2024-2025学年高中数学第二章变化率与导数章末检测课后作业含解析北师大版选修2-2

PAGE其次章改变率与导数章末检测时间：90分钟满分：100分第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1．已知函数y＝x2＋1的图像上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则eq\f(Δy,Δx)等于()A．2 B．2xC．2＋Δx D．2＋(Δx)2解析：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1＋Δx2＋1－12＋1,Δx)＝eq\f(2Δx＋Δx2,Δx)＝Δx＋2.答案：C2．若f′(x0)＝－3，则eq\f(fx0＋h－fx0－3h,h)等于()A．－3 B．－6C．－9 D．－12解析：eq\f(fx0＋h－fx0－3h,h)＝4eq\f(fx0＋h－fx0－3h,4h)＝4f′(x0)＝－12.答案：D3．已知函数f(x)＝13－8x＋eq\r(2)x2，且f′(x0)＝4，则x0的值为()A．0 B．3C．3eq\r(2) D．6eq\r(2)解析：f′(x)＝2eq\r(2)x－8，由f′(x0)＝4，得2eq\r(2)x0－8＝4，解得x0＝3eq\r(2).答案：C4．抛物线y＝eq\f(1,4)x2在点P(2,1)处的切线方程为()A．x－y－1＝0 B．x＋y－3＝0C．x－y＋1＝0 D．x＋y－1＝0解析：∵y′＝eq\f(1,2)x，∴k＝1，由点斜式得切线方程为y－1＝x－2，即x－y－1＝0.答案：A5．在曲线y＝x2上切线倾斜角为eq\f(π,4)的点是()A．(0,0) B．(2,4)C．(eq\f(1,4)，eq\f(1,16)) D．(eq\f(1,2)，eq\f(1,4))解析：y′＝2x，∴k＝taneq\f(π,4)＝1＝2x0，∴x0＝eq\f(1,2)，y0＝eq\f(1,4).答案：D6．抛物线y＝x2＋bx＋c在点(1,2)处的切线与其平行直线bx＋y＋c＝0间的距离是()A.eq\f(\r(2),4) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(3\r(2),4) D.eq\r(2)解析：由抛物线过点(1,2)，得b＋c＝1，又f′(1)＝2＋b，即2＋b＝－b，∴b＝－1，c＝2.故所求切线方程为y＝x＋1，因此d＝eq\f(|1＋2|,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2).答案：C7．f(x)＝3－x，则f′(0)等于()A．1 B．log3eC．ln3 D．－ln3解析：f′(x)＝－3－xln3，∴f′(0)＝－ln3.答案：D8．曲线y＝eq\f(1,3)x3＋x在点(1，eq\f(4,3))处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()A.eq\f(1,9) B.eq\f(2,9)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)解析：f′(1)＝2，切线方程为y－eq\f(4,3)＝2(x－1)，即y＝2x－eq\f(2,3).令x＝0，y＝－eq\f(2,3)，令y＝0，x＝eq\f(1,3)，∴面积S＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9).答案：A9．已知函数f(x)在x＝1处的导数为3，则函数f(x)的解析式可能是()A．f(x)＝(x－1)3＋3(x－1)B．f(x)＝2(x－1)C．f(x)＝2(x－1)2D．f(x)＝x－1解析：B中f′(x)＝2，C中f(x)＝2x2－4x＋2，f′(x)＝4x－4，f′(1)＝0，D中f′(x)＝1，∴B，C，D错误．答案：A10．已知y＝eq\f(x4,2＋ex)，那么y′等于()A.eq\f(4x3－ex,2＋ex2)B.eq\f(4x32＋ex＋x4ex,2＋ex2)C.eq\f(4x32＋ex－x4ex,2＋ex2)D.eq\f(4x3＋ex,2＋ex2)解析：y′＝(eq\f(x4,2＋ex))′＝eq\f(4x32＋ex－x4ex,2＋ex2).答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)11．函数y＝2x在x＝eq\f(1,2)处的导数为________．解析：y′＝2xln2，∴y′|x＝eq\f(1,2)＝eq\r(2)ln2.答案：eq\r(2)ln212．设函数f′(x)＝2x3＋ax2＋x，f′(1)＝9，则a＝________.解析：f′(1)＝2＋a＋1＝9，则a＝6.答案：613．物体运动的方程是s＝－eq\f(1,3)t3＋2t2－5，则物体在t＝3时的瞬时速度为________．解析：s′＝－t2＋4t，当t＝3时，s′＝3.答案：314．已知0<x<eq\f(1,4)，f(x)＝x2，g(x)＝eq\r(x)，则f′(x)与g′(x)的大小关系是________．解析：由题意，得f′(x)＝2x，g′(x)＝eq\f(1,2\r(x)).由0<x<eq\f(1,4)，知0<f′(x)<eq\f(1,2)，g′(x)>1，故f′(x)<g′(x)．答案：f′(x)<g′(x)三、解答题(本大题共4小题，共44分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)设质点做直线运动，已知路程s是时间t的函数，s＝3t2＋2t＋1.(1)求从t＝2到t＝2＋Δt的平均速度，并求当Δt＝1，Δt＝0.1与Δt＝0.01时的平均速度；(2)求当t＝2时的瞬时速度．解析：(1)因为Δs＝3(2＋Δt)2＋2(2＋Δt)＋1－(3×22＋2×2＋1)＝14Δt＋3(Δt)2，所以从t＝2到t＝2＋Δt的平均速度为eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(Δs,Δt)＝14＋3Δt.当Δt＝1时，eq\o(v,\s\up6(－))＝17；当Δt＝0.1时，eq\o(v,\s\up6(－))＝14.3；当Δt＝0.01时，eq\o(v,\s\up6(－))＝14.03.(2)当t＝2时的瞬时速度为v＝eq\f(Δs,Δt)＝(14＋3Δt)＝14.16．(10分)利用导数公式求下列各函数的导数：(1)y＝eq\f(1,1－\r(x))＋eq\f(1,1＋\r(x))；(2)y＝eq\r(3－x)；(3)y＝ln(lnx)．解析：(1)∵y＝eq\f(1,1－\r(x))＋eq\f(1,1＋\r(x))＝eq\f(2,1－x)＝2(1－x)－1，∴y′＝[2(1－x)－1]′＝eq\f(2,1－x2).(2)设u＝3－x，则y＝eq\r(3－x)可分解为y＝ueq\f(1,2)，u＝3－x.∴y′＝y′u·u′x＝(ueq\f(1,2))′(3－x)′＝eq\f(1,2)u－eq\f(1,2)(－1)＝－eq\f(1,2\r(3－x)).(3)y′＝eq\f(1,lnx)(lnx)′＝eq\f(1,xlnx).17．(12分)偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图像过点P(0,1)且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求函数f(x)的解析式．解析：因为函数f(x)的图像过点P(0,1)，所以e＝1.又因为函数f(x)为偶函数，所以有f(－x)＝f(x)，故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋1＝ax4－bx3＋cx2－dx＋1，所以b＝0且d＝0.所以f(x)＝ax4＋cx2＋1.因为函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，所以可求得切点的坐标为(1，－1)，所以a＋c＋1＝－1.①f′(1)＝4a＋2c由①②得a＝eq\f(5,2)，c＝－eq\f(9,2)，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝eq\f(5,2)x4－eq\f(9,2)x2＋1.18．(12分)设函数f(x)＝ax＋eq\f(1,x＋b)(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)证明曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．解析：(1)f′(x)＝a－eq\f(1,x＋b2)，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(1,2＋b)＝3，,a－\f(1,2＋b2)＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(9,4)，,b＝－\f(8,3).))因为a，b∈Z，故f(x)＝x＋eq\f(1,x－1).(2)证明：在曲线上任取一点(x0，x0＋eq\f(1,x0－1))．由f′(x0)＝1－eq\f(1,x0－12)知，过此点的切线方程为y－eq\f(x\o\al(2,0)－x0＋1,x0－1)＝[1－eq\f(1,x0－12)](x－x0)．令x＝1得y＝eq\f(