2024年中考数学复习重难点(全国版)：二次根式、分式(解析版)

二次根式、分式

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目录

【直击中考】...........................................................................1

【考向一二次根式有意义的条件】...........................................................1

【考向二二次根式的运算】.................................................................2

【考向三分式有意义的条件】...............................................................5

【考向四分式的值为零及求分式的值】......................................................7

【考向五分式的化简运算】.................................................................8

【考向六分式的化简求值】................................................................11

【考向七分式化简中错解复原问题】........................................................15

【直击中考】

【考向一二次根式有意义的条件】

例题：（2022•北京•统考中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是.

【答案】x>8

【分析】根据二次根式有意义的条件，可得六跄0,然后进行计算即可解答.

【详解】解：由题意得：

x-8>0,

解得：XN8.

故答案为：xz8.

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式五（ON0）是解题的关键.

【变式训练】

I.（2022•江苏徐州•统考中考真题）要使得式子无与有意义，贝ijx的取值范围是（）

A.x>2B.x>2C,x<2D,x<2

【答案】B

【分析】根据二次根式有意义，被开方数大于等于0,列不等式求解.

【详解】解：根据题意，得

x—220,

解得XN2.

故选：B.

【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件的知识点，代数式的意义一般从三个方面考虑：⑴当代数式

是整式时，字母可取全体实数；仅）当代数式是分式时，分式的分母不能为0；（3）当代数式是二次根式时,

被开方数为非负数.

2.（2022・湖南湘西•统考中考真题）要使二次根式7§1二？有意义，则x的取值范围是（）

A,x>2B,x<2C,x<2D.x>2

【答案】D

【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案.

【详解】解：・•,3x-6w0,

.'.x>2,

故选：D.

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关

键.

3.（2022•广西河池•统考中考真题）若二次根式G1有意义，则。的取值范围是.

【答案】a>\

【分析】要根据二次根式有意义的条件列式计算即可求解.

【详解】解：由题意得，

a-1>0,

解得,a>\,

故答案为：a>\

【点睛】此题主要考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义时被开方数为非负数是解题的关键.

4.（2022•广西贵港•中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是.

【答案】x>-l

【分析】二次根式要有意义，则二次根式内的式子为非负数.

【详解】解：由题意得：

x+1>0,

解得

故答案为：x>-l.

【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件.

【考向二二次根式的运算】

例题：（2022•甘肃武威•统考中考真题）计算：V2xV3-V24.

【答案】-V6

【分析】根据二次根式的混合运算进行计算即可求解.

【详解】解：原式=#-2#=-

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键.

【变式训练】

1.（2022・贵州六盘水•统考中考真题）计算：712-273=.

【答案】0

【分析】先把屈化简为2vL再作差，即可.

【详解】解：712-2^

=2。-2石

=0

故答案为：0.

【点睛】本题考查二次根式的减法运算，熟练掌握二次根式的基础知识是解题的关键.

2.（2022•山西中考真题）计算展x4的结果是.

【答案】3

【分析】直接利用二次根式的乘法法则计算得出答案.

【详解】解：原式=，18X；

=V9

=3.

故答案为：3.

【点睛】此题主要考查了二次根式的乘法法则，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键.

3.（2022•黑龙江哈尔滨•统考中考真题）计算6+34的结果是.

【答案】273

【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可.

【详解】解：G+3A

=G+G

=2百，

故答案为：26.

【点睛】本题考查了二次根式的加减，把二次根式化为最简二次根式是解题的关键.

4.（2022•山东泰安・统考中考真题）计算：底灰-3.=.

【答案】2A/3

【分析】先计算乘法，再合并，即可求解.

【详解】解：V8.V6-3^|

=弧_3义空

3

二4月-20

=2^/3,

故答案为：2G.

【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键.

5.（2022•广西河池・统考中考真题）计算：|-2行3-1-«X&+S-5）°.

【答案】I

【分析】根据化简绝对值，负整数指数得，二次根式的乘法，零次幕进行计算即可求解.

【详解】解：原式=2夜-!-2五+1

_2

-3

【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握化简绝对值，负整数指数幕，二次根式的乘法，零次嘉是解题

的关键.

6.（2022•辽宁沈阳•统考中考真题）计算：V12-3tan30o+^+椁-2〉

【答案】6

【分析】根据二次根式的性质，特殊角的三角函数值，负整数指数哥，化简绝对值进行计算即可求解.

【详解】解：原式=2百-3x@+4+2-/

3

2V3-V3+4+2-V3

=6.

【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握二次根式的性质，特殊角的三角函数值，负整数指数幕，化简

绝对值是解题的关键.

7.（2022•四川广元•统考中考真题）计算：2s%60。-/-2|+m-加）。-屈+（-y）-2.

【答案】3

【分析】代入特殊角的三角函数值，按照实数的混合运算法则计算即可得答案.

【详解】解：2s血60。-|百-2|+伉-而）V12+（-3）2

=2x02+6+1-26+4

2

=yj3-2+y/3+1-2s/3+4

=3.

【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、零指数暮、负整数指数塞及二次根式的性质与化简，熟练掌握实

数的混合运算法则，熟记特殊角的三角函数值是解题关键.

【考向三分式有意义的条件】

例题：（2022•山东荷泽・统考中考真题）若[占

在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是.

【答案】x>3

【分析】根据分式有意义条件和二次根式有意义的条件得x-3>0,求解即可.

【详解】解：由题意，得

所以x-3>0,

解得：x>3,

故答案为：x>3.

【点睛】本题考查分式有意义条件和二次根式有意义的条件，熟练掌握分式有意义条件：分母不等于0,二

次根式有意义的条件：被开方数为非负数是解题的关键.

【变式训练】

1.（2022・湖北黄石•统考中考真题）函数>=7葛+3的自变量x的取值范围是（）

A.xw-3且xwlB.%>-3且xwlC.x>-3D.且xwl

【答案】B

【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案.

fx+3>0

【详解】解：依题意，।八

[x—l工0

/.x>-3且xW1

故选B

【点睛】此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确掌握二次根式与分式有意义的条件是解题关键.

2.（2022•辽宁丹东•统考中考真题）在函数>=互1中，自变量x的取值范围是（）

X

A,x>3B.x>-3C.%23且xwOD.%之-3且%。0

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式组，解不等式组即可得到答案.

【详解】解：由题意得：X+3N0且XHO,

解得：工2-3且左0,

故选：D.

【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是

解题的关键.

3.（2022•江苏南通・统考中考真题）分式展有意义，则x应满足的条件是__________.

x-2

【答案】x/2

【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0得出不等式，求解即可.

2

【详解】解：分式'有意义，即x-2w0,

x-2

xw2,

故答案为：xw2.

【点睛】本题考查分式有意义的条件，牢记分式有意义的条件是分式的分母不为0.

4.（2022・青海・统考中考真题）若式子^

有意义，则实数x的取值范围是

【答案】x>l

【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0,以及二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可求

解.

0

【详解】由题意得:解得：x>l

w0

故答案为：%>1

【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件.熟练的掌握分式分母不等于。以及

二次根式的被开方数为非负数是解题的关键.

5.（2022•内蒙古包头•中考真题）若代数式V^T+,在实数范围内有意义，则x的取值范围是.

x

【答案】且XW0

【分析】根据二次根式与分式有意义的条件求解即可.

【详解】解：由题意得：X+0O,且XH0,

解得：xN—1且xwO,

故答案为：X2-1且X/0.

【点睛】本题考查二次根式与分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；

分式有意义的条件：分母不等于零是解题的关键.

【考向四分式的值为零及求分式的值】

例题：（2022•湖南郴州•统考中考真题）若『=则?=________.

b3b

【答案】I

【分析】由分式的运算法则进行计算，即可得到答案.

【详解】解

b3

:.3（a-b）=2b,

3a-3b=26,

3a=5b,

a5

"I"3；

故答案为：

【点睛】本题考查了分式的运算法则，解题的关键是掌握运算法则进行计算.

【变式训练】

1.（2022•广西•统考中考真题）当》=______时，分式二的值为零.

x+2

【答案】0

【分析】根据分式值为零，分子等于零，分母不为零得2x=0,x+2M求解即可.

【详解】解：由题意，得2x=0,且X+2M,解得X=0,

故答案为：0.

【点睛】本题考查分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件“分子为零，分母不为零”是解题的关键.

2.（2022•浙江湖州•统考中考真题）当°=1时，分式上的值是.

a

【答案】2

【分析】直接把a的值代入计算即可.

【详解】解：当。=1时，

Q+11+1

——=——=2.

a1

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查了分式求值问题，在解题时要根据题意代入计算即可.

3.（2022•山东薄泽•统考中考真题）若，一2"15=0,则代数式「-的心）•三的值是_______.

\aJa—2

【答案】15

【分析】先按分式混合运算法则化简分式，再把已知变形为。2-2叱15,整体代入即可.

【详解】解：「一细心）.二

IaJa-2

（〃—Cl?

-----2-）-2-----

aa-2

=a（a-1）

=a2-2a,

2

a-2a-15=0f

.,.42-24=15,

原式二15.

故答案为：15.

【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键.

4.（2022•湖北鄂州•统考中考真题）若实数％%分别满足/一4a+3=0,b2-4b+3=0,且在仇则工+工的

ab

值为.

4

【答案】f

【分析】先根据题意可以把。、6看做是一元二次方程V-4x+3=0的两个实数根，利用根与系数的关系得

到a+6=4,ab=3,再根据，+[=乎进行求解即可.

abab

【详解】解：•:a、6分另IJ满足层一4。+3=0,46+3=0,

二可以把a、b看做是一元二次方程x?-4x+3=0的两个实数根，

：.a+b=4,ab=3,

11a+b4

—I—=------=一,

abab3

4

故答案为：

【点睛】本题主要考查了分式的求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系

是解题的关键.

【考向五分式的化简运算】

例题：（2022•甘肃兰州・统考中考真题）计算：

【答案】-

【分析】根据分式的加法法则和除法法则计算即可.

X2+X

【详解】解:

X

x+1X

XX2+x

x+1x

xx(x+l)'

1

X

【点睛】本题考查的是分式的混合运算，掌握分式的加法法则和除法法则是解题关键.

【变式训练】

1.（2022.西藏.统考中考真题）计算：匕网a2

Q/—4Q—2

【分析】首先对各项进行因式分解，然后约分，最后得到的两个分式相减即可得到答案.

［详解］土土幺a2

aa2—4Q—2

+2)a2

a(〃+2)(Q-2)a-2

a2

a—2a—2

【点睛】本题考查了分式的化简，理解并掌握分式的计算法则，注意在解题过程中需注意的事项，仔细计

算是本题的解题关键.

a2-b2b2-2ab

2.（2022•湖北十堰•统考中考真题）计算：a+-----------

aa

a+b

a-b

【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果.

【详解］解：原式“+皿-叽仁士也

aa

a

x

a（4-6）2

a+b

a-b

【点睛】本题考查了分式的混合运算，正确的计算是解题的关键.

3.（2022•四川泸州•统考中考真题）化简：（"-3〃7+1+1”生匚

mm

【答案】

m+1

【分析】直接根据分式的混合计算法则求解即可.

【详解】解：(----------+1)+-----

mm

_m2-3m+I+m.(m+l)(m-'I)

mm

m2-2m+1m

------------•--------------

m(m+l)(m-'I)

_(m-l)2m

m(m+l)(m-'I)

_m-\

m+1

【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键.

4.(2022・湖南常德・统考中考真题)化简：+《三

Ia+2Ja+2

【答案】二

a-1

【分析】原式括号中通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，再将分子分母分别

因式分解，进而约分得到最简结果即可.

(a-1)(Q+2)+々+3Q+2

【详解】解:原式=

a+2a+2(Q+1)(Cl-1)

a2—Q+2Q—2+Q+3a+2

Q+2(Q+1)(Q—1)

a2+2a+1

(Q+1)(Q-1)

(a+1『

(Q+1)(Q—1)

_a+1

ci—1

【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式运算法则是解本题的关键.

5.(2022・陕西・统考中考真题)化简：+1+

\a-lJa-1

【答案】＜7+1

【分析】分式计算先通分，再计算乘除即可.

【详解】解：原式+

a-l2a

2〃(〃+1)(。一1)

a-\2a

=a+1.

【点睛】本题考查了分式的混合运算，正确地计算能力是解决问题的关键.

【考向六分式的化简求值】

12—4%+4,

例题：(2022•内蒙古・中考真题)先化简，再求值：+-----:—，其中x=3

x-1

【答案】卢2+x，-5

2-x

【分析】分式的混合运算，根据加减乘除的运算法则化简分式,代人求值即可求出答案.

_3-(x+l)(x-1)x-1

—x-1(X-2)2

4—%2x—1

"x-1(x-2)2

_(2+x)(2—x)x—l

x—1(2—x)2

2+x

2—x

当x=3时，原式=-5,

故答案是：-5.

【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则即可,包括完全平方公式，能约分的要

约分等，理解和掌握乘法公式，分式的乘法，除法法则是解题的关键.

【变式训练】

J,其中〃?-2.

1.(2022•辽宁鞍山•统考中考真题)先化简，再求值：2〃丁」一

m-om+9IYi"3’

【答案】竺士

m-53

【分析】先根据分式的混合运算将式子进行化简，再代值计算即可.

【详解】解：原式=⑺：_十]七|_3]

(m-3)\m-3m-3J

_(m+3)(加-3)m-5

(m-3)2m-3

(m+3)(m-3)m-3

（冽一3）2m-5

_m+3

m-5，

当加=2时，

m+32+35

m-5~2-5-3,

【点睛】本题考查分式的化简求值，解题关键是掌握分式的混合运算法则.

2.（2022•黑龙江牡丹江•统考中考真题）先化简，再求值.卜-生士〉士1,其中x=cos30。.

【答案】x-1;是一1

2

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简

结果，把x的值代入计算即可求出值.

【详解】解：fx--

\XJX

_X2-2x4-1X

Xx-1

二（1）2X

Xx-1

=X-1.

当X=cos3（r=¥时，

原式="T.

2

【点睛】此题考查了分式的化简求值，涉及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

3.（2022•辽宁锦州•统考中考真题）先化简，再求值：（二T+D+=,其中x=百-1.

+1x-2Jx-2

【答案】一3彳，百

【分析】先对分式进行化简，然后再代人求解即可.

2x-4x+1x—1

【详解】解:原式=

(x+l)(x-2)(x+1)(x-2)x—2

3x—3x—1

(x+l)(x-2)x—2

3(x—1)x—2

____1___L__x___

(x+l)(x-2)x—\

3

-x+1'

把x=G-i代入得：原式=丁上一=71.

,3-1+1

【点睛】本题主要考查分式的化简求值及二次根式的运算，熟练掌握分式的化简求值及二次根式的运算是

解题的关键.

4.（2022・山东聊城・统考中考真题）先化简,再求值：—{"f其中—45。+出

【答案】一，V2+1

a-2

【分析】运用分式化简法则：先算括号里，再算括号外，然后把。，6的值代人化简后的式子进行计算即可

解答.

—44Q—42(Q+2)(Q-2)a2

【详解】解:Q------x------------

aaQ—2a(〃-2)。-2

。+22a

u—2a—2u—2

a=2sin45°+2x—+2=V2+2,

2

代入得：原式=A2=及+1；

V2+2-2

故答案为：一%;V2+1.

。一2

【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键.

1/7—2CL—1

5.（2022・湖南•统考中考真题）先化简（1-：）+?+,、再从1,2,3中选一个适当的数代人求

a-\2a-2（7+1

值.

33

【答案】

a—12

【分析】先根据分式的混合运算的法则进行化简后，再根据分式有意义的条件确定。的值，代人计算即可.

ci—22a—1

【详解】解：原式+

a—1a—Z

3

Q—1

因为。=1,2时分式无意义，所以a=3,

3

当a=3时，原式=—.

2

【点睛】本题考查分式的化简与求值，掌握分式有意义的条件以及分式混合运算的方法是正确解答的关键.

6/2。22・四川广安・统考中考真题)先化简：(2+x+2):二再从…、2、3中选择一个适合

的数代人求值.

【答案】x；1或者3

【分析】根据分式的混合运算法则即可进行化简，再根据分式有意义的条件确定x可以选定的值，代人化

简后的式子即可求解.

【详解】(/-+x+2”lx

2『

x-2X-4X+4

「4(x+2)(x-2)]x-4x+4

x—2x-2x2—2x

4+x2-4(x-2)2

x-2x(x-2)

x2x-2

=-----------X------------

x-2x

根据题意有：xwO,x-20,

故xwO,xw2,

即在0、1、2、3中，

当x=l时，原式=%=1；

当x=3时，原式=x=3.

【点睛】本题主要考查了运用分式的混合运算法则将分式的化简并求值、分式有意义的条件等知识，熟练

掌握分式的混合运算法则是解题的关键.

。+1>0

7.(2。22•内蒙古通辽・统考中考真题)先化简’再求值：[(a-a-2请从不等式组

4Q-51的整

.3

数解中选择一个合适的数求值.

【答案】/+2〃，3

【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后根据不等式组求出〃的值并代入原式即可

求出答案.

Q—2

【详解】解：\a--

\a,

22

—-a-----4-----a----

aa-2

(a+2)(o-2)a2

aa-2

=a2+2a,

a+l>0①

"4。-5i-，

VI②zx

解不等式①得：«>-1

解不等式②得：a<2,

—1v〃w2,

•・•。为整数，

二。取0,1,2,

,/aw0,a-2w0,

••ci—1,

当a=\时，原式=俨+2x1=3.

【点睛】本题考查分式的化简求值，解一元一次不等式组，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以

及乘除运算法则，本题属于基础题型.

【考向七分式化简中错解复原问题】

例题：（2022•宁夏•中考真题）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务.

_2E___

x~-4x+2Jx-2

_(xx-2]x-2

第一步

~{x2-4^X2-4J2.......

x—x—2x—2

第二步

X2-42-.......

-2x-2

=(x+2)(x-2)'~……第三步

=——-……第四步

x+2

任务一：填空

①以上化简步骤中，第步是通分，通分的依据是.

②第步开始出现错误，错误的原因是.

任务二：直接写出该分式化简后的正确结果.

【答案】任务一：①一，分式的性质；②二，去括号没有变号；任务二：工

【分析】任务一：①根据分式的基本性质分析即可；②利用去括号法则得出答案；

任务二：利用分式的混合运算法则计算得出答案.

【详解】任务一：①以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的性质.

②第二步开始出现错误，错误的原因是去括号没有变号.

故答案为：①一，分式的性质；②二，去括号没有变号.

任务二:

—4%+2

xx-2

~[X2-4