2024秋新教材高中数学课时跟踪检测二十三球的表面积和体积新人教A版必修第二册

PAGEPAGE2球的表面积和体积层级(一)“四基”落实练1．直径为6的球的表面积和体积分别是 ()A．144π，144π B．144π，36πC．36π，144π D．36π，36π解析：选D因为半径R＝3.所以S表＝4πR2＝36π，V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4π,3)×27＝36π.故选D.2．把半径分别为6cm,8cm,10cm的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为()A．3cm B．6cmC．8cm D．12cm解析：选D由eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π·63＋eq\f(4,3)π·83＋eq\f(4,3)π·103，得R3＝1728，检验知R＝12.故选D.3．若两个球的半径之比为1∶3，则两个球的表面积之比为 ()A．1∶9 B．1∶27C．1∶3 D．1∶1解析：选A由表面积公式知，两球的表面积之比为Req\o\al(2,1)∶Req\o\al(2,2)＝1∶9.故选A.4．等体积的球和正方体的表面积S球与S正方体的大小关系是 ()A．S正方体>S球 B．S正方体<S球C．S正方体＝S球 D．无法确定解析：选A设正方体的棱长为a，球的半径为R，由题意，得V＝eq\f(4,3)πR3＝a3，∴a＝eq\r(3,V)，R＝eq\r(3,\f(3V,4π))，∴S正方体＝6a2＝6eq\r(3,V2)＝eq\r(3,216V2)，S球＝4πR2＝eq\r(3,36πV2)<eq\r(3,216V2).故选A.5．设正方体的表面积为24cm2，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是()A.eq\r(6)πcm3 B.eq\f(32,3)πcm3C.eq\f(8,3)πcm3 D.eq\f(4,3)πcm3解析：选D由正方体的表面积为24cm2，得正方体的棱长为2cm，故这个球的直径为2cm，故这个球的体积为eq\f(4,3)πcm3.故选D.6．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．解析：设新的底面半径为r，由题意得eq\f(1,3)×π×52×4＋π×22×8＝eq\f(1,3)×π×r2×4＋π×r2×8，解得r2＝7，所以r＝eq\r(7).答案：eq\r(7)7．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则在图中，可能是截面的是________．解析：在组合体内取截面时，要留意交点是否在截面上，如：当截面过对角面时，得②；当截面平行正方体的其中一个侧面时，得③；当截面不平行于任一侧面且不过对角面时，得①，只要是过球心就不行能截出④.答案：①②③8.如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则eq\f(V1,V2)的值是________．解析：设球O的半径为R，因为球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R、高为2R，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(πR2·2R,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)9．已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，求球的表面积．解：设截面圆心为O′，球心为O，连接O′A，OA，OO′，设球的半径为R，如图．因为O′A＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×2＝eq\f(2\r(3),3).在Rt△O′OA中，OA2＝O′A2＋O′O2，所以R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))2＋eq\f(1,4)R2，所以R＝eq\f(4,3)，所以S球＝4πR2＝eq\f(64,9)π.层级(二)实力提升练1．一飞行昆虫被长为12cm的细绳绑在房间一角，则飞虫活动范围的体积为()A．144πcm3 B．288πcm3C．576πcm3 D．864πcm3解析：选B飞虫活动的范围是以墙角为球心，半径为12cm的球在房间内的部分，即整个球的eq\f(1,8)，∴飞虫活动范围的体积为eq\f(1,8)×eq\f(4,3)×π×123＝288π(cm3)．故选B.2．某同学用球形模具自制棒棒糖．现熬制的糖浆恰好装满一圆柱形容器(底面半径为3cm，高为10cm)，共做了20颗完全相同的棒棒糖，则每个棒棒糖的表面积为________cm2(损耗忽视不计)．解析：圆柱形容器的体积为V圆柱＝π×32×10＝90π.设棒棒糖的半径为r，则每个棒棒糖的体积为V棒棒糖＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(90π,20)＝eq\f(9,2)π，解得r＝eq\f(3,2)，∴S表＝4πr2＝4π×eq\f(9,4)＝9π.答案：9π3．在封闭的直三棱柱ABC­A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是________．解析：当球的半径最大时，球的体积最大．在直三棱柱内，当球和三个侧面都相切时，因为AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，所以AC＝10，底面的内切圆的半径即为此时球的半径r＝eq\f(6＋8－10,2)＝2，直径为4>侧棱．所以球的最大直径为3，半径为eq\f(3,2)，此时体积V＝eq\f(9π,2).答案：eq\f(9π,2)4.如图为长方体与半球拼接的组合体，已知长方体的长、宽、高分别为10,8,15(单位：cm)，球的直径为5cm，求该组合体的体积和表面积．解：依据该组合体是由一个长方体和一个半球组合而成．由已知可得V长方体＝10×8×15＝1200(cm3)．又V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)πR3＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))3＝eq\f(125,12)π(cm3)，所以所求几何体体积V＝V长方体＋V半球＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1200＋\f(125,12)π))cm3.因为S长方体全＝2×(10×8＋8×15＋10×15)＝700(cm2)，故所求几何体的表面积S＝S长方体全＋S半球－S半球底＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(700＋\f(25,4)π))cm2.所以该组合体的体积为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1200＋\f(125,12)π))cm3，表面积为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(700＋\f(25,4)π))cm2.5．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1cm，求球的体积．解：如图所示，作出轴截面，球心O与边BC，AC分别相切于点D，E.连接AD，OE.∵△ABC是正三角形，∴CD＝eq\f(1,2)AC.∵Rt△AOE∽Rt△ACD，∴eq\f(OE,AO)＝eq\f(CD,AC).∵CD＝1cm，∴AC＝2cm，AD＝eq\r(3)cm.设OE＝r，则AO＝eq\r(3)－r，∴eq\f(r,\r(3)－r)＝eq\f(1,2)，∴r＝eq\f(\r(3),3)cm.∴V球＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))3＝eq\f(4\r(3),27)π(cm3)，即球的体积为eq\f(4\r(3),27)πcm3.层级(三)素养培优练1．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图①所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的才智与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽视杯壁厚度)，如图②所示，已知球的半径为R，酒杯内壁表面积为eq\f(14,3)πR2，设酒杯上部分(圆柱)的体积为V1，下部分(半球)的体积为V2，则eq\f(V2,V1)＝ ()A．2 B.eq\f(3,2)C.eq\f(1,2) D．1解析：选C设酒杯上部分高为h，则酒杯内壁表面积S＝eq\f(1,2)×4πR2＋2πRh＝eq\f(14,3)πR2，解得h＝eq\f(4,3)R，∴V1＝πR2h＝eq\f(4,3)πR3，V2＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)πR3＝eq\f(2,3)πR3，∴eq\f(V2,V1)＝eq\f(1,2).2.如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径6cm，高8cm(不含杯脚)，已知水的高度是4cm，现往杯子中放入一种直径为1cm的珍宝，该珍宝放入水中后干脆沉入杯底，且体积不变，假如放完珍宝后水不溢出，求最多可以放入珍宝的个数．解：如图，等腰△ABC中，底边AB＝6cm，高CD＝8cm；等腰△CEF中，底边为EF，高CP＝4cm.∵△CAB∽△CEF，∴eq\f(EF,AB)＝eq\f(CP,CD)，即eq\f(EF,6)＝eq\f