江苏省徐州市2024-2025学年高一数学下学期期中试题含解析

PAGE18-江苏省徐州市2024-2025学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.sin45°cos15°+cos45°sin15°的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用两角和与差的正弦公式求得答案.【详解】解：sin45°cos15°+cos45°sin15°＝sin（45°+15°）＝sin60°，故选：B.【点睛】本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式.属基础题.2.在正方体中，与是（）A.相交直线 B.平行直线C.异面直线 D.相交且垂直的直线【答案】C【解析】【分析】依据异面直线的概念可推断出与是异面直线.【详解】由图形可知，与不同在任何一个平面，这两条直线为异面直线.故选：C.【点睛】本题考查空间中两直线位置关系的推断，熟识异面直线的概念是推断的关键，属于基础题.3.已知：α，β均为锐角，tanα，tanβ，则α+β＝（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】干脆利用三角函数关系式的变换及和角公式的运用求出结果.【详解】解：由于α，β均为锐角，tanα，tanβ，所以.所以.所以故选：B.【点睛】本题考查的学问要点：三角函数关系式的恒等变换，和角公式的运用，主要考查学生的运算实力和转换实力及思维实力，属于基础题型.4.在△ABC中，已知a＝6，b＝8，C＝60°，则△ABC的面积为（）A.24 B.12 C.6 D.12【答案】B【解析】【分析】由已知利用三角形的面积公式即可求解.【详解】解：∵a＝6，b＝8，C＝60°，∴△ABC的面积SabsinC12.故选：B.【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式的应用，属于基础题.5.若，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由，可得，结合，，可得，继而得到，，转化，利用两角差的正弦公式即得解【详解】由题意，故故又，故，则故选：C【点睛】本题考查了两角和与差的正弦公式、同角三角函数关系综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算实力，属于中档题6.已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a，b，c，若bcosC+ccosB＝b，则△ABC肯定是（）A.等腰三角形 B.等边三角形C.等腰直角三角形 D.直角三角形【答案】A【解析】【分析】干脆利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出结果.【详解】解：△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a，b，c，由bcosC+ccosB＝b，依据正弦定理：sinBcosC+sinCcosB＝sinB，整理得sin（B+C）＝sinA＝sinB，故a＝b，则△ABC肯定是等腰三角形.故选：A.【点睛】本题考查的学问要点：正弦定理和三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算实力和转换实力及思维实力，属于基础题型.7.若tanα＝2，则2cos2α+sin2α＝（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解.【详解】解：∵tanα＝2，∴2cos2α+sin2α.故选：D.【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及二倍角公式的应用，是基础题.8.如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，点F在棱PA上，PF＝λAF，若PC∥平面BDF，则λ的值为（）A.1 B. C.3 D.2【答案】A【解析】【分析】连结AC，交BD于O，连结OF，则AO＝OC，再由点F在棱PA上，PF＝λAF，PC∥平面BDF，能求出OF∥PC，【详解】解：连结AC，交BD于O，连结OF∵四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，∴AO＝OC，∵点F在棱PA上，PF＝λAF，PC∥平面BDF，∴OF∥PC，∴λ＝1.故选：A.【点睛】本题考查实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础学问，考查运算求解实力，是中档题.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列各式中，值为的是（）A.2sin15°cos15° B.C.1﹣2sin215° D.【答案】BCD【解析】【分析】利用二倍角公式结合三角函数的值逐一求解四个选项得答案.【详解】解：对于选项A，2sin15°cos15°＝sin30；对于选项B，；对于选项C，1﹣2sin215°＝cos30；对于选项D，.∴值为的是BCD.故选：BCD.【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查二倍角公式的应用，是基础题.10.依据下列条件解三角形，有两解的有（）A.已知a，b＝2，B＝45° B.已知a＝2，b，A＝45°C.已知b＝3，c，C＝60° D.已知a＝2，c＝4，A＝45°【答案】BD【解析】【分析】干脆利用三角形的解的状况的判定理的应用和正弦定理的应用求出结果.【详解】解：对于选项A：由于a，b＝2，B＝45°，利用正弦定理，解得sinA，由于a＜b，所以A，所以三角形有唯一解.对于选项B：已知a＝2，b，A＝45°，利用正弦定理，解得,又,则或，故三角形有两解.对于选项C：已知b＝3，c，C＝60°，所以利用正弦定理，所以sinB＝1.5＞1，故三角形无解.对于选项D：已知a＝2，c＝4，A＝45°，由于a＞csinA，即以顶点B为圆心,a为半径的圆与AC射线有两个不同交点，故三角形有两解.故选：BD.【点睛】本题考查的学问要点：正弦定理的应用，三角形的解的状况的判定，主要考查学生的运算实力和转换实力及思维实力，属于基础题型.11.在空间四边形中,分别是上的点,当平面时,下面结论正确的是()A.肯定是各边的中点B.肯定是中点C.,且D.四边形是平行四边形或梯形【答案】CD【解析】【分析】依据线面平行的性质定理即可得解.【详解】解：由平面,所以由线面平行的性质定理,得,,则,且,且,四边形是平行四边形或梯形.故选：.【点睛】本题考查线面平行的性质定理的应用，属于基础题.12.在中，，，下列各式正确是()A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】依据三角形内角和定理可得，可得，选项A，B错误；再依据已知条件和两角和的正切公式可得，故选项C，D正确.【详解】，，，，选项A，B错误；，①，又②，联立①②解得，，故选项C，D正确:故选：CD.【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，考查了两角和的正切公式，属于基础题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知α为其次象限的角，sinα，则tan2α＝_____.【答案】【解析】【分析】由已知求得cosα，进一步得到tanα，再由二倍角的正切求解.【详解】解：∵α为其次象限的角，且sinα，∴cosα，得tan.∴tan2α.故答案为：.【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及二倍角的正切，是基础题.14.如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，则异面直线EF与B1D1所成的角为_____.【答案】60°【解析】【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线EF与B1D1所成的角.【详解】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则E（0，1，2），F（0，2，1），B1（2，2，2），D1（0，0，2），（0，1，﹣1），（﹣2，﹣2，0），设异面直线EF与B1D1所成的角θ，则cosθ，∴θ＝60°.故答案为：60°.【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础学问，考查运算求解实力，是中档题.15.内角的对边分别为，若的面积为，则C=_______________.【答案】【解析】【分析】依据余弦定理和的面积公式可求角.【详解】由余弦定理，可得的面积，又的面积，，又.故答案为：.【点睛】本题考查余弦定理和三角形面积公式，属于基础题.16.已知：，cos（α），则cos（α）＝_____.【答案】【解析】【分析】首先利用已知条件求出的范围，进一步求出，最终利用角的恒等变换的应用求出结果.【详解】解：由已知，则，由于cos（α），故.则cos（α）＝cos[（）].故答案为：.【点睛】本题考查的学问要点：三角函数关系式的恒等变换，和角和差角公式的应用，主要考查学生的运算实力和转换实力及思维实力，属于基础题型.四、解答题（共6小题，满分70分）17.△ABC三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，且满意csinA＝acosC.（1）求角C的大小；（2）若b，c，求a.【答案】（1）（2）a【解析】【分析】（1）由正弦定理得csinA＝asinC，代入得，即可得出.（2）由余弦定理c2＝a2+b2﹣2abcosC，代入化简即可得出.【详解】解（1）由正弦定理得csinA＝asinC，代入得，即∵0＜C＜π，∴sinC≠0，故cosC≠0∴又0＜C＜π，∴.（2）由余弦定理c2＝a2+b2﹣2abcosC，得a22acos，即a2﹣3a﹣8＝0，解得a，又a＞0，∴a.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、方程的解法，考查了推理实力与计算实力，属于基础题.18.已知函数f（x）＝cos2x+sinxcosx.（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若x∈[，]，求函数f（x）的取值范围.【答案】（1）π（2）【解析】【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论.（2）由题意利用正弦函数函数的定义域和值域，求得函数f（x）的取值范围.【详解】解：（1）由题意可得，，所以f（x）的最小正周期为T＝π.（2）若x∈[，]，则2x∈[，]，∴，∴f（x）的取值范围为.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，正弦函数的定义域、值域，属于基础题.19.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别为A1C1和BC的中点，M，N分别为A1B和A1C的中点.求证：（1）MN∥平面ABC；（2）EF∥平面AA1B1B.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）推导出MN∥BC，由此能证明MN∥平面ABC.（2）取A1B1的中点D，连接DE，BD.推导出四边形DEFB是平行四边形，从而EF∥BD，由此能证明EF∥平面AA1B1B.【详解】证明：（1）∵M、N分别是A1B和A1C中点.∴MN∥BC，又BC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，∴MN∥平面ABC.（2）如图，取A1B1的中点D，连接DE，BD.∵D为A1B1中点，E为A1C1中点，∴DE∥B1C1且，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1是平行四边形，∴BC∥B1C1且BC＝B1C1，∵F是BC的中点，∴BF∥B1C1且，∴DE∥BF且DE＝BF，∴四边形DEFB是平行四边形，∴EF∥BD，又BD⊂平面AA1B1B，EF⊄平面AA1B1B，∴EF∥平面AA1B1B.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础学问，考查运算求解实力，是中档题.20.已知α，β∈（0，π），且tanα＝2，cosβ（1）求tan（α+β）的值；（2）求2α﹣β的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）干脆利用三角函数关系式的变换的应用和同角三角函数关系式的变换求出结果.（2）利用角的变换的应用及和（差）角公式的应用，求出结果.【详解】解（1）∵，∴，∴.∴.（2）由（1）知，∴.∴.∵tanα＝2，α∈（0，π），∴，∵，∴，∵tan（2α﹣β）＝﹣1∴.【点睛】本题考查的学问要点：三角函数关系式的恒等变换同角三角函数关系式的变换，和（差）角公式的应用，主要考查学生的运算实力和转换实力及思维实力，属于基础题型.21.如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠CAB＝60°，∠BCD＝120°，AC＝2.（1）若∠ABC＝30°，求DC；（2）记∠ABC＝θ，当θ为何值时，△BCD的面积有最小值？求出最小值.【答案】（1）（2）θ＝75°时，面积取最小值.【解析】【分析】（1）由题意可求∠ADC＝120°，在△ACD中，可得∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∠ADC＝120°，进而由正弦定理解得CD的值.（2）由题意可得可得∠CAD＝30°，可求∠ADC＝150°﹣θ，在△ADC中，由正弦定理解得，在△ABC中解得，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S△BCD，结合范围0°＜θ＜150°，可得﹣60°＜2θ﹣60°＜240°，利用正弦函数的性质即可求解.【详解】解：（1）在四边形ABCD中，因为AD⊥AB，∠BCD＝120°，∠ABC＝30°，所以∠ADC＝120°，在△ACD中，可得∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∠ADC＝120°，AC＝2，由正弦定理得：，解得：.（2）因为∠CAB＝60°，AD⊥AB可得∠CAD＝30°，四边形内角和360°得∠ADC＝150°﹣θ，∴在△ADC中，由正弦定理得：，解得：，在△ABC中，由正弦定理得：，解得，∴S△BCD，∵0°＜θ＜150