2025版高考数学一轮复习核心素养测评三十八8.3等比数列文含解析北师大版

PAGE核心素养测评三十八等比数列(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知数列a,a(1-a),a(1-a)2,…是等比数列,则实数a满意的条件是 ()A.{a|a≠1} B.{a|a≠0或a≠1}C.{a|a≠0} D.{a|a≠0且a≠1}【解析】选D.由等比数列定义可知a≠0且1-a≠0,即a≠0且a≠1.【变式备选】数列{an}满意:an+1=λan-1(n∈N*,λ∈R且λ≠0),若数列{an-1}是等比数列,则λ的值等于 ()A.1B.-1C.12【解析】选D.由an+1=λan-1,得an+1-1=λan-2=λ(an-2λ).由于数列{an-1}是等比数列,所以2λ=1,2.公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了闻名的阿基里斯悖论.他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处起先,和阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当竞赛起先后,若阿基里斯跑了1000米,此时乌龟便领先他100米;当阿基里斯跑完下一个100米时,乌龟仍旧领先他10米;当阿基里斯跑完下一个10米时,乌龟仍旧领先他1米……所以阿基里斯恒久追不上乌龟.依据这样的规律,若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10-2米时,A.104-1C.105-990【解析】选B.由题意知,乌龟每次爬行的距离(单位:米)构成等比数列an,且首项a1=100,公比q=110,易知a5=10-2,则乌龟爬行的总距离(单位:米)为S5=100-10-3.已知各项不为0的等差数列{an}满意a6-a72+a8=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b2·b8·bA.1 B.2 C.4 【解析】选D.由等差数列的性质得a6+a8=2a7.由a6-a72+a8=0可得a7=2,所以b7=a7=2.由等比数列的性质得b2b8b11=b2b7b12=b7【变式备选】已知方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根组成以12为首项的等比数列,则mnA.32B.32C.23 D.【解析】选B.设a,b,c,d是方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根,不妨设a<c<d<b,则a·b=c·d=2,a=12,故b=4,依据等比数列的性质,得到:c=1,d=2,则m=a+b=92,n=c+d=3或m=c+d=3,n=a+b=92,则mn=324.已知等比数列{an}的前n项和为Sn=a·2n-1+16,则a的值为A.-13 B.13 C.-12【解析】选A.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=a·2n-1-a·2n-2=a·2n-2,当n=1时,a所以a+16=a2,所以a=-【变式备选】已知数列{an}的前n项和Sn=Aqn+B(q≠0),则“A=-B”是“数列{an}是等比数列”的 ()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选B.若A=B=0,则Sn=0,故数列{an}不是等比数列;若数列{an}是等比数列,则a1=Aq+B,a2=Aq2-Aq,a3=Aq3-Aq2,由a3a2=a5.已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q,则q的一个可能值为 世纪金榜导学号()A.12 B.35 C.58【解析】选C.设三角形的三边分别为a,aq,aq2,其中q>0.则由三角形三边不等关系知:当q>1时.a+aq>a·q2,即q2-q-1<0,所以1-52<q<1+52当0<q<1时.a为最大边.aq+a·q2>a,则q2+q-1>0,所以q>5-12或所以5-当q=1时,满意题意,综上知,C满意题意.【变式备选】在递增的等比数列{an}中,已知a1+an=34,a3·an-2=64,且前n项和Sn=42,则n等于 ()A.3 B.4 C.5 【解析】选A.因为{an}为等比数列,所以a3·an-2=a1·an=64.又a1+an=34,所以a1,an是方程x2-34x+64=0的两根,解得a1=2又因为{an}是递增数列,所以a由Sn=a1-a解得q=4.由an=a1qn-1=2×4n-1=32,解得n=3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=52,a2+a4=54,则Sn【解析】设{an}的公比为q,因为a1+由①②可得1+q2q+q3=2,所以q=12,将q=所以an=2×12n-1=42n,所以Sn=2×1-1答案:2n-1【变式备选】在等比数列{an}中,已知a1=-1,a4=64,则q=,S4=.

【解析】因为a4=a1·q3,所以q3=-64,q=-4,S4=-1×[答案:-4517.(2024·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=13,a42=a6,则S5【解析】设等比数列的公比为q,由已知a1=13,a42=a6,所以13q32=13q5,又q≠0,所以q=3,所以S答案:121【变式备选】等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=74,S6=634,则a8=【解析】设等比数列{an}的公比为q,则由S6≠2S3得q≠1,则S3=a1(1-q3)1-q=74,S6=a1(1-q6)1-q答案:328.等比数列的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log【解析】由等比数列的性质可知a1a5=a2a4=a32,于是由a1a5=4得a3=2,故a1a2a3a4a5=32,则log2a1+log2a2+log2a答案:5三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2024·全国卷Ⅲ)等比数列an中,a1=1,a5=4a3. (1)求an的通项公式(2)记Sn为an的前n项和.若Sm=63,求【解析】(1)设{an}的公比为q,由题设得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.(2)若an=(-2)n-1,则Sn=1-(-由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得综上,m=6.10.设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且数列{Sn}是以2为公比的等比数列. 世纪金榜导学号(1)求数列{an}的通项公式.(2)求a1+a3+…+a2【解析】(1)因为S1=a1=1,且数列{Sn}是以2为公比的等比数列,所以Sn=2n-1,又当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-2n-2=2n-2.当n=1时,a1=1,不适合上式.所以an=1(2)a3,a5,…,a2n+1是以2为首项,4为公比的等比数列,所以a3+a5+…+a2n+1=2(1-4n)1-4=2(15分钟35分)1.(5分)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗.羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主子要求赔偿5斗粟.羊主子说:“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主子说:“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”准备按此比率偿还,他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主子各应偿还粟a升,b升,c升,1斗为10升,则下列推断正确的是A.a,b,c成公比为2的等比数列,且a=50B.a,b,c成公比为2的等比数列,且c=50C.a,b,c成公比为12的等比数列,且a=D.a,b,c成公比为12的等比数列,且c=【解析】选D.由题意可得,a,b,c成公比为12的等比数列,b=12a,c=12b,三者之和为50升,故4c+2c+c=50,【变式备选】已知等比数列{an}的公比q=2,前100项和为S100=90,则其偶数项a2+a4+…+a100为 ()A.15B.30C.45D.60【解析】选D.S100=a1+a2+…+a100=90,设S=a1+a3+…+a99,则2S=a2+a4+…+a100,所以S+2S=90,S=30,故a2+a4+…+a100=2S=60.2.(5分)在等比数列{an}中,a2,a16是方程x2-6x+2=0的根,则a2a16A.-2+22 C.2 D.-2或2【解析】选D.由题意可得a2a16=2,又由等比数列的性质可知a2a16=a92=2,所以a9=±2,所以a2a16【变式备选】在等比数列{an}中,a3,a15是方程x2+6x+2=0的两根,则a2aA.-2+22C.2 D.-2或2【解析】选B.设等比数列{an}的公比为q,因为a3,a15是方程x2+6x+2=0的根,所以a3·a15=a92=2,a3+a15=-6,所以a3<0,a15<0,则a9=-2,所以a2a16a93.(5分)(2024·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=1,S3=34,则S4=【解析】设等比数列的公比为q,由已知S3=a1+a1q+a1q2=1+q+q2=34,即q2+q+1解得q=-12,所以S4=a1(1-答案:5【变式备选】设{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和,若{Sn}是等差数列,则q为.

【解析】若q=1,则Sn=na1,所以{Sn}是等差数列;若q≠1,则当{Sn}是等差数列时,肯定有2S2=S1+S3,所以2·a1(1-q即q3-2q2+q=0,故q(q-1)2=0,所以q=0或q=1,而q≠0,q≠1,所以此时不成立.综上可知,q=1.答案:14.(10分)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,若a1=1,a2a4=16. (1)设bn=log2an,求数列{bn}的通项公式.(2)求数列{an·bn}的前n项和Sn.【解析】(1)因为a1=1,a2·a4=16,由等比数列的性质可得,a2·a4=a32=16且a所以a3=4,所以q2=a3a1=4,所以q=2或所以an=2n-1,因为bn=log2an=log22n-1=n-1,所以bn=n-1.(2)由(1)得an·bn=(n-1)·2n-1,Sn=0·20+1·21+2·22+…+(n-1)·2n-1①2Sn=0·21+1·22+…+(n-2)·2n-1+(n-1)·2n②①-②得-Sn=2+22+23+…+2n-1-(n-1)·2n=2-2n1=2n(2-n)-2所以Sn=(n-2)·2n+2.5.(10分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=Sn+n2(n∈(1)若数列{an+t}是等比数列,求t的值.(2)求数列{an}的通项公式.【解析】(1)当n=1时,由a1=S1+12=a1当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1+(n-1),即an=2an-1+1,所以a2=3,a3=7.依题意得(3+t)2=(1+t)(7+t),解得t=1,当t=1时,an+1=2(an-1+1),n≥2,即{an+1}为等比数列成立,故实数t的值为1.(2)由(1)知当n≥2时,an+1=2(an-1+1),又因为a1+1=2,所以数列{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列,所以an+1=2×2n-1=2n,所以an=2n-1.【变式备选】1.已知在正项数列{an}中,a1=2,点An(an,an+1)在双曲线y2-x2=1上,数列{bn}中,点(bn,Tn)在直线y=-12x+1上,其中Tn是数列{bn}(1)求数列{an}的通项公式.(2)求证:数列{bn}是等比数列.【解析】(1)由点An在y2-x2=1上知an+1-an=1,所以数列{an}是一个以2为首项,1为公差的等差数列,所以an=a1+(n-1)d=2+n-1=n+1.(2)因为点(bn,Tn)在直线y=-12x+1上所以Tn=-12bn所以Tn-1=-12bn-1+1(n≥①-②得bn=-12bn+12bn-1(n所以32bn=12bn-1,所以bn=13bn-1在①式中令n=1,得T1=b1=-12b1+1,所以b1=23,所以{bn}是一个以23为首项,以2.已知首项为32的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),且-2S2,S3,4S4成等差数列(1)求数列{an}的通项公式.(2)证明:Sn+1Sn≤136(n∈【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,因为-2S2,S3,4S4成等差数列,所以2S3=4S4-2S2,即S3=2S4-S2,即S4-S3=S2-S4,可得2a4=-a3,于是q=a4a3又a1=32,所以等比数列{an}an=32×-12n-(2)由(1)知,Sn=1--1Sn+1Sn=1--=2+当n为奇数时,Sn+1Sn随n所以Sn+1Sn≤S1+1S当n为偶数时,Sn+1Sn随n所以Sn+1Sn≤S2+1S故对于n∈N*,有Sn+1Sn≤1.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从其次个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为 世纪金榜导学号A.32fB.322fC.12【解析】选D.这13个单音构成了一个以f为首项,122为公比的等比数列,所以an=a1qn-1=f·(2112)n-1,即a82.(2024·郑州模拟)设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn,且an=a若Sm>2020,则正整数m