2025九年级上数学北师第三章单元测试卷含答案

2025九年级上数学北师第三章单元测试卷第三章概率的进一步认识时间:90分钟满分:100分一、选择题(共8小题,每小题3分,共24分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)1.用频率估计概率,可以发现抛掷硬币“正面向上”的概率为0.5,那么掷一枚质地均匀的硬币10次,下列说法正确的是()A.每两次必有1次正面向上B.可能有5次正面向上C.必有5次正面向上D.不可能有10次正面向上2.[教材变式P61练习](2021·辽宁阜新中考)小颖有两顶帽子,分别为红色和黑色,有三条围巾,分别为红色、黑色和白色,她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上,恰好为红色帽子和红色围巾的概率是()A.12 B.23 C.563.(2022·山东济南历城区期末)一个不透明的袋子里装有白棋子、黑棋子共20个,这些棋子除颜色外都相同.小明从中随机摸出一颗棋子,记下颜色后放回,通过多次重复试验发现,摸出白棋子的频率稳定在0.6,则袋子中白棋子的个数最有可能是()A.5 B.8 C.12 D.154.(2022·安徽宿州期中)2022年冬奥会吉祥物为“冰墩墩”,冬残奥会吉祥物为“雪容融”.现有三张正面印有吉祥物的不透明卡片,卡片除正面图案不同外,其余均相同,其中两张正面印有“冰墩墩”图案,一张正面印有“雪容融”图案,将三张卡片正面向下洗匀,从中随机一次性抽取两张卡片,则抽出的两张卡片正面都印有“冰墩墩”图案的概率是()A.13 B.12 C.495.(2021·重庆期末)一个不透明的袋子中装有3个白球,2个黑球,它们除颜色外都相同.将球摇匀后,从中随机摸出一个球,记下颜色后不放回,再随机摸出一个球.两次摸到的球颜色相同的概率是()A.23 B.25 C.13256.(2022·河南许昌一中月考)某市教委部门高度重视自然灾害中的安全教育,要求各级各类学校从认识安全警示标志入手开展安全教育活动.某数学兴趣小组准备了4张印有安全警示标志的卡片,正面图案如图所示,它们除此之外完全相同,把这4张卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取两张卡片,则这两张卡片上的正面图案中有一张是轴对称图形的概率是()A.12 B.13 C.147.(2021·辽宁铁岭期末)若从1,2,3,4这四个数字中任选一个记为a,再从这四个数字中任选一个记为c,则关于x的一元二次方程ax2+4x+c=0没有实数根的概率为()A.14 B.13 C.128.(2022·江苏南京鼓楼区期中)如图是用画树状图的方法画出的某个试验的所有可能发生的结果,则这个试验不可能是()A.在一个不透明的袋中有3个除颜色外完全相同的小球,其中2个黑球,1个白球,从中随机取出2个球B.小明,小王两个人分别去买一个盲盒,在三款盲盒中买到同一款盲盒C.从某学习小组的两名男生和一名女生中随机选取两名学生进行竞答D.体育测试中,随机从足球、篮球、排球三个项目中选择两个项目二、填空题(共5小题,每小题4分,共20分)9.(2022·北京期末)经过某个十字路口的汽车,可能直行,也可能向左转或向右转.如果这三种可能性大小相同,那么甲汽车经过这个十字路口时,向右转的概率是.

10.为积极响应“无偿献血,传递温暖”的号召,某高校一寝室的4个同学参与到爱心献血的活动中,他们其中有2个A型血,1个B型血,还有1个O型血,现从该寝室随机抽取2个同学参与第一批次献血,则2个同学都是A型血的概率为.

11.(2021·广东汕头潮阳区模拟)在如图所示的电路图中,随机闭合开关S1,S2,S3中的两个,能让灯泡L1发光的概率是.

12.(2022·辽宁锦州期中)一张纸片上有一个不规则的图案,小雅想了解该图案的面积是多少,她采取了以下的试验办法:用一个长为5cm,宽为3cm的长方形,将不规则图案围起来如图(1)所示,然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球,并记录小球落在不规则图案内的次数(球落在界线上或长方形区域外不计入试验结果),她将若干次有效试验的结果绘制成了图(2)所示的折线统计图,由此她估计此不规则图案的面积为cm2.(结果保留整数)

图(1)图(2)13.(2021·江苏镇江中考)一只不透明的袋子中装有1个黄球,现放若干个红球进去,它们与黄球除颜色外都相同,搅匀后从中任意摸出两个球,若使得P(摸出一红一黄)=P(摸出两红),则放入的红球个数为.

三、解答题(共6小题,共56分)14.(8分)近几年,各式各样的共享经济模式在各个领域迅速普及应用,如图是某同学收集的四个共享经济领域的图标,将收集到的图标制成编号为A,B,C,D的四张卡片(除编号和内容外,其余完全相同),背面朝上,洗匀放好.(1)从中随机抽取一张,抽到的卡片上的图标恰好是“共享知识”的概率为;

(2)从中随机抽取一张卡片,放回后洗匀,再从中随机抽取一张卡片,请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片上的图标恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率.15.(8分)某商场在“五一”促销活动中规定,顾客每消费100元就能获得一次抽奖机会.为了活跃气氛,设计了两种抽奖方案.方案一:转动转盘A一次,指针指向红的部分可领取一份奖品.方案二:转动转盘B两次,两次指针都指向红的部分可领取一份奖品.(两个转盘都被平均分成3份,若指针指向分界线,则重转)(1)转动一次转盘A,获得奖品的概率是;

(2)如果你获得一次抽奖机会,你会选择哪种方案?请用列表法或画树状图法说明理由.16.(9分)(2022·辽宁抚顺新抚区期末)一个黑箱子里装有红、白两种颜色的球共4只,它们除颜色外,其他都相同.小明将球搅匀后从箱子中随机摸出一个球,记下颜色,再把它放回,不断重复试验,根据多次试验结果画出如下的折线统计图.(1)当试验次数很大时,摸到白球的频率将会接近(精确到0.01),从箱子中摸一次球,摸到红球的概率是;

(2)从该箱子里随机摸出一个球,不放回,再摸出一个球.用画树状图法或列表法求摸到一个红球和一个白球的概率.17.(10分)甲、乙、丙、丁四名同学进行一次乒乓球单打比赛,要从中选两位同学打第一场比赛.(1)请用画树状图法或列表法求出恰好选中甲、乙两位同学的概率;(2)请利用若干个除颜色外其他都相同的球,设计一个摸球试验(至少摸两次),并根据该试验写出一个发生概率与(1)中所求概率相同的事件.18.(10分)(2021·黑龙江大庆期中)如图(1),一枚质地均匀的正四面体骰子,它有四个面,每个面上分别以1,2,3,4标号;如图(2),等边三角形ABC的三个顶点处各有一个圆圈.明明和亮亮想玩跳圈游戏,游戏的规则为:游戏者从圈A起跳,每投掷一次骰子,骰子着地的一面点数是几,就沿着三角形的边逆时针方向连续跳跃几个边长.如:若第一次掷得点数为2,就逆时针连续跳2个边长,落到圈C;若第二次掷得点数为4,就从圈C继续逆时针连续跳4个边长,落到圈A.(1)明明随机掷一次骰子,她跳跃后落到圈A的概率为;

(2)明明和亮亮一起玩跳圈游戏:明明随机投掷一次骰子,亮亮随机投掷两次骰子,以最终落到圈A为胜者.这个游戏公平吗?请说明理由.图(1)图(2)19.(11分)(2021·辽宁本溪期末)为了解学生对食品安全知识的了解情况,学校随机抽取了部分学生进行问卷调查,将调查结果按照“A:非常了解,B:了解,C:了解较少,D:不了解”四类分别进行统计,并绘制了下列两幅统计图(不完整).请根据图中信息,解答下列问题:(1)此次共调查了名学生;扇形统计图中D所在扇形的圆心角为;

(2)将上面的条形统计图补充完整;(3)若该校共有800名学生,请你估计对食品安全知识“非常了解”的学生的人数;(4)现有“非常了解”的男生2名,女生2名,从这4名学生中随机抽取2名学生进行座谈,刚好抽到同性别学生的概率是多少?第三章概率的进一步认识12345678BDCABACB9.110.111.112.613.31.B抛掷硬币“正面向上”的概率为0.5,那么掷一枚质地均匀的硬币10次,可能有5次正面向上.2.D画树状图如图所示,可知共有6种等可能的结果,恰好拿到红色帽子和红色围巾的结果有1种,∴恰好拿到红色帽子和红色围巾的概率为163.C设袋子中白棋子有x个,根据题意,得x20=0.6,解得x=12,∴袋子中白棋子的个数最有可能是124.A把两张正面印有“冰墩墩”图案的卡片分别记为A1,A2,正面印有“雪容融”图案的卡片记为B,根据题意画树状图如下:从树状图可知,共有6种等可能的结果,其中抽出的两张卡片正面都印有“冰墩墩”图案的结果有2种,故P(抽出的两张卡片正面都印有“冰墩墩”图案)=26=15.B画树状图如图:由树状图可知,共有20种等可能的结果,两次摸到的球颜色相同的结果有8种,∴两次摸到的球颜色相同的概率为820=26.A把4张卡片从左到右依次标记为A,B,C,D,画树状图如图所示:由树状图可知,共有12种等可能的结果,因为只有C卡片上的正面图案是轴对称图形,所以这两张卡片上的正面图案中有一张是轴对称图形的结果有6种,故P(这两张卡片上的正面图案中有一张是轴对称图形)=612=17.C画树状图如图:由树状图可知,共有16种等可能的结果,其中使Δ=42-4ac<0,即ac>4的结果有8种,∴关于x的一元二次方程ax2+4x+c=0没有实数根的概率为816=18.B在一个不透明的袋中有3个除颜色外完全相同的小球,其中2个黑球,1个白球,从中随机取出2个球,设A,B表示黑球,C表示白球,则可画出题中的树状图;从某学习小组的两名男生和一名女生中随机选取两名学生进行竞答,设A,B表示男生,C表示女生,则可画出题中的树状图;体育测试中,随机从足球、篮球、排球三个项目中选择两个项目,设A表示足球,B表示篮球,C表示排球,则可画出题中的树状图;而小明,小王两个人分别去买一个盲盒,在三款盲盒中买到同一款盲盒,设A,B,C分别表示三款盲盒,树状图为:9.110.16列表如下AABOA(A,A)(A,B)(A,O)A(A,A)(A,B)(A,O)B(B,A)(B,A)(B,O)O(O,A)(O,A)(O,B)由表可知共有12种等可能的结果,其中2个同学都是A型血的结果有2种,∴P(2个同学都是A型血)=212=111.13根据题意画出树状图如下由树状图可知,共有6种等可能的情况,其中能让灯泡L1发光的情况有2种,即S1S2,S2S1,所以能让灯泡L1发光的概率为26=112.6假设不规则图案的面积为xcm2,由题意得长方形的面积为15cm2,当事件A试验次数足够多,即样本足够大时,其频率可估计事件A发生的概率,故由题中折线统计图可知,小球落在不规则图案内的概率大约为0.4,所以x15=0.4,解得x=6,所以估计此不规则图案的面积为6cm213.3假设袋中的红球个数为1,此时袋中有1个黄球、1个红球,搅匀后从中任意摸出两个球,P(摸出一红一黄)=1,P(摸出两红)=0,不符合题意;假设袋中的红球个数为2,画树状图如下:由树状图可知,共有6种等可能的结果,其中两次摸到红球的结果有2种,摸出一红一黄的结果有4种,∴P(摸出一红一黄)=46=23,P(摸出两红)=26=1假设袋中的红球个数为3,画树状图如下:由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中两次摸到红球的结果有6种,摸出一红一黄的结果有6种,∴P(摸出一红一黄)=P(摸出两红)=612=12,符合题意,∴14.【参考答案】(1)14(3分)(2)根据题意画出如图所示的树状图:由树状图可知,共有16种等可能的结果,其中抽到的两张卡片上的图标是“共享出行”和“共享知识”的结果有2种,所以抽到的两张卡片上的图标是“共享出行”和“共享知识”的概率是216=18.(15.【参考答案】(1)13(3分)(2)选择方案二.(4分)理由:画树状图如下.由树状图可知,共有9种等可能的结果,其中两次指针都指向红的部分的结果有4种,所以P(转动转盘B两次,领取一份奖品)=49.(6分)由(1)知转动转盘A一次,领取一份奖品的概率是13因为13<4所以选择方案二.(8分)16.【解题思路】(1)当试验次数达到1500次时,摸到白球的频率接近于0.75,由此可估计摸到红球的概率;(2)先根据(1)的结论求出白球的个数和红球的个数,再列表得出所有等可能的结果,从中找到符合条件的结果,进而可求得概率.【参考答案】(1)0.7514(4分)解法提示:由折线统计图可知,当试验次数很大时,摸到白球的频率将会接近0.75,从箱子中摸一次球,摸到红球的概率为1-0.75=0.25=14(2)由(1)知,箱中白球的个数为4×0.75=3,则红球的个数为4-3=1,列表如下:白白白红白(白,白)(白,白)(红,白)白(白,白)(白,白)(红,白)白(白,白)(白,白)(红,白)红(白,红)(白,红)(白,红)由表知,共有12种等可能的结果,其中摸到一个红球和一个白球的结果有6种,∴摸到一个红球和一个白球的概率为612=12.(9分17.【参考答案】(1)根据题意,画树状图如下:(3分)由树状图,可知共有12种等可能的结果,其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有2种,所以P(恰好选中甲、乙两位同学)=212=16.(5分(2)答案不唯一.如:在一个不透明的袋子中,放入四个除颜色外其他都相同的球,它们的颜色分别为白、黄、粉、橙,从袋中随机摸出一个球记下颜色,不放回,再从袋中随机摸出一个球,记下颜色.事件:两次摸出的球一个是白球,一个是粉球.(10分)18.【参考答案】(1)14(3分)(2)这个游戏不公平.(4分)理由:画树状图如图,共有16种等可能的结果,其中亮亮随机投掷两次骰子,最终落到圈A的结果数为5,即共跳3个边长或6个边长,所以P(亮亮随机投掷两次骰子,最终落回到圈A)=516.(8分)因为14<5所以这个游戏不公平.(10分)19.【参考答案】(1)12054°(2分)解法提示:(25+23)÷40%=120(名),360°×10+8120=54(2)D所占的百分比为(10+8)÷120×100%=15%,A中的人数为120×(1-40%-20%-15%)=30(名),其中男生有30-16=14(名),C中的人数为120×20%=24(名),其中女生有24-12=12(名).补全条形统计图如图所示:(4分)(3)800×(1-40%-20%-15%)=200(名),答:估计对食品安全知识“非常了解”的学生的人数为200.(7分)(4)画树状图:由树状图可知,共有12种等可能的结果,抽到同性别学生的结果有4种,所以P(刚好抽到同性别学生)=412=13.(11分第四章图形的相似时间:90分钟满分:100分一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)1.(2022·辽宁沈阳沈河区期末)已知ab=32,那么下列等式中正确的是(A.a+bb=53 C.2a=3b D.a2=2.(2022·上海青浦区期末)下列图形,一定相似的是()A.两个直角三角形 B.两个等腰三角形C.两个等边三角形 D.两个菱形3.如图,AB∥CD∥EF,AF,BE相交于点G,下列比例式错误的是()A.ADDF=BCCE B.AGC.GCGE=GDGF D.AB(第3题)(第4题)4.(2022·山东青岛期中)如图,把一张矩形纸片对折两次得到四个小矩形,如果每个小矩形都与原矩形相似,那么原矩形纸片的长与宽之比为()A.2∶1 B.2∶1 C.3∶1 D.4∶15.在△ABC与△DEF中,∠A=∠D=60°,ABDF=ACDE.如果∠B=50°,那么∠E=(A.80° B.70° C.60° D.50°6.(2022·吉林长春南关区期末)大约在两千四五百年前,墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验如图(1).并在《墨经》中有这样的精彩记录:“景到,在午有端,与景长,说在端.”在如图(2)所示的小孔成像实验中,若物距为10cm,像距为15cm,蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm,则蜡烛火焰的高度是()图(1)图(2)A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm7.如图,△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6,其中∠A与∠B不相等.将△ABC沿下列选项的图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是()A BC D8.(2022·天津和平区期末)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A在第二象限,点B的坐标为(-2,0),点C的坐标为(-1,0),以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C.若点A的对应点A'的坐标为(2,-3),点B的对应点B'的坐标为(1,0),则点A的坐标为()A.(-3,2) B.(-3,32C.(-52,32) D.(-529.(2022·河北邢台信都区期中)如图,有一块形状为直角三角形的余料ABC.已知∠A=90°,AB=6cm,AC=8cm,要把它加工成一个平行四边形工件DEFG,使GF在边BC上,D,E两点分别在边AB,AC上,且DE=5cm,则▱DEFG的面积为()A.24cm2 B.12cm2C.9cm2 D.6cm2(第9题)(第10题)10.(2021·四川绵阳中考)如图,在△ACD中,B是CD上的点,AD=6,BC=5,AC2=AB(AB+BC),且△DAB∽△DCA,若AD=3AP,点Q是线段AB上的动点,则PQ的最小值是()A.72 B.65 C.55二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分)11.如图,在△ABC中,P为AB上的一点,补充条件,使△APC∽△ACB,这个条件可以是.(写出一个即可)

12.如图,点C,D在线段AB上,△PCD是等边三角形.当△ACP∽△PDB时,∠APB=°.

(第12题)(第13题)13.(2022·上海嘉定区期末)如图,在△ABC中,DE∥BC,DF∥AC,AD=3,BD=2,那么BF∶DE的值是.

14.(2021·北京五中月考)如图,矩形ABCD由三个全等的矩形拼成,AC与DE,FE,FG,HG,HB分别交于点P,Q,K,M,N,设△EPQ,△GKM,△BNC的面积依次为S1,S2,S3.若S1+S3=40,则S2的值为.

(第14题)(第15题)15.如图,矩形ABCD中,AB=3cm,AD=8cm.点P在BC上,连接PD,折叠矩形,点B与点C都恰好落在PD上的点F处,折痕是PQ,PR,AB的对应线段EF与AD交于点G,则线段DG的长度是.

三、解答题(共6小题,共55分)16.(8分)(2021·山东济宁鱼台实验中学月考)方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,△ABC的顶点都在格点上,在方格纸上建立如图所示的平面直角坐标系.(1)以原点O为位似中心,将△ABC缩小,使变换后得到的△A1B1C1与△ABC对应边的比为1∶2.请在网格内画出△A1B1C1.(2)点A1的坐标为.

17.(8分)(2022·浙江温州瑞安期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,DE∥BC,BE⊥AB.(1)求证:△DEB∽△BAC;(2)若AB=6,AC=2,求S△DEB18.(9分)如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E,F分别在BC,AB,AC上,∠EDF=∠B.(1)如图(1),求证:DE·CD=DF·BE.(2)若D为BC的中点,如图(2),连接EF.求证:ED平分∠BEF.图(1)图(2)19.(9分)(2022·江苏无锡宜兴树人中学月考)为了测量学校旗杆的高度AB,数学兴趣小组带着标杆和皮尺来到操场进行测量,测量方案如下:如图,首先小红在C处放置一平面镜,她从点C沿BC后退,当退行1.8米到D处时,恰好在镜子中看到旗杆顶点A的像,此时测得小红眼睛到地面的距离ED为1.5米;然后小明在F处竖立了一根高1.6米的标杆FG,发现地面上的点H、标杆顶点G和旗杆顶点A在一条直线上,此时测得FH为2.4米,DF为3.3米.已知AB⊥BH,ED⊥BH,GF⊥BH,点B,C,D,F,H在一条直线上.(1)求ABBC的值(2)请根据以上所测数据,计算学校旗杆AB的高度.20.(10分)(2021·山东聊城期中)如图,四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形,C,F,G三点在同一直线上,连接BE,AC,AF,并延长AF交CD于点M.(1)求证:△MFC∽△MCA.(2)求证:△ACF∽△ABE.(3)若DM=1,CM=2,求正方形AEFG的边长.21.(11分)(1)问题发现如图(1),在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M.填空:①ACBD的值为②∠AMB的度数为.

(2)类比探究如图(2),在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC,交BD的延长线于点M.请判断ACBD的值及∠AMB的度数,并说明理由(3)拓展延伸在(2)的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M.若OD=1,OB=7,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.图(1)图(2)备用图第四章图形的相似12345678910CCDBBADCBA11.∠ACP=∠B(或∠APC=∠ACB,APAC=ACAB,12.12013.2∶314.1615.541.C(特殊值法)∵ab=32,∴令a=3,b=2,则a+bb=3+22=52,a-bb=3-22=2.C3.D由AB∥CD∥EF,得ADDF=BCCE,所以A选项中的比例式正确;由AB∥CD,得△ABG∽△DCG,所以AGGD=BGCG,所以B选项中的比例式正确;由CD∥EF,得△GCD∽△GEF,所以GCGE=GDGF,所以C选项中的比例式正确;由AB∥EF,得△ABG∽△FEG,4.B设原矩形纸片的长为x,宽为y,∴小矩形的长为y,宽为x4.∵小矩形与原矩形相似,∴x4y=yx,∴x∶y=5.B∵∠A=∠D=60°,ABDF=ACDE,∴△ABC∽△DFE,∴∠F=∠B=50°,∴∠E=180°-60°-50°=6.A设蜡烛火焰的高度是xcm,根据相似三角形对应高的比等于相似比得到1015=x9,解得x=6.7.DA,B选项中,阴影三角形与原三角形的两角分别相等,故两三角形相似;C选项中,两三角形两边成比例且夹角相等,故两三角形相似;D选项中,两三角形夹角相等的两边不成比例,故两三角形不相似.8.C如图,过点A作AE⊥x轴于点E,过点A'作A'F⊥x轴于点F.∵B(-2,0),C(-1,0),B'(1,0),A'(2,-3)∴OB=2,OC=OB'=1,OF=2,A'F=3,∴BC=1,CB'=2,CF=3.∵△ABC∽△A'B'C,∴AEA'F=BCCB'=12,∴AE=32.∵∠ACE=∠A'CF,∠AEC=∠A'FC=90°,∴△AEC∽△A'FC,∴ECCF=AEA'F=12,∴EC=39.B如图,过点A作AM⊥BC于点M,交DE于点N.∵∠BAC=90°,AB=6cm,AC=8cm,∴BC=62+82=10(cm),∴AM=6×810=4.8(cm).∵四边形DEFG是平行四边形,∴DE∥BC,FG=DE=5cm,∴△ADE∽△ABC,∴ANAM=DEBC=510,∴AN=MN=2.4cm,∴S▱DEFG=5×2.10.A∵△DAB∽△DCA,AD=6,BC=5,∴ADDC=BDAD,∴65+BD=BD6,解得BD=4(负值已舍去),∴CD=5+4=9.∵△DAB∽△DCA,∴ACAB=CDAD=96=32,∴AC=32AB.∵AC2=AB(AB+BC),∴(32AB)2=AB(AB+5),解得AB=4或AB=0(舍去),∴AB=BD=4.如图,过点B作BH⊥AD于点H,则AH=12AD=3，∴BH=AB2-AH2=42-32=7.∵AD=3AP,∴AP=2.当PQ⊥AB时,PQ的值最小.∵∠AQP=∠AHB=90°,∠PAQ=11.∠ACP=∠B(或∠APC=∠ACB,APAC=ACAB,12.120∵△ACP∽△PDB,∴∠A=∠BPD.∵△PCD是等边三角形,∴∠PCD=∠CPD=60°,∴∠A+∠APC=60°,∴∠APC+∠BPD=60°,∴∠APB=∠APC+∠CPD+∠BPD=120°.13.2∶3∵DE∥BC,∴∠B=∠ADE.∵DF∥AC,∴∠BDF=∠A,∴△DBF∽△ADE,∴BFDE=BDAD.∵BD=2,AD=3,∴BFDE=23,∴BF∶DE14.16∵矩形ABCD是由三个全等的矩形拼成,∴∠DEF=∠FGH=∠HBC.∵FE∥HG∥CB,∴∠AQE=∠AMG=∠ACB,∴△EPQ∽△GKM∽△BNC.∵QE∥MG,∴△AEQ∽△AGM,∴QEMG=AEAG=12,∴S1S2=(QEMG)2=14.∴S1=14S2.同理可得S3=94S2.∵S1+S3=40,∴14S2+15.54cm∵矩形ABCD中,AB=3cm,AD=8cm,∴CD=3cm,BC=8cm.由折叠可得,BP=FP=CP=4cm.在Rt△PCD中,PD=PC2+DC2=42+32=5(cm),∴DF=PD-PF=5-4=1(cm).∵AD∥BC,∴∠ADP=∠DPC.∵∠DFG=∠RFP=∠C=90°,∴△DFG∽△PCD,∴DGPD16.【参考答案】(1)如图,△A1B1C1即为所作.(6分)(2)(1,1)或(-1,-1)(8分)17.【解题思路】(1)由DE∥BC得,∠EDB=∠ABC,根据垂直说明∠EBD=∠C=90°,即可得出结论.(2)先由勾股定理求出BC的长,再由相似三角形的面积比等于相似比的平方,即可求得结论.【参考答案】(1)证明:∵∠C=90°,BE⊥AB,∴∠EBD=∠C=90°.(2分)∵DE∥BC,∴∠EDB=∠ABC,∴△DEB∽△BAC.(4分)(2)由勾股定理得BC=AB2-AC2=62∵D是AB的中点,AB=6,∴DB=3,∵△DEB∽△BAC,∴S△DEBS△BAC=(DBBC)2=(342)18.【参考答案】(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠B+∠BDE+∠DEB=180°,∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°,∠EDF=∠B,∴∠DEB=∠FDC,∴△BDE∽△CFD,∴DEDF=BE即DE·CD=DF·BE.(5分)(2)由(1),可知BECD=DE∵D为BC的中点,∴BD=CD,∴BEBD=