos0,解得〃b

a-coos0

同理可得m=--------»所以—।—=—y,

a+ccos。mnb

所以cb?（11）b?（n2m）（3+2&）b-

2a\mn）2cmn）2a

所以（2m+〃一2a）mm=逑土D互—2a，当且仅当〃=Jim时等号成立.

2a

由（&+D"2-2。40得2412-8收,所以8及—UWe2<l.

2aa2

故答案为：［872-11,1）

【点睛】关键点点睛：求离心率范围关键是建立〃力"的不等式，此时将问题转化为（归0|-|QG|）nm<O,

从而只需求|尸。|一|。5|=2根+〃一2々的最小值，求最小值的方法是结合焦半径性质+=f使用

SQ片b

基本不等式求解.

四、解答题（本大题共6小题，共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知数列｛q｝是等差数列，其前〃项和为S〃，且2%+4=13,57=49.

（1）求｛凡｝的通项公式;

（2）设〃=〃“+2“"，求数列也｝的前〃项和乙

【答案】（1）an=2n-1

（2）7；=乙=+〃2.

“3

【解析】

【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前〃项和公式求解;

（2）分组求和方法求解.

【小问1详解】

设等差数列｛凡｝的公差为d,又2%+%=13,S,=49,

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2(q+d)+q+3d=13

所以《7x6d，解得。i=l，d=2,

la.+-----=49

12

所以｛叫的通项公式%=《+(〃-l)d=l+2(〃-1)=2"L

【小问2详解】

由(1)知"二〃”+2""=2〃一l+22'i,

所以1=4+/),+&+…+6〃=(1+2)+|3+23)+(5+25)+.—F(2〃—1+2/1)

/、/3s2〃(l+2〃—1)2x(l-4")22W+,-22

=(1+3+5+…+2〃-1)+(2+23+2$+…+22"T)=--———：J=--~~卜门-

18.如图，在三棱锥产一48c中，0/JL平面NBC,PA=AB=BC=1,PC=6.

（1）求证：8cl平面均8；

（2）求二面角力一PC—5的大小.

【答案】（1）证明见解析

⑵-

3

【解析】

【分析】（1）先由线面垂直的性质证得P4_L8C,再利用勾股定理证得8C_LPB,从而利用线面垂直的

判定定理即可得证；

（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面"C与平面尸的法向量，再利用空间向

量夹角余弦的坐标表示即可得解.

【小问1详解】

因为P/JL平面48C,8Cu平面ABC,

所以P4J.BC,同理尸

所以为直角三角形，

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又因为PB=JPA?+Zb?=贬，BC=1,PC=6,

所以PBrBC?=PC?,则^PBC为直角三角形，故BC工PB,

又因为BC1PA,P4CIPB=P,

所以BC1平面「48.

【小问2详解】

由（1）3CU.平面046，又48u平面P48,则8C_L力？，

以A为原点，48为1轴，过A且与8c平行的直线为V轴，力尸为z轴，建立空间直角坐标系，如图,

则4(0,0,0),P(0,0,1),C(l,l,0),8(1,0,0),

所以万=(0,0,1)函=(1,1,0),前二(0,l,0),PC=(1,1,-1),

m-AP=Q4=0,

设平面P4C的法向量为m=（芯,必,zj,则・一，即〈

m-AC=0M+K=0,

令玉=1,则凹二-1,所以m=（1,一1,0）,

..n-BC=0%=O

设平面尸8C的法向量为〃=&,必,Z2),贝叫_

n•PC=0X2+y2-Z2=°

令工2=1，则Z2=l,所以［=(1,0,1),

所以8s/-M--〃\卜mn丽二万1访"51

又因为二面角/—PC—5为锐二面角，

7T

所以二面角力一尸C-8的大小为

19.在AJBC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a二万（百sinC+cosC）.

第15页/共23页

A

(1)求8；

(2)己知BC=2百,。为边48上的一点，若80=1,4C£)=],求/C的长.

【答塞】(1)B=-.

6

(2)AC=-.

2

【解析】

【分析】(1)根据正弦定理边角化结合三角恒等变换即可求解，

(2)根据余弦定理求解近，即可由正弦定理求解cos4='红，进而由锐角三角函数即可求解.

7

【小问1详解】

•；a=b(JJsinC+cosC),根据正弦定理得，sin4=sin3(百sinC+cosC),

即sin3cosc+cos3sinC=6sin8sinC+sin3cosc，

所以cosBsinC=^sinBsinC，因为sinC>0，

所以cos8=sin8，所以tanB=，

3

因为5£(0,兀)，所以8二

【小问2详解】

因为3。=2百，BD=1,B=j根据余弦定理得

6

CD2=BC2+BD2-2BCBDcosB=l+\2-2x\x2y/3x—=7,ACD=V7.

2

•・,ZBDC=-+ZA,/.sinZ.BDC=sin]+ZJJ=cosA.

2

2G近

BC_CD

在△BDC中，由正弦定理知,•**cos4j_'

sinZ.BDCsinZ.B

2

第16页/共23页

J2T2>/7

：•cosA21,AG0,—,所以sin.4

7\z)

.小八吆=毡=0一・.4:巨

cos43AC2

cinV

20.已知函数/(x)=?f(X£R).

e

(1)求/(x)的单调区间；

(2)若对于任意的xc0,],/(x)N米恒成立，求实数％的取值范围.

(37r71、(7T5几、

【答案】(1)递增区间为2桁----,2E+-(ZrGZ),递减区间为2E+—,2%兀+—UkeZ)

<44JI44)

2

(2)一00，]

ne2

【解析】

【分析】(1)利用导数求解函数的单调区间即可;

,・「1/

詈/对于任意的可。身恒成立，进而分…和可叼两种情况讨论即可得解.

(2)由题知

【小问1详解】

行cos71

因为/(上罢，则人力X+一

cosx-sinx4

ee

令/小)>0,则cos[x+：J>0,即2E-]<x+：<2"+/(AEZ),

解得了(x)的递增区间为(2桁一.2%兀+：(丘Z)；

/\C

IT7T7TS1T

令/'(4)<0，则cosx+—<0,即2H+—<x+—<"兀+—(keZ),

I4J242'，

(jr5兀、

解得/(X)的递减区间为12々71+12左兀+工~(4£Z)；

所以/(x)的递增区间为(2E—；~,2〃兀+1(ksZ),递减区间为2E+*2左兀+7-卜%wZ).

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【小问2详解】

因为对于任意的xw0,^恒成立,

•「一

所以华之履对于任意的XC恒成立，

eL2J

当x=0时，左ER：

当工£

xcosx-sinx-xsinx

所以g'(x)

令人(1)=xcosx-sinr-xsinx,xe

所以〃(x)=-xsinx-sinx-xcosx<0在xw0,—上恒成立,

所以A(x)在(0卷上单调递减，

所以小)〈人(0)=0,即g'(x)<0在0,1上恒成立

\2.

所以g(x)在(o微上单调递减，所以g(X)min=g(S=

综上，实数上的取值范围为

7te2

21.如图，在平面直角坐标系xQy中，尸为x轴正半轴上的一个动点.以广为焦点、。为顶点作抛物线

C:y2=2px(p>0).设尸为第一象限内抛物线。上的一点，。为'轴负半轴上一点，设。(一。,0),使得尸。

为抛物线c的切线，且|尸0|=2.同G、G均与直线。尸切于点尸，且均与X轴相切.

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（2）是否存在点尸，使圆G与。2的面积之和取到最小值.若存在，求出点”的坐标；若不存在，请说明

理由.

【答案】（1）4a2+2pa=4

1

（2）存在,

、3一用）

【解析】

【分析】（1）由题意，设出直线方程，联立其与椭圆方程，根据相切，利用根的判别式为零，求得〃7

表示出直线方程，写出P的坐标，利用弦长公式，可得答案;

（2）根据切线长定理，可得线段相等与三角形相似，建立方程，表示出必必，利用。”尸,。2三点共线，建

立方程，可得必+外与弘%的等量关系，利用圆的面积公式，整理其函数关系，结合基本不等式，可得答

案.

【小问1详解】

由条件抛物线C：/=2px（p>0）,点。（一。,0）（。〉0）,

设/也：工二加歹一。（机>0）,将其与抛物线C的方程联立，消去工得/一20叩+2p〃=0.①

因为尸。与抛物线。切于点尸，所以，方程①的判别式为A=4p2m2—4x2/。=。，解得m=

进而，点尸（a,，2pa）.故|夕0|=Jl+a21yp_Q|=J1+至=《4。?+2pa.

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由|00|=2,则4/+2〃a=4.②,4/+=4.

【小问2详解】

设G、G的圆心分别为°1（阳，必）、。2（工2,力）.

注意到，OP与C］、。2圆切于点尸.故。

设圆G、。2与X轴分别切于"、N,如期所示:

则。0「。。2分别为NPOM、NPON的角平分线，故|。也|=|。因，|。2M=|。2尸|,NOQQ=90。,

易知V°P°2：V。/。，则锯二篇，

=|。附|•|M=|。@102Pl=1。尸『=*+/=M+2pa.

结合式②有必必=a2+2pa=4-3a2.③

y「挺》=必一孙=|。仍=QM=必

由0「P、。2三点共线得化简可得

y[2pa-y2yP-y2\P02\\02N\y2

2

必+『2=-^=必卜2.④

y]2pa

令7=+于是，圆金。2的面积之和兀T.

根据题意，仅需考虑7取最小值的情形，根据③、④知

"=(M+必『―2k义2M1-2\S_3/J-2(4-3tr)f3。乂；♦)

2pa4-4"'/''1-a

令，=1一。2.由4/=4-4。2=2夕。＞0，，＞0，T=('+1)(，+1)=且+1+422，%.1+4=26+4.

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当且仅当，=虫时，上式等号成立.此时,

P_

结合式②得53^/3，()